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20章3节

发布时间:2014-06-15 12:00:30  

第三节 二项式定理

基础知识梳理
1.二项式定理 (a+b)n= Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnran-r br+…+Cnnbn .(n∈N*)右边的多项式叫做 (a+b)n的二项展开式,其中各项系数Cnr(r= 0,1,…,n)叫做展开式的二项式系数,第r +1项Tr+1=Cnran-rbr (其中0≤r≤n,r∈N, n∈N*)叫做二项展开式的通项公式.

基础知识梳理
二项展开式特点:
(1)项数:共有 n+1 项; (2)(a+b)n的展开式中各项均为a与b 的n次齐次式,其中a的指数由n逐项减少 到0,b的指数由0逐项增加到n; (3)注意区分“项”、“项数”、 “系数”、“二项式系数”等概念的区 别.

基础知识梳理
2.二项式系数的性质 (1)对称性 在首末两端“等距离”的两个二 项式系数相等,事实上这一性质直接 由公式 Cnm=Cnn-m 得到.
(2)增减性 k n+ 1 ∴当 k< 2 时,二项式系数逐渐增大, 由对称性知后半部分是逐渐减小的. n-k+1 k- 1 k ∵Cn = Cn ,

基础知识梳理
(3)最大值 n 当 n 为偶数时,中间一项(第 2 + 1项 )的 二项式系数最大,最大值为 .
n+1 当 n 为奇数时,中间两项(第 项和 2 n+1 第 2 +1项)的二项式系数相等,且同时取

得最大值,最大值为



.

基础知识梳理
(4)各项二项式系数的和Cn0+Cn1+ Cn2+…+Cnn= 2n. (5)奇数项的二项式系数的和等于偶 数项的二项式系数的和.即:Cn0+Cn2 +…=Cn1+Cn3+…= 2n-1.

基础知识梳理
二项式系数是正实数,可能 是一个正整数,也可能是一个正分 数,这种说法是否正确? 【思考· 提示】 不正确,二 项式系数是正整数,不可能是分 数.

三基能力强化
28 1. (x +x) 的展开式中 x4 的系数是 ________.
2

解析:由二项展开式通项公式得 Tr r 2 8- r 2 r ( ) = 2rC8rx16-3r. 由 16- 3r + 1 = C8 (x ) x =4,r=4,则 x4 的系数为 24C84=1120. 答案:1120

三基能力强化
2.在(1-x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3 +…+anxn中,若2a2+an-5=0,则自然 数n的值是________. 答案:8

三基能力强化
3.若(x+1)n=a0+a1x+a2x2+…+ anxn(n∈N*)且a1+a2=21,则在展开式各 项系数中,最大值等于________. 解析:a1+a2=Cnn-1+Cnn-2=21, ∴n=6, ∴系数的最大值为C63=20. 答案:20

三基能力强化
15 4. 二项式(x- ) 的展开式中第三项 x 的系数是________.

15 解析: 由二项式定理知(x- ) 的第三 x 项为 C52x3(-1)2x- 2=10x, 故其系数为 10.

答案:10

三基能力强化
1 6 5.(3 x- ) 的展开式中常数项为 x ________.
1 解析: Tr + 1 = C6r36 - r· (x )6 - r( - 1)r(x 2 1r - ) =(-1)rC6r36-rx3-r. 2 令 3-r=0,得 r=3,则常数项为 (-1)3C6336-3=-540.

答案:-540

课堂互动讲练
考点一 求展开式中特定的项

在解决

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