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3课时_垂直于弦的直径(第二课时)

发布时间:2013-11-05 12:37:37  

垂径定理
垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C

如图∵ CD是直径, CD⊥AB, ∴AM=BM,

A

M└


B
O

⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD=BD.
D

思考:平分弦(不是直径)的直径有什么性质?

垂径定理的推论
如图: AB是⊙O的一条弦,直径CD交AB于M,AM=BM
连接OA,OB,则OA=OB.

A

在△OAM和△OBM中, ∵OA=OB,OM=OM,AM=BM ∴△OAM≌△OBM. C ∴∠AMO= ∠ BMO. B ∴CD⊥AB M└ ∵⊙O关于直径CD对称, ●O ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC和BC重合, AD和BD重合.
D

⌒ =BC, AD =BD. ⌒ ⌒ ⌒ ∴AC

平分弦(不是直径)的直径垂直于 弦,并且平分弦所对的两条弧.

垂径定理的推垂论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,

并且平分弦所对的两条弧.
逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧。
?

由 ① CD是直径 ③ AM=BM

可推得

⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⑤AD=BD. ⌒

②CD⊥AB,

课堂讨论
根据已知条件进行推导:
①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对优弧 ⑤平分弦所对劣弧 ① ③ ① ⑤

① ②

③ ④ ⑤
① ④

② ④ ⑤

③ ② ④ ③ ② (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所 对的两条弧。 (2)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分 弦所对的另一条弧。 (3)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。

③ ② ⑤ ① ④ ⑤

三个命题
命题一:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且 平分弦所对的两条弧。
已知:CD是直径,AB是弦,并且CD平分AB。 C

⌒ ⌒ ⌒ 求证:CD⊥AB,AD=BD,AC=BC 命题二:平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦, A 并且平分弦所对的另一条弧。
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 已知:CD是直径,AB是弦,并且AD=BD (AC=BC)。 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 求证:CD平分AB,AC=BC(AD=BD)CD ⊥AB



.
D

O E B

命题三:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分 弦所对的两条弧。
已知:AB是弦,CD平分AB,CD ⊥AB。 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 求证:CD是直径, AD=BD,AC=BC

注意要点
根据垂径定理与推论可知:对于一个圆和一条直 线来说,如果具备: ① ② ③ ④ ⑤ 经过圆心 垂直于弦 平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧

那么,由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他 三个结论。

注意:当具备了(1)(3)时,应对另一 条弦增加”不是直径”的限制.

C

垂径定理及推论
条件 结论 命题
①② ③④⑤

A

M└


B O

垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.

D

①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. ①④ ②③⑤ ①⑤ ②③④ ②③ ①④⑤

平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平

分弦所对的 另一条弧.
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.

②④ ①③⑤
②⑤ ①③④

垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 平分弦和所对的另一条弧.
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 弦,并且平分弦所对的另一条弧. 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.

③④ ①②⑤ ③⑤ ①②④
④⑤ ①②③

例1、如图(填写你认为正确的结论)。 M ⑴若MN⊥AB,垂足为C,MN为 直径,则____,____,______。 O ⑵若AC=BC,MN为直径,AB不 B A C 是直径,则___,____,_____。 N ⑶若MN⊥AB,AC=BC,则____,____,____。 ⑷若 ? ? BM ,MN为直径,则___________, AM ? ___________,___________。 ⑸若AC=BC,AB不是直径,MN是直径,则 _________,__________,___________。 ? ⑹若 ? ? BM , AN ? BN ,则_____,_____,_____。 AM ? ? ⑺若AB⊥MN, ? ? BM ,则_____________, AM ? _____________,_______________。

例2、如图,AB、CD为⊙O的两弦,AB=CD, M、N分别为AB、CD的中点,
M B

试说明∠AMN=∠CNM。

A C N

D

? 的圆心(保留作图痕迹) 例3.找出 AB
A A B

B
A ① ③ ④ B ②

变1:你会四等分弧AB吗? 变2:有一块打碎的圆形玻 璃,还剩四块,如图所示, 拿哪一块可以去配一块同样 的玻璃回来。

? 练习:1、如图,一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD, 点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD 垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
?

解:连接OC.
设弯路的半径为Rm, 则OF ? ( R ? 90)m. ? OE ? CD, 1 1 ? CF ? CD ? ? 600 ? 300(m). 2 2 OC 2 ? CF 2 ? OF 2 ,即 根据勾股定理, 得
R 2 ? 300 2 ? ?R ? 90? . D 解这个方程, 得R ? 545. ? 这段弯路的半径约为545m.
2

C
E F


O

(1)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OA的夹角为 30 °,求弦 AB 的长.

O 6 O A
30°

E

B

M A

B

C (2)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OC互相平分, 交点为 M , 求 弦 AB 的长.

(3).如图,有一圆弧形桥拱,拱形的半径为10米, 桥拱的跨度AB=16米,则拱高为 4 米。

C

A

·
O

D

B

船能过拱桥吗?
如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出 水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米 的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗?

船能过拱桥吗
解:如图,用 AB 表示桥拱, AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB 的中点,CD就是拱高. 由题设得 1

AB ? 7.2, CD ? 2.4, HN ? MN ? 1.5. 2 1 1 AD ? AB ? ? 7.2 ? 3.6, 2 2 OD ? OC ? DC ? R ? 2.4.

在Rt△OAD中,由勾股定理,得

OA2 ? AD2 ? OD 2 ,

即R 2 ? 3.62 ? ( R ? 2.4) 2 .
解得 R≈3.9(m). 在Rt△ONH中,由勾股定理,得

OH ? ON 2 ? HN 2 , 即OH ? 3.9 2 ? 1.52 ? 3.6. ?DH ? 3.6 ?1.5 ? 2.1 ? 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥.

1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8 ㎝,那么⊙o的半径是 5㎝ 2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD,那 么C到AB的距离等于 1㎝或9㎝ 3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1㎝, 5 Cm 那么⊙O的半径为
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
B M A

OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
N,且OM=2,0N=3,则AB= 6 AC= 4 ,OA= 13 ,
O N

C

练习: 5.(课本P82)在⊙O中,AB、AC为互相垂直且相等 的两条弦,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E. 求证:四边形ADOE是正方形. C E A O D B

1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示.
若油面宽AB = 600mm,求油的最大深度.

A

O ┌ E

D
D
600

B

C

2、在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后,截面的 油面宽AB = 600mm,求油的最大深度.

D

A

O ┌ E

A
B

600

B

O ?650

D
D
600

C

C

3.已知直线AC:Y=2X+4与X轴交于 A,与Y轴交于C, M为X轴上的点,以 M为圆心的圆经过点A.C,求M的坐标.
C A ?· O M B

M

E A

.O
小结:

B
A

. E
C

O
D
B

C A

D B

.O
N

解决有关弦的问题,经常是过圆心作弦的垂线,或 作垂直于弦的直径,连结半径等辅助线,为应用垂径定 理创造条件。


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