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物理 电学

发布时间:2013-09-18 21:06:03  

第六章 稳恒磁场
本章研究真空中稳恒电流所激发的恒定磁场的物理性质

稳恒电流在真空中的磁场
磁感应强度的定义 主 要 内 容

毕奥---萨伐尔定律
磁场的高斯定理 安培环路定理 磁场对电流和运动电荷的作用

磁介质中的磁场

第六章 稳恒磁场
运动电荷

静电荷

稳恒电流

静电场

电场

磁场

稳恒磁场

学习方法: 类比法

6-1 稳恒电流
从场的观点讨论导体中电流的形成,以及电流密度、电 动势的表达形式。 一 电流强度 电流 电荷的有规则的定向移动形成电流

运流电流
传导电流

带电体机械运动形成的电流
电子或离子定向运动形成的电流.

产生电流的条件

可以自由运动的带电粒子
有电场存在(要有电势差)

电流强度I: (简称电流)单位时间内通过导体任一横 截面的电量.

? q dq I ? lim ? dt ?t ? 0 ? t

单位:安培(A)

1A ? 1C ? s ?1

恒定电流:电流I不随时间而变化. 电流I是标量,但有方向,用正负号表示. 二.电流密度

?

?

dI ? 0 ? ? n ds

?

dS

? E

方向 与该点的场强方向一致(正电荷沿场强 ? 方向运动) 大小 通过某点与该点场强方向垂直的单位截面 积的电流强度

? dI ? ? cos?dS ? ? ? dS
对通过导体任一截面S的电流为

?

dS

? E

? I ? ? ? ? dS
S

?

?

三 电动势

要产生稳恒电流,必须维持导体两端恒定的电势差

电容器放电的过程-在静电力的作用下,两极板间电
势差逐渐减小-无法获得稳定的电势差 需要一种能提供非静电力的装置(电源)-能够 不断分离正负电荷补充极板减少的电荷-维持恒 定的电势差

11 – 2 毕奥—萨伐尔定律

第十一章 稳恒磁场

电源:提供非静电力的装置.
或说在导体两端产生或维持电势差的装置.或说把其 它形式的能转变为电能的装置. 电源外部靠静电力作用使电荷运动.(正电荷由正极流出)
+q

电源内部靠非静电力作用使电荷运动.
(正电荷从负极经过电源内部流到正极)
?

电动势: 描述非静电力的物理量.

+ + + +

- - - -

Ek

E

非静电场:单位正电荷受的非静电力
? ? Fk Ek ? (电源内部) q

电源

电源的电动势:单位正电荷绕闭合回路一周时,电 +q 源所做的功(电源中非静电力所做的功)

A ?? ? q0

? ? ? q0 Ek ? dl q0

? ? ? ? E0 ? dl

?

在含一个电池的闭合回路中,非静电力只存在于电池 的正负极之间(电源内部),则电动势的表达式为

+ + + +

- - -

E

kE

电源

? ??

?

?

? ? Ek ? dl

非静电力的本质各不相同,做功有正负,单位与 电势(电压)相同

6-2 磁场 磁感强度
公元前六、七世纪就已有了关于天然磁石的记载。 公元前250年左右,出现司南勺的记载

。 公元11世纪(北宋)沈括创制了航海用的指南针。
1819年,奥斯特发现,放在载流导线周围的磁针会受到磁力作 用而发生偏转。 1820年,安培发现放在磁铁附近的载流导线或线圈也会受到磁

