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17章1节训练

发布时间:2014-06-15 12:00:41  

1.曲线y=x2-x在点(1,0)处的切线的倾斜角为________. 解析:y′=2x-1,y′|x=1=1,即tanα=1,∴α=45°.

答案:45°

2.已知函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程是x-2y+1=0,则f(1)+2f′(1)的值是________.

解析:(1,f(1))在直线x-2y+1=0上,所以1-2f(1)+1=0,∴f(1)

11=1.又∵f′(1)=2∴f(1)+2f′(1)=1+2×22.

答案:2

3.(2010年江苏南京调研)若曲线f(x)=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0,则点P的坐标为________.

解析:设P(x0,y0),∵f′(x)=4x3-1,

∴f′(x0)=4x03-1,由题知4x03-1=3,∴x0=1,则y0=0. 答案:(1,0)

14.(2008年高考江苏卷)设直线y=2+b是曲线y=lnx(x>0)的一

条切线,则实数b的值为________.

111解析:y′=xx2x=2,故切点(2,ln2),代入直线方程,

得b=ln2-1.

答案:ln2-1

155.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+4x-9都相切,

则a等于________.

解析:令过(1,0)的直线与y=x3切于点(x0,y0),切线斜率为k=3x02. 设切线方程为y=3x02(x-1),

3?y=x?00,33232则??x=3x-3x?2x-3x=0?x0=0或x0000002??y0=3x0(x0-1)

3=227故切线方程为y=0或y=4(x-1).

?y=0,

?152y=ax+?4-9 15?ax2+4-9=0,

25∵Δ=0,∴a=-64.

27??y=4x-1),15272?ax+4x-9=4(x-1),∵Δ=0, ?152?y=ax+4-9?

∴a=-1.

25答案:-1或-64

sinθ3cosθ6.(2009年高考安徽卷)设函数f(x)=3x3+22+tanθ,其

5π中θ∈[0,12,则导数f′(1)的取值范围是________.

解析:∵f′(x)=sinθ·x2+3cosθ·x,

π∴f′(1)=sinθ+3cosθ=2sin(θ+3.

5πππ3π∵θ∈[0,12,∴θ+3∈[34.

π2∴sin(θ+3∈2,1],

∴f′(1)∈[2,2].

答案:[2,2]

7.曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面积为________.

解析:∵y=x3,∴y′=3x2,∴y′|x=1=3×1=3,所以在(1,1)处

2的切线方程为3x-y-2=0.则3x-y-2=0与x轴的交点为3,0),3x

1-y-2=0与直线x=1的交点为(1,1),所以围成的三角形面积为S=2

11×31=61答案:68.已知点P(x,y)是函数y=ex+x的图象上的点,则点P到直线2x-y-3=0的最小距离为________.

解析:要求距离最小点,即为与直线平行且与曲线相切的切点.由

5题意y′=ex+1=2?x=0,则切点为(0,1),最小距离为5. 45答案:5

9.(2009年高考北京卷)设f(x)是偶函数.若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为1,则该曲线在点(-1,f(-1))处的切线的斜率为________.

答案:-1

10.已知函数f(x)=x3-3x及y=f(x)上一点P(1,-2),过点P作直线l.求使直线l和y=f(x)相切且以P为切点的直线方程.

解:由f(x)=x3-3x得f′(x)=3x2-3,过点P且以P(1,-2)为切点的直线的斜率f′(1)=0,∴所求的直线方程为y=-2.

11.已知函数f(x)=2x3+ax与g(x)=bx2+c的图象都过点P(2,0),且在点P处有公共切线,求f(x)、g(x)的表达式.

解:∵f(x)=2x3+ax图象过点P(2,0),

∴a=-8,∴f(x)=2x3-8x,

∴f′(x)=6x2-8.

对于g(x)=bx2+c,图象过点P(2,0),

则4b+c=0.

又g′(x)=2bx,g′(2)=4b=f′(2)=16,

∴b=4,∴c=-16,∴g(x)=4x2-16.

综上可知,f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16.

12.曲线S:y=x3-6x2-x+6.

(1)则曲线在哪一点处切线的斜率最小?求此时的切线方程.

(2)设此点是P(x0,y0),证明:曲线S关于点P中心对称.

解:(1)y′=3x2-12x-1,

当x=2时,y′最小,最小值为-13,切点为P(2,-12),切线方程为13x+y-14=0.

(2)证明:设(x1,y1)是S上任意一点,(x,y)是(x1,y1)关于点P(2,

??x1=4-x,-12)的对称点,则? ??y1=-24-y,

∴-24-y=(4-x)3-6(4-x)2-(4-x)+6,

整理,得y=x3-6x2-x+6,

故(x,y)∈S,于是曲线S关于点P(2,-12)中心对称.

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