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17章2节训练

发布时间:2014-06-15 12:00:36  

1.函数y=x-ln(1+x)的单调递减区间为________.

1x解析:先求定义域{x|x>-1},由y′=1-=<0得单调减1+x1+x

区间为(-1,0).

答案:(-1,0)

172.已知函数f(x)=2x3-x2-2,则f(-a2)与f(-1)的大小关系为

________.

1327327解析:∵f(x)=2-x-2,∴f′(x)2-2x-217由f′(x)=2(3x-7)(x+1)=0得x=-1或x=3当x<-1时,f(x)为增函数;

7当-1<x3时,f(x)为减函数.

∴f(-1)是f(x)在(-∞,0]上的最大值,又-a2≤0,

故f(-a2)≤f(-1).

答案:f(-a2)≤f(-1)

13.(2008年高考湖北卷)若f(x)=-2x2+bln(x+2)在(-1,+∞)

上是减函数,则b的取值范围是________.

b解析:f′(x)=-x+≤0(x>-1)恒成立,即b≤x(x+2)恒成x+2

立.又x(x+2)=(x+1)2-1>-1,∴b≤-1.

答案:b≤-1

4.设函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1在区间(0,4)上是减函数,则k的取值范围是________.

解析:∵f′(x)=3kx2+6(k-1)x,

f(x)在(0,4)上是减函数,

∴f′(x)≤0在(0,4)上恒成立,

即3kx2+6(k-1)x≤0,

2k≤(0,4)上恒成立, x+2

211当x=4时,()=∴k≤3x+2min3

1答案:(-∞,35.对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则f(0)+f(2)与2f(1)的大小关系为________.

???x-1≥0,?x-1≤0,解析:(x-1)f′(x)≥0??或?????f′(x)≥0,?f′(x)≤0,

???x≥1,?x≤1,?或? ???f′(x)≥0,?f′(x) ≤0.

∴f(1)为可导函数y=f(x)的最小值,

∴f(0)≥f(1),f(2)≥f(1),

∴f(0)+f(2)≥2f(1).

答案:f(0)+f(2)≥2f(1)

6.如果函数f(x)=x3+ax2+bx+c,(a、b、c∈R)在R上不单调,则满足的条件为________.

解析:f′(x)=3x2+2ax+b恒大于等于0?Δ=(2a)2-12b≤0,即a2≤3b,故f(x)在R上不单调,有a2>3b.

答案:a2>3b

7.设f(x)、g(x)是R上的可导函数,f′(x)、g′(x)分别为f(x)、g(x)的导函数,且满足f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0,则当a<x<b时,有________.

①f(x)g(b)>f(b)g(x) ②f(x)g(a)>f(a)g(x)

③f(x)g(x)>f(b)g(b) ④f(x)g(x)>f(b)g(a)

解析:令y=f(x)g(x),则y′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x),由于f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0,所以y在R上单调递减,又x<b,故f(x)g(x)>f(b)g(b).

答案:③

8.下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象,其中一定不正确的个数是________.

答案:2

19.若函数f(x)=loga(x3-ax)(a>0,a≠1)在区间(-20)内单调递

增,则a的取值范围是________.

解析:设g(x)=x3-ax,则g′(x)=3x2-a,

11①当0<a<1时,f(x)在区间(-20)内单调递增,则g(x)在(-213320)上单调递减,即当-2<x<0时恒有g′(x)<0?a>3x?a4,∴a∈(4111);②当a>1时,f(x)在区间(-20)上单调递增,则g(x)在(-2,0)

1上单调递增,即当-2x<0时恒有g′(x)>0?a<3x2?a<0,与a>1矛

33盾;③当a=4∴a∈[41).

3答案:[41)

1310.已知函数f(x)=3+bx2+cx(b,c∈R),且函数f(x)在区间(-

1,1)上单调递增,在区间(1,3)上单调递减.

(1)若b=-2,求c的值;

(2)当x∈[-1,3]时,函数f(x)的切线的斜率最小值是-1,求b,c的值.

解:(1)由已知可得f′(1)=0,又f′(x)=x2+2bx+c,

所以f′(1)=1+2b+c=0,将b=-2代入,可得c=3.

(2)令k=f′(x),则

①若-b≤-1,则kmin=f′(-1)=1-2b+c=-1,

1又1+2b+c=0,得b=4(舍);

②若-1<-b≤3,则kmin=f′(-b)=b2-2b2+c=-1.

又1+2b+c=0,得b=-2,c=3或b=0,c=-1(舍); ③若-b>3,则kmin=f′(3)=9+6b+c=-1,

9又1+2b+c=0,得b=-4(舍).

综上所述,b=-2,c=3.

1111.设函数g(x)=3x322-bx(a,b∈R),在其图象上一点P(x,

y)处的切线的斜率记为f(x).

(1)若方程f(x)=0有两个实根分别为-2和4,求f(x)的表达式;

(2)若g(x)在区间[-1,3]上是单调递减函数,求a2+b2的最小值. 解:(1)根据导数的几何意义知f(x)=g′(x)=x2+ax-b,

由已知-2、4是方程x2+ax-b=0的两个实根,

??-2+4=-a∴由根与系数的关系得?, ?-2×4=-b?

??a=-2∴?,f(x)=x2-2x-8. ?b=8?

(2)∵g(x)在区间[-1,3]上是单调递减函数,

∴在区间[-1,3]上恒有f(x)=g′(x)=x2+ax-b≤0,

即f(x)=x2+ax-b≤0在[-1,3]上恒成立.

???f(-1)≤0?a+b≥1这只需满足?即可,也即?, ?f(3)≤0?b-3a≥9??

??a+b≥1而a+b可视为平面区域?内的点到原点距离的平方,?b-3a≥9?22

其中区域内点(-2,3)距离原点最近,

??a=-2∴当?时,a2+b2有最小值13. ??b=3

12.在实数集R上定义运算:x?y=x(a-y)(a为实常数).令f(x)=ex,g(x)=e-x+2x2,F(x)=f(x)?g(x).

(1)求F(x)的解析式;

(2)若函数F(x)在点P(0,F(0))处的切线的斜率为-3,求此切线方程.

解:(1)F(x)=f(x)[a-g(x)]=ex(a-e-x-2x2)

=aex-1-2x2ex.

(2)F′(x)=-4xex-(2x2-a)ex=-(2x2+4x-a)ex.

由条件得F′(0)=-3,即ae0=-3,解得a=-3.

而F(0)=-4,故所求的切线方程为y=-3x-4.

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