力作用而发生运动,而后又发现载流导线之间也会发生相互作
用。-磁性起源于电荷的运动 1822年,安培提出了物质磁性本质的假说,即一切磁现象的根

源是电流,构成物质的分子中都存在有回路电流―分子电流。

一 磁场 运动电荷 或电流 1

磁场

运动电荷 或电流 2

运动电荷在周围空间激发磁场,电流或运动电荷之间相 互作用的磁力是通过磁场而作用的,磁场是物质存在的 一种形式。

二 磁感强度(描述磁场的性质)
磁场与电场一样,既有强弱也有方向,因此我们也 引入了试探电荷--运动点电荷

定义磁感应强度B-主要以实验结果为基础
1 电荷沿着磁场方向运动时,不受磁场力作用,F=0 2 电荷垂直磁场方向运动时,所受磁场力最大,Fmax

B

定义磁感应强度B-主要以实验结果为基础
1 电荷沿着磁场方向运动时,不受磁场力作用,F=0 2 电荷垂直磁场方向运动时,所受磁场力最大,Fmax

方向:运动试探电荷通过某点时不受磁力的方向为该 点的磁场方向。 大小:当运动电荷在某点P沿与磁场方向垂直的方向 运动时,最大磁力Fm正比于运动电荷的电荷量q, Fmax 也正比于电荷的运动速率v,但 在该点P具有确 qv 定的量值而与运动电荷的qv值无关。

磁感应强度

Fmax B? qv

方向:该点磁场的方向

也可以用右手螺旋法则

? ? Fm ? qv 的方向

? Fmax

B的单位:N· s/(C· m), 称为特斯拉T,

? v

q

+

? B

1T=104Gs(高斯)

常见磁场的磁感应强度大小

脉冲星:表面磁场约为108T;
某些原子核附近:104T 超导磁体:可激发高达25T的磁场; 大型磁铁:可激发大于2T的恒定磁场; 地球磁场:大约10-4T;

室内:10-7~10-6T;
人体心脏:激发的磁场约为3×10-10T.

6-3 毕奥-萨法尔定律
真空中载流导线的磁场

一 毕奥-萨法尔定律
载流导线 电流元

? ? 方向 dl ? r

? ? ?0 Idl sin a dB ? 4? r2

? Idl

I
? a? Idl

? dB

r

. P
I

? 0 ? 4? ? 10 TmA
? ? ? ? 0 Idl ? r0 dB ? 2 4? r

? ? r0 ? r r

?7

?1

r a

dB

? Idl

I ? ? 对一段载流导线 B ? ? dB

11 – 2 毕奥—萨伐尔定律 第十一章 稳恒磁场 ? ? ? ?0 Idl ? r0 dB ? 毕奥—萨伐尔定律 4? r2
例 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
1

8

+

2

d 1、5 点 : B ? 0
3、7点 :dB ? +3

7

? Id l
R
6

? 0 Idl
4π R
0
2

2、4、6、8 点 :

+4
5

dB ?

?0 Idl
4π R
2

sin 45

二、 毕奥---沙伐尔定律的应用 Y

? ?

? ? 0 Idl ? r0 dB ? 4? r2

1. 载流直导线的磁场
已知:真空中 I、a1、a 2、a

I

a2

?建立坐标系OXY

dl l
O

? ?任取电流元 Idl
大小 方向
? 0 Idl sina dB ? 4? r2 ? ? Idl ? r0 ?

a r a1 ? r0
a

? dB
P

X

?写出分量式

? 0 Idl sina B ? ? dB ? ? 2 4? r

? 0 Idl sina dB ? 4? r2 ?统一积分变量

Y

l ? a ? ctg (? ? a ) ? ?actga

I

a2

dl ? a csc ada r ? a sin a
2

dl l
O

? 0 I sinadl B?? 2 4? r
a 2 ?0 ? ?a I sin ada 1 4?a ?0 I ? (cosa 1 ? cos a 2 ) 4?a

a r a1
a

? 0 sin2 a ada ?? I sina 2 4? a sin2 a

? dB
P X

?0 I B? (cosa 1 ? cos a 2 ) 4?a

?无限长载流直导线

a2
I

讨 论

a1
? B

a

P

?0 I B? (cosa 1 ? cos a 2 ) 4?a

?无限长载流直导线 (电流和磁 场方向满足右手螺旋法则)

a1 ? 0 a 2 ? ?

?0 I B? 2?a

讨 论

?半无限长载流直导线

I

? B

a

P

?0 I B? (cosa 1 ? cos a 2 ) 4?a

?无限长载流直导线

a1 ? 0 a 2 ? ?

