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17章4节训练

发布时间:2014-06-15 12:00:29  

答案:-1

12.若?a(2x+x)dx=3+lna,且a>1,则实数a的值是________. ?1

1解析:?a(2x+xx=(x2+lnx)|1a=a2+lna-1=3+lna,所以有a?1

=2.

答案:2

23.若等比数列{an}的首项为3a4=?4(1+2x)dx,则公比等于?1

________.

解析:?4(1+2x)dx=(x+x2)|14=(4+16)-(1+1)=18,

23即a4=18=3q?q=3.

答案:3

114.(2008年高考宁夏、海南卷)由直线x=2x=2,曲线y=x及x

轴所围图形的面积为________.

答案:2ln2

5.(2010年广东潮州调研)已知f(x)为偶函数且?6f(x)dx=8,则?6

?0?1 ?-6

f(x)dx=________.

解析:原式=?0f(x)dx+?6f(x)dx, ?-6?0

∵原函数为偶函数,

∴在y轴两侧的图象对称.

∴对应的面积相等.

8×2=16.

答案:16

6.(2008年高考山东卷)设函数f(x)=ax2+c(a≠0),若?1f(x)dx=?0f(x0),0≤x0≤1,则x0的值为________.

1解析:由已知得3+c=ax02+c,

12∴x03

3又∵0≤x0≤1,故x0=3. 答案:3

7.(2010年山东泰安调研)定积分?1(1-(x-1)-x)dx等于?0________.

解析:?1(1-(x-1)-x)dx ?0

=?11-(x-1)dx-?1xdx. ?0?0

1?1-(x-1)dx表示圆(x-1)+y=1与x=0,x=1,y=0围成?022π1图形面积S14.?xdx表示y=x与x=0,x=1,y=0围成图形的面积?

1S2=2. 0

π-2∴S=S1-S2=4π-2答案:4

8.已知f(a)=?1(2ax2-a2x)dx,则f(a)的最大值为________. ?0

2121解析:?1(2ax2-a2x)dx=(33-22x2)|01=3-22.

21212442即f(a)=3a-2=-2(a-3+9+9

1222=-2a-3+9 ?0

22所以当a=3f(a)9.

2答案:99.计算?3|x2-4|dx=________.

解析:?3|x2-4|dx=?2(4-x2)dx+?3(x2-4)dx

1123=(4x-33)|02+(33-4x)|23=3. ?0?0?2?0

23答案:3

10.求由抛物线y=x2-1,直线x=2,y=0所围成的图形的面积为多少?

解:如图所示的阴影部分就是所求作

的图形.由x2-1=0,得抛物线与x轴的

交点坐标是(-1,0)和(1,0).

∴S阴=?2-1|x2-1|dx ?

=?1 (1-x2)dx+?2(x2-1)dx ?-1?1

1181=(1-3-(-1+3)+(32)-(31)

8=38∴所围成的图形面积为311.如图所示,已知曲线C1:y=x2与

曲线C2:y=-x2+2ax(a>1)交于点O、A,

直线x=t(0<t≤1)与曲线C1、C2分别相交于

点D、B,连接OD、DA、AB.

(1)写出曲边四边形ABOD(阴影部分)

的面积S与t的函数关系式S=f(t);

(2)求函数S=f(t)在区间(0,1]上的最大值.

2????y=x?x=0?x=a解:(1)由?,解得?或?22. ?y=-x+2ax?y=0?y=a???

∴O(0,0),A(a,a2).

又由已知得B(t,-t2+2at),D(t,t2),

1113222∴S=?(-x+2ax)dx-2t×t+2-t+2at-t)×(a-t)=(-3x?0132t+ax)|0-2t+(-t2+at)×(a-t)

131332=-3+at-2+t-2at2+a2t

13=6-at2+a2t.

13∴S=f(t)=6t-at2+a2t(0<t≤1).

1(2)f′(t)=2 t2-2at+a2,

12令f′(t)=0,即2t-2at+a2=0.

解得t=(22)a或t=(2+2)a.

∵0<t≤1,a>1,∴t=(2+2)a应舍去. 若(2- 2)a≥1,

2+21即a2 2-2

∵0<t≤1,∴f′(t)≥0.

∴f(t)在区间(0,1]上单调递增,

12S的最大值是f(1)=a-a+6.

2+2若(2-2)a<1,即1<a<2 当0<t<(22)a时,f′(t)>0.

当(2-2)a<t≤1时,f′(t)<0.

∴f(t)在区间(0,(22)a]上单调递增,

在区间[(2-2)a,1]上单调递减.

∴f(t)的最大值是

2-21f((2-2)a)=6[(2-2)a]3-a[(2-2)a]2+a2(2-2)a=3

a3.

综上所述, t2

f(t)max?=?2?2+21a-a+6 (a222-232+2a (1<a<3212.在抛物线y=-x2+1(x≥0)上找一个点P(x1,y1),其中x1≠0,过P点作抛物线的切线,使此切线与抛物线以及两坐标轴所围成平面图形的面积最小.

解:如图,设过P点的切线方程为y-y1

=k(x-x1),根据导数的几何意义得k=y′|x

=x1=-2x1,y1=-x12+1,所以切线方程为

y+x12-1=-2x1(x-x1),假设切线与x轴相

x12+1交于A点,则A(2x0),切线与y轴相交1

于B点,则B(0,x12+1).而所求面积为S=S△AOB-S曲边形ODPC

x12+112=2(x1+2x-?1(-x2+1)dx 1?

13112=41+2x1+4x3, 1

1112即S413+21+4x-3(x1>0). 1

321111122S′=41+24x4x1-x2),令S′=0,解得x1=3.所11

3以x1=3111又因为S′=4x12-x2)=4xx12-1)(x12+1), 11

333因此,S在(0,3)上递减,在3,1)上递增,故当x1=3时S

3232取最小值,当x1=3时,y1=3P(3,3时所求面积

最小. 0 .

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