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18章2节训练

发布时间:2014-06-15 12:00:32  

1.函数f(x)在[-1,1]上满足f(-x)=-f(x)且是减函数,α、β是锐角三角形的两个内角,且α≠β,则下列不等式中正确的是________.

①f(cosα)>f(sinβ) ②f(sinα)>f(sinβ)

③f(cosα)<f(cosβ) ④f(sinα)<f(sinβ)

答案:①

12.设a、b、c为一个三角形的三边,S=2a+b+c),若S2=2ab,

试证S<2a,用反证法证明该题时的假设为________.

答案:S≥2a

bd3.(2010年江苏宿迁调研)p=abcd,q=ma+ncmn(m、

n、a、b、c、d均为正数),则p、q的大小关系为________.

madnbc解析:q= ab+n+mcd≥ ab+2abcd+cd

=abcd=p.

答案:q≥p

?a+b??1?x*?,B=f(ab),C4.已知函数f(x)=?2,a,b∈R,A=f ?2????

?2ab?=f ?a+b,则A、B、C的大小关系为______. ??a+b?1?x2ab解析:2≥f(x)=?2在R上是单调减函数, ??a+b

?a+b?2ab≤f (ab)≤f (∴f ?). a+b?2?

答案:A≤B≤C

5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x)在区间[1,a](a>2)上单调递增且f(x)>0,则以下不等式不一定成立的是________.

?a+1?>fa) ①f(a)>f(0) ②f ?2??

?1-3a??1-3a?>f(-a) ④f ??>f(-2) ③f ?1+a1+a????

解析:∵f(x)是定义的R上的奇函数,

∴f(0)=0,又由已知a>2,

∴f(a)>f(1)>0=f(0),①成立;

1+a∵2a,∴②成立;

∵a>2,∴1-3a<0,又f(x)为奇函数,

?1-3a??3a-1?3a-1=-f ?,f(-a)=-f(a),且∴f ?, 1+a1+a1+a????

?3a-1?3a-13a-1-(a-1)2

<f(a)?∴对于③即f ?<a?-a=,1+a1+a1+a?1+a?

∴③成立;

?3a-1?3a-1a-3?对于④,有f <f(2)?-2=,由于a>2时a-1+a1+a?1+a?

a-33的符号不确定,∴<0未必成立. 1+a

答案:④

6.(2010年江苏南通质检)如果a+b>ab+a,则a、b应满足的条件是________. 解析:aa+bb>b+ba?a-b)2a+b)>0?a≥0,b≥0且a≠b.

答案:a≥0,b≥0,且a≠b

11117.设M=2M与1的大小关2+12+22-1

系为________.

11111解析:∵M<222…+2共210项),∴M<2210=1.

答案:M<1

8.已知点An(n,an)为函数y=x+1的图象上的点,Bn(n,bn)为函数y=x图象上的点,其中n∈N*,设cn=an-bn,则cn与cn+1的大小关系为

________.

9.完成反证法证题的全过程.设a1,a2,…,a7是1,2,…,7的一个排列,求证:乘积p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)为偶数.

证明:若设p为奇数,则________________均为奇数.

因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数=__________________=________________=0.

但奇数≠偶数,这一矛盾说明p为偶数.

答案:a1-1,a2-2,…,a7-7

(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)

(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)

10.若a、b、c为Rt△ABC的三边,其中c为斜边,试比较an+bn与cn(其中n∈N*且n>2)的大小关系.

解:△ABC为Rt△,且c为斜边,

则c2=a2+b2,

∴c>a>0,c>b>0,

ab即c<1,0<c,

?a?n?b?n?a?2?b?2当n>2时,?c?+?c?<?c+?c? ????????

22a+b=c1,即an+bn<cn.

11.在数列{an}中,a1=3,a2=3,且数列{an+1+an}是公比为2的等比数列,数列{an+1-2an}是公比为-1的等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

113(2)求证:当k为正奇数时,a+ ak+12+k

11111*(3)求证:当n∈N时,aa+a+…+a2n-1a2n123

解:(1)依题意有

an+1-2an=(a2-2a1)(-1)n-1=3(-1)n,

an+1+an=(a2+a1)·2n-1=3·2n,

两式相减有an=2n+(-1)n-1.

11113·2k

(2)证明:当kak+ak+12+12+-1=2++2-13<+2

11111(3)a+aa+…++a2n-1a2n123

?11?1??11??1=?aa+?aa+…+?a+a? ?1?32n?2?4??2n-1

3331<22…+21-4<1.

12.(2009年高考江苏卷)按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为a元,如果他卖出该产品的单价为m元,则他的满意

ma度为;如果他买进该产品的单价为n元,则他的满意度为m+an+a如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为h1和h2,则他对这两种交易的综合满意度为h1h2.

现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元,乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元,设产品A、B的单价分别为mA元和mB元,甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲,乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙.

3(1)求h甲和h乙关于mA、mB的表达式;当mA=5B时,求证:h甲

=h乙;

3(2)设mA=5mB,当mA、mB分别为多少时,甲、乙两人的综合满

意度均最大?最大的综合满意度为多少?

解:设mA=x,mB=y.

12(1)甲买进产品A的满意度:h1甲= x+12

y甲卖出产品B的满意度:h2甲= y+5

甲买进产品A和卖出产品B的综合满意度:

12yh甲= ; x+12y+5

同理,乙卖出产品A和买进产品B的综合满意度:

x20h乙= . x+3y+20

312y12y当x=5y时,h甲===3x+12y+5y+5

5+12

5y20yx2020,h乙=== 3(y+20)(y+5)x+3y+20y+20

5y+3

20y, (y+20)(y+5)

故h甲=h乙.

320y(2)当x=5时,由(1)知h甲=h乙= , (y+20)(y+5)20y204因为100≤9 (y+20)(y+5)y+y+25

且等号成立当且仅当y=10.

当y=10时,x=6.

因此,当mA=6,mB=10时,甲、乙两人的综合满意度均最大,且最大的综合满意度都为2

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