?0 I B? 2?a

讨 论

?半无限长载流直导线

I

a1 ? ? 2 a 2 ? ?
?直导线延长线上

?0 I B? 4?a

a1
a

? B
P

?0 I B? (cosa 1 ? cos a 2 ) 4?a

?无限长载流直导线

a1 ? 0 a 2 ? ?

?0 I B? 2?a ?0 I B? 4?a

? B

讨 论

?半无限长载流直导线

a1 ? ? 2 a 2 ? ?
?直导线延长线上

I

a?0
B?

a1 ? a 2 ? 0

?0 I 0 (cos a 1 ? cos a 2 ) ? 4?a 0

?

?0 I B? (cosa 1 ? cos a 2 ) 4?a

?无限长载流直导线

a1 ? 0 a 2 ? ?

?0 I B? 2?a ?0 I B? 4?a

? B

讨 论

?半无限长载流直导线

a1 ? ? 2 a 2 ? ?
?直导线延长线上

I

? 0 Idl sina dB ? 4? r2 a ? 0 dB ? 0

B?0

?0 I B? (cosa 1 ? cos a 2 ) 4?a

作业
? 无笔头作业,复习第五章, 下周三讲第五章习题课! ? 预习6-3, 6-4 !

2. 圆形电流的磁场
已知: 真空中R、I

? 求轴线上P点的 B
?建立坐标系OXY

? Idl

I
O

Y
? r0
R

? ? d B ? dB
? p dB
?

a

x

X

? ?任取电流元 Idl ? 0 Idl 大小 dB ? 4? r 2
?分析对称性、写出分量式
? ? B? ? ? dB ? 0
?

? ? 方向 Idl ? r0
?0 Idl sin a Bx ? ? dB ? ? x 4? r2

?0 Idl sin a Bx ? ? dB ? ? x 4? r2
?统一积分变量

? 0 Idl sina B x ? ? dB x ? ? 4? r 2

sina ? R r

? Idl

I
O

Y
? r0
R x

? ? d B ? dB
? p dB
?

a

x

X

? 0 IR ? 0 IR ? dl ? ? 2?R 3 ? 3 4?r 4?r 2 ? 0 IR
? 2( R 2 ? x 2 )3 2
大小: B ? 2( R 2 ? x 2 )3 2
? 0 IR 2

结论

方向: 右手螺旋法则

讨 论



x?0
? 0 IR 2
2( R 2 ? x 2 )3 2

I
O

B?

? B
R
X

?

?0 I
2R

若载流线圈有N匝,则

I

N? 0 I B? 2R

概念
电场
P131~132
? dE ?

定律

方法

结论

磁场
? ? ? ? 0 Idl ? r0 dB ? 2 4? r

dq ? r0 4?? 0 r 2

? E? 2?? 0 a
E? xq 4?? 0 ( x ? R )
2 2 3

无限长直线
B?

?0 I B? 2?a
? 0 IR
2

2

圆环

2( x 2 ? R 2 )3 2

3. 真空中,半径为R,载流密绕螺线管,电流为I,单位长度的 匝数为n,求管内轴线上一点的磁感强度

μ
. . .. . . .l .. . . . . . . .
A1

?0 IR S B ? 2( R 2 ? x 2 )3 2
2

l ? R cot ?

p

A2

? ????????? ??????????

? B

dl ? ? R csc 2 ?d? R ?l ? r
2 2 2 2 2

I

2 (R2 ? l 2 ) 2 ? ?0 ?0 B ? ? ( ? nI sin ? )d? ? nI (cos ? 2 ? cos ? 1 )
2

B ? ? dB ? ?
?1

?0 I

R ndl
3

2

R sin ? ? 2 r

R2 2 2 2 R ? l ? 2 ? csc ? sin ?

2

2

?0 ?0 B ? ? ( ? nI sin ? )d? ? nI (cos ? 2 ? cos ? 1 ) ?1 2 2 . . .. . . . . .. . . . . ..
?2

A1

p

A2

? ????????? ??????????

