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2013-2014学年八数上___13.3.4_等腰三角形(第4课时)课件_(新版)新人教版

发布时间:2013-10-22 10:33:32  

1、等腰三角形的性质定理是什么? 性质1:等腰三角形的两个底角相等。 (等边对等角) 性质2: 等腰三角形的顶角的平分线,底边 上的中线,底边上的高互相重合。
2、等腰三角形的判定定理:如果一个三角形中 有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.(简 称为:等角对等边 )

等边三角形性质: 等边三角形的各边都相等, 各角都相等并且每一个角都等于60°,各边都相 等,是轴对称图形且有三条对称轴.

判定1:三条边都相等的三角形是等边三角形。 判定2:三个角都相等的三角形是等边三角形。

判定3: 有一个角是60°的等腰三角形是等边
三角形.

发散练习:
如图,已知△ABC和△BDE都是等 边三角形,
B
D

A
E

C

求证:AE=CD

证明: ∵ △ABC和△BDE都是等边三角形
∴AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°,BE=BD ∴ △ABE≌△CBD

∴AE=CD

八年级

(上 册)

义务教育课程标准实验教科书

八年级数学

第十四章

轴对称

等边三角形

创设情境,导入新知
问题 已知△ABC 中,∠A =60°,( ). 请你在括号内补充一个条件,使△ABC 能成为等边三角 形. A ∠B =60°(或∠C =60°) AB =BC、AC =BC、AB =BC =AC

B

C

创设情境,导入新知
思考1 等边三角形是轴对称图形,若沿着其中一 条对称轴折叠,能产生什么特殊图形?
思考2 这个特殊的直角三角形相比一般的直角三 角形有什么不同之处,它有什么特殊性质?

活动操作,探索性质
活动 用两个全等的含30°角的直角三角尺,你能 拼出怎样的三角形?能拼出等边三角形吗?请说说你的 理由. A A

B B
C

C

D

D

活动操作,探索性质
问题 你能借助这个图形,找到含30°角的直角 △ABC 的直角边BC 与斜边AB 之间有什么数量关系吗?

A

1 BC = AB. 2

B

C

D

证明∵△ABC与△ADC关于AC轴对称 A ∴AB=AD ∠BAD=2× 30°= 60° ∴△ABD是等边三角形 又∵AC⊥BD 1 1 ∴BC=DC= 2BD= 2AB
从中你能得到 什么结论?
B C D

活动操作,探索性质
猜想 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°, 那么它所对的直角边等于斜边的一半.
问题 请说一说你猜想的命题中,条件和结论分别 是什么?并结合图形,用符号语言表述出来. 思考 这个命题是真命题吗?请进行证明.

活动操作,探索性质
已知:如图,在Rt△ABC 中,∠C =90°,∠A = 1 30°. 求证:BC = AB. A
2

证明:在△ABC 中, ∵ ∠C =90°,∠A =30°, ∴ ∠B =60°. 延长BC 到D,使BD =AB, 连接AD, B 则△ABD 是等边三角形.

C

D

活动操作,探索性质
已知:如图,在Rt△ABC 中,∠C =90°,∠A = 1 30°. 求证:BC = AB.
2

证明:由等边三角形的性质可知, AC 也是BD 边上的中线,

1 1 BC = BD = AB . 2 2

A

追问:你还能用其他方 法证明吗?

B C D

动手操作,探索性质
另证:作∠BCE =60°,交AB于E,连接CE, 则∠ACE =90°-60°=30°. A 在△ABC 中, ∵ ∠ACB=90°,∠A =30°, ∴ ∠B =60°. E 在△BCE 中, ∵ ∠BCE=60°,∠B =60°, ∴ △BCE 是等边三角形. C B ∴ BC =BE =CE.

动手操作,探索性质
另证: 在△ACE 中, ∵ ∠A=30°,∠ACE =30°, ∴ △AEC是等腰三角形. ∴ CE =AE. ∴ BC =BE =CE =AE. ∴
1 BC =BE =AE = AB. 2

A

E

B

C

动手操作,探索性质
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么 它所对的直角边等于斜边的一半. A
符号语言: ∵ 在Rt△ABC 中, ∠C =90°,∠A =30°, ∴
1 BC = AB. 2

B

C

定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°, 那么它所对的直角边等于斜边的一半.

B

300
A

C

在Rt△ABC中 ∵∠A=30° ∴AB=2BC

这又是一个判定两条线段成倍分关系 的根据之一.

课堂练习
练习1 如图,在△ABC 中,∠C =90°,∠A = 30°,AB =10,则BC 的长为 5 .

C

B

课堂练习
练习2 如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,CD 是 高,∠A =30°,AB =4.则BD = 1 . C B D

性质运用
例 如图是屋架设计图的一部分,点D 是斜梁AB 的中点,立柱BC、DE 垂直于横梁AC,AB =7.4 cm, ∠A =30°,立柱BC、DE 要多长?

