haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 初中理化生初中理化生

18章3节训练

发布时间:2014-06-15 12:00:33  

1.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n>n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取________.

答案:5

1112.用数学归纳法证明1+?+n(n∈N*,n>1)时,第232-1

一步应验证的不等式为________.

解析:n∈N*,n>1,∴n取的第一个自然数为2,左端分母最大

11的项为22-13

11答案:1+23

1113.利用数学归纳法证明不等式1+f(n)(n≥2,232-1

n∈N*)的过程,由n=k到n=k+1时,左边增加了______项.

?111?11111?=+解析:1+?++?123+?+232-1?22+12-1?

1+?++,共增加了2k项. 2-1

答案:2k

111114.(2010年镇江调研)观察下列不等式:1>1,1+22323

131111115+?+1+>2,1+>72231523312

第n个不等式为________________(n∈N*).

11解析:3=22-1,7=23-1,15=24-1,可猜测:1++?+23

1n2-12

111n答案:1+232-12

5.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”.那么,下列命题总成立的是________.

①若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立

②若f(5)≥25成立,则当k≤5时,均有f(k)≥k2成立

③若f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)<k2成立

④若f(4)=25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立

解析:对于①,f(3)≥9,加上题设可推出当k≥3时,均有f(k)≥k2成立,故①错误.

对于②,要求逆推到比5小的正整数,与题设不符,故②错误. 对于③,没有奠基部分,即没有f(8)≥82,故③错误.

对于④,f(4)=25≥42,由题设的递推关系,可知结论成立.

答案:④

n-112n6.用数学归纳法证明Cn+Cn+?+Cn>(n≥n0且n∈N*),2

则n的最小值为________.

解析:当n=1时,不等式不成立;当n=2时,不等式成立,故n0=2.

答案:2

7.用数学归纳法证明命题“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N*)能被9整除”时,要利用归纳假设证明n=k+1的情况,只需展开________.

解析:假设当n=k时,命题成立时,则k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除.因此,当n=k+1时,需证(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3能被9整除,只需展开(k+3)3即可.

答案:(k+3)3

111138.用数学归纳法证明不等式的过程,n+1n+2n+n24

由n=k推导n=k+1时,左边增加的式子是________.

解析:不等式的左边增加的式子是

1111+. 2k+12k+2k+1(2k+1)(2k+2)

1 (2k+1)(2k+2)

9.记凸k边形的内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+________.

解析:由凸k边形变为凸k+1边形时,增加了一个三角形,故f(k+1)=f(k)+π.

答案:π

1210.(2009年高考安徽卷)首项为正数的数列{an}满足an+1=an4

+3),n∈N+.

(1)证明:若a1为奇数,则对一切n≥2,an都是奇数;

(2)若对一切n∈N+都有an+1>an,求a1的取值范围. 解:(1)证明:已知a1是奇数,假设ak=2m-1是奇数,其中m

ak2+3为正整数,则由递推关系得ak+1=m(m-1)+1是奇数. 4

根据数学归纳法,对任何n∈N+,an都是奇数.

1(2)由an+1-an=an-1)(an-3)知,an+1>an当且仅当an<1或an4

>3.

1+3另一方面,若0<ak<1,则0<ak+11; 4

32+3若ak>3,则ak+1>3. 4

根据数学归纳法,0<a1<1?0<an<1,?n∈N+; a1>3?an>3,?n∈N+.

综上所述,对一切n∈N+都有an+1>an的充要条件是0<a1<1或a1>3.

11.(2010年南京调研)点Pn(xn,yn)在曲线C:y=e-x上.曲线C在Pn处的切线ln与x轴相交于点Qn(xn+1,0),直线tn+1:x=xn+1与曲线C相交于点Pn+1(xn+1,yn+1)(n=1,2,3,?).由曲线C和直线ln,tn+1围成的图形面积记为Sn,已知x1=1.

(1)证明:xn+1=xn+1;

(2)求Sn关于n的表达式;

Tn+1xn+1(3)若数列{Sn}的前n项之和为Tn,n=1,2,3,?). Tnxn

解:(1)证明:因为y=e,所以y′=-e, 切线ln的斜率kn=-e-xn,

所以直线ln的方程为:y-yn=-e-xn(x-xn). -x-x

令y=0,得x=xn+1,即xn+1=xn+1.

(2)因为x1=1,所以xn=n.

1所以Sn=e-xdx-xn+1-xn)yn 2

1-ne-2-n-xn+1=(-e)|n-e=e. 22e

e-2-1-2e-2-n(3)证明:Tn=(e+e+?+e)=-e-n), 2e2e(e-1)

Tn+11-e-n-1en+1-1e-1所以==1+-++Tn1-ee-ee-e

xn+1n+11又1xnnn

Tn+1xn+1e-11,只要证+ Tnxne-en

即en+1>(e-1)n+e.

下面来证明en+1>(e-1)n+e.

数学归纳法

①当n=1时,e2-2e+1=(e-1)2>0,不等式成立. ②假设n=k(k∈N*)时,不等式成立,

即ek+1>(e-1)k+e.

所以ek+2>(e2-e)k+e2.

又(e2-e)k+e2-[(e-1)(k+1)+e]=(e-1)2k+(e-1)2>0, 从而n=k+1时,不等式也成立.

由①②得不等式en+1>(e-1)n+e对n∈N*都成立.

Tn+1xn+1所以对n=1,2,3,?< Tnxn

12.设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1,n=1,2,3,?.

(1)求a1,a2;

(2)猜想数列{Sn}的通项公式,并给出严格的证明.

解:(1)当n=1时,x2-a1x-a1=0有一根为S1-1=a1-1,

12于是(a1-1)-a1(a1-1)-a1=0,解得a1=2

12当n=2时,x-a2x-a2=0有一根为S2-1=a2- 2

1211于是(a2--a2(a2--a2=0,解得a2=22622(2)由题设(Sn-1)-an(Sn-1)-an=0,Sn-2Sn+1-anSn=0.

当n≥2时,an=Sn-Sn-1,代入上式得

Sn-1Sn-2Sn+1=0.①

1112由(1)得S1=a1=S2=a1+a2=2263

3n由①可得S3=由此猜想Sn=n=1,2,3,?. 4n+1

下面用数学归纳法证明这个结论. ①n=1时已知结论成立.

k*②假设n=k(k∈N)时结论成立,即Sk=n=k+1时,由k+1

①得S=1k+1

k+12-SSk+1=+2

kk

故n=k+1时结论也成立.

综上,由①、②可知Sn

n=n+1n都成立.

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com