? B

I

若螺线管为无限长 ( ?1 ? ? , ? 2 ? 0)

B ? ?0 nI

若P点处于半无限长载流螺线管的一端

1 B ? ? 0 nI 2

( ?1 ?

?
2

, ? ? 0)

三 运动电荷的磁场
电流 电荷定向运动

通电导线

根据毕奥萨法尔定律,电流元 ? ? ? ? ? 0 Idl ? r0 Idl dB ? 其中 2 4? r

? ? ?

? q? ?

? v

I S

dl
I ? qnvS

? dl 内载流 dN ? nSdl
子总数

电荷 密度 速率 截面积

? ? ? 0 qv sin( v , r0 ) dB 每个运动电荷产生的 B ? ? dN 4? r2
运动电荷产生的磁场

6-4 磁场中的高斯定理
? 磁力线或 B 线
一 磁感线 (对比电场线)

? Bb ? Ba a

? Bc

c
b

曲线上任一点的切线方向与 该点的磁感应强度方向一致

? B

根据前面计算的不同载流导体的磁场的分布(磁 感应强度的大小),几种不同形状的电流产生的 磁感线 总结磁感线的特征

直线电流的磁力线 圆电流的磁力线 通电螺线管的磁力线

I

I

I
I
1、每一条磁力线都是环绕电流的闭合曲线,都与闭 合电路互相套合,因此磁场是涡旋场。磁力线是无头 无尾的闭合回线。 2、任意两条磁力线在空间不相交。

3、磁力线的环绕方向与电流方向之间可以分别用右 手定则表示。

二 磁通量——穿过磁场中任一曲面的磁力线的条数

S

? B

S
?

?

? n

? B

? m ? BS

? ? ? m ? B ? S ? BS cos ?

S
dS
?

? n

S
? B

dS

?

? n

? B

? ? ? m ? ? B ? dS ? ? B cos ?dS

? ? ? m ? ? B ? dS ? ? B cos ?dS

三、磁场中的高斯定理 ? ? ? m ? ? B ? dS

S
? B

? ? ? B ? dS ? 0

穿过任意闭合曲面的磁通量为零

? ? ? E ? dS ?

?q
?0

静电场是有源场 磁场是无源场

? ? ? B ? dS ? 0

例题 两平行载流直导线 求 两线中点

? BA

I1

过图中矩形的磁通量 解:I1、I2在A点的磁场

?? BA
r2

A

I2

l
r3

? 0 I1 B1 ? B2

? 2? d 2

r1

? 2.0 ? 10 T
BA ? B1 ? B2 ? 4.0 ? 10 T
方向
?
?5

?5

d d ? 40cm r2 ? 20cm l ? 25cm r1 ? r3 ? 10cm I1 ? I 2 ? 20 A

如图取面积元

? ? d? m ? B ? dS ? Bldr
? 0 I1 ?0 I2 B? ? 2?r 2? (d ? r )
方向
?
r1 ? r2

? B
I1
r
?

I2

dr
r2

l
r3

r1

d

? m ? ? d? m ? ?r 1

? 0 I1 ?0 I2 [ ? ]ldr 2?r 2? (d ? r )

? 0 I 1 l r1 ? r2 ? 0 I 2 l d ? r1 ? ln ? ln 2? r1 2? d ? r1 ? r2
? 2.26 ? 10
?6

wb

作业
? P197~198
6-4 6-8 6-9

下次讲6-5,6-6

6-5 磁场的安培环路定理
一、 安培环路定理 静电场 磁 场

? ? ? E ? dl ? 0 ? ? ? B ? dl ?

?
I
l

1、圆形积分回路

? ? ? B ? dl ? ? 0 I
改变电流方向

? ? ?0 I ?0 I ?0 I dl ? ? B ? dl ? ? ? dl ? 2?r ? 2?r 2?r 2?r

r

? ? ? B ? dl ? ? ? 0 I

? B

2、任意积分回路

? ? ? B ? dl ? ? B cos ?dl

.