思考 图中BC、DE 分 别是哪个直角三角形的直角 边?它们所对的锐角分别是 多少度? A

B D E C

解:∵DE⊥AC, BC⊥AC, ∠A=30° 1 可得 BC= 2 AB, DE= 1 AD 1 2 ∴BC= 2 ×7.4=3.7m 1 又 AD= 2 AB 1 1 ∴DE= AD= 2 ×3.7=1.85m 2 答:立柱BC的长是3.7m,DE的长是1.85m.
B
D A

记住哟

E

C

这又是一个判定两条线段成倍分关系的根据之一.

例题欣赏 1
例2.已知:等腰三角形的底角为150,腰长为2a. 求:腰上的高.

解:过C作BA延长线的垂线CD,垂足为D ∵∠B=∠ACB=150(已知), ∴∠DAC=∠B+∠ACB= 150+150=300 ′ (三角形的一个外角,等于和它不相邻的两内角的和). 1 1 ∴CD= 2 AC= 2×2a=a (在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所 对的直角边等于斜边的一半). D
A B
150 150

C

例3.已知:如图,在△ABC中,∠ACB= 900,∠A=300,CD⊥AB于D. 求证:BD= 1 AB.
4

C

你能规范地写出证明过程吗? 你的证题能力有所提高吗? B

D

A

反过来怎么样——逆向思维
?命题:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边 的一半,那么它所对的锐角等于300.是真命题吗? ?如果是,请你证明它. 已知:如图,在△ABC中,∠ACB=900,BC= 求证:∠A=300.
A

1 AB. 2

B

C

反过来怎么样——逆向思维
证明:如图, 延长BC至D,使CD=BC,连接AD.

在△ABD中,∵∠ACB=900(已知), ∴AB=AD(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等). A 又∵BC=AB/2(已知), 30 BC=BD/2(作图), ∴AB=BD(等量代换). ∴AB=BD=AD(等式性质). B C D ∴△ABD是等边三角形(等边三角形定义). ∴∠B=600(

等边三角形定义). ∴∠A=300(直角三角形两锐角互余).
0

回顾反思 4

几何的三种语言

?定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于 斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.



在△ABC中 ∵∠ACB=900,BC=AB/2(已知), ∴∠A=300(在直角三角形中,如果一条直 角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角 等于300). A
这是一个通过线段之间的关系来判定 一个角的具体度数(300)的根据之一.

B
300

C

比一比:看 谁 算 的 快 1.如图:在Rt△ABC中 ∠A=300,AB+BC=12cm 则AB=_____cm 8 B C 2.如图:△ABC是等边三角形, AD⊥BC,DE⊥AB,若AB=8cm, 4cm 2cm BD=___, BE=____ E
300

A A

B

D

C

挑战自我:相信你一定能行 1.如图,在△ABC中,∠C=900,∠B=150, DE是AB的中垂线,BE=5, 则AE=______,AC=_____ A D B 2.如图:已知 在△ABC 中,∠A=300,C=900, BD平分∠ABC. A 求证:AD=2DC E C B





试一试P14 2

成功者的摇篮

1.如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E,F分别 是AB,CD的中点,沿着过点D的折痕将A角翻折,使得 A落在EF上(如图(2)), 折痕交AE于点G,那么∠ADG 等于多少度?你能证明你的结论吗?
B E C F B E A G A (1) D A (2) D C F

试一试P14 2

成功者的摇篮

答:∠ADG等于150. 证明:∵DF=DC/2(中点定义), A1D=AD=CD(正方形各边都相等), ∴DF=A1D/2(等量代换). ∴∠DA1 F=300 (在直角三角形中,
如果一条直 角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300).

B E G

C

A1
300
● ●

F

A ∴∠A1DA=∠DA1F=300 (两直线平行,内错角相等).

又∵AD∥EF,

(2)

D

∴∠ADG=∠A1DA/2=150(角平分线意义).

要把一块三角形的土地均匀分给甲 、 乙、 丙三家农户去种植,如果∠C=90°∠A=60°, 要使这三家农户所得土地的大小和形状都相同, 请你试着分一分,在图上画出来.
A


C

B

1、在△ABC中,AB=AC,∠C=30°, DA⊥BA于A, A

BC=15,求AD的长 解:∵AB=AC
∴∠B=∠C=30°
B D C

∴∠DAC= ∠C=30° ∴AD=DC=1/2BD ∵BC=15

∵DA⊥BA ∴AD=1/2BD , ∠ADB=60° ∵ ∠ADB=60° ∠C=30°

∴AD=DC=5

小结

拓展

回味无穷

? 等边三角形的性质: 三边相等,三个角都是600,”三线合一”,三条 对称轴. ? 等边三角形的判定: 定义:有三边相等的三角形是等边三角形. 定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形. 定理:三个角都相等的三角形是等边三角形. ? 特殊的直角三角形的性质: 定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300, 那么它所对的直角边等于斜边的一半. 定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜 边的一半,那么它所对的锐角等于300.

结束寄语
下课了!

? 严格性之于数学家,犹如道德之于人. ? 证明的规范性在于:条理清晰,因果相应,言 必有据.这是初学

证明者谨记和遵循的原则.



见!

布置作业

教科书习题13.3第15题.


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