I

?0 I ?? cos?dl 2?r ?0 I ?0 I ?? rd? ? 2? 2?r 2?

r

d?

? B ? dl?

? ? ? B ? dl ? ? 0 I

安培环路定理

? 在真空中的稳恒电流磁场中,磁感应强度 B 沿任 ? 意闭合曲线的线积分(也称 B的环流),等于穿过该
闭合曲线的所有电流强度(即穿过以闭合曲线为边界 的任意曲面的电流强度)的代数和的 ? 0倍。即: ? ? ?B ? dl ? ?0 ? Ii ?

I1

I2

说明: 电流取正时与环路成右旋关系

I4
l

I3

? ? 如图 ? B ? dl ? ? 0 ? I i

? ?0 ( I 2 ? I 3 )

静电场

稳恒磁场
? ? ? B ? dl ? ? 0 ? I i
i

? ? ? E ? dl ? 0
电场有保守性,它是 无旋场,或有势场

磁场没有保守性,它是 有旋场,或无势场

? ? 1 ?s E ? dS ? ? 0 ? qi
电力线起于正电荷、 止于负电荷。 静电场是有源场

? ? ? B ? dS ? 0
磁力线闭合、 无自由磁荷 磁场是无源场

二、安培环路定理的应用

? ? ? B ? dl ? ?0 ? I i

当场源分布具有对称性时,利用安培环路定理计算
磁感应强度

1. 无限长载流圆柱导体的磁场分布
已知:I、R 电流沿轴向,在截面上均匀分布 分析对称性 电流分布——轴对称 磁场分布——轴对称

I
R

作积分环路并计算环流 如图

? 利用安培环路定理求 B
? ? ? B ? dl ? ? 0 I

? ? ? B ? dl ? ? Bdl ? 2?rB
?0

r?R

I
R

r
? B

2?rB ? ? 0 I

?0 I B? 2?r

作积分环路并计算环流 如图

? ? ? B ? dl ? ? Bdl ? 2?rB ? 利用安培环路定理求 B
? ? B ? dl ? ? 0 I ? ?

r?R

I

R

I?
? B

?0

r

I 2 ? ?0 ?r 2 ?R

? 0 Ir B? 2 2?R

结论:无限长载流圆柱导体。已知:I、R

? ? 0 Ir ? 2?R 2 ? B?? ? ?0 I ? 2?r ?

r? R r? R

B
?0 I 2?R

? B

I
R

?

B

O

r

2. (无限)长直载流螺线管的磁场分布 已知:I、n(单位长度导线匝数) 分析对称性 管内磁力线平行于管轴 管外靠近管壁处磁场为零

...............
? B
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

I

根据对称性,选择闭合路径积分,计算环流

? ? b ? c ? B ? dl ? ?a Bdl cos 0 ? ?b Bdl cos 2
? ? 0dl ? ?d Bdl cos
c d

a

?
2

? B ? ab
利用安培环路定理求

? ? ? B ? dl ? ? 0 nabI

? B

? ............... B
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

管内磁场是匀强磁场!

? ? 0 nI B?? ? 0

内 外

a
d

b

c

I

6-6

洛仑兹力公式

一、洛仑兹力公式 根据P166磁感应强度的定义,电量为q的电荷,在磁场 中平行于磁场运动时,所受磁力为0;垂直于磁场以v运 动时,所受磁力为

Fmax ? Bqv

? ? F ? qvB sin( v , B) ? Bqv sin ?
运动电荷在磁场中所受的磁场力

? ? ? F ? qv ? B

? ? ? F ? qv ? B
大小 方向

——洛仑兹公式
力与速度方向垂直。

f ? qvB sin ? ? fm

? ?B ?q ? v

粒子在同时存在电场和磁场的空间运动时,其受的合力:

? ? ? ? F ? q( E ? v ? B )
电场力
磁场力

二、 带电粒子在均匀磁场中的运动

? ? (1)v与B 平行或反平行 ? ? ( 2) v与B垂直

? ? ? F ? qv ? B

?

? ?

? B

? F ?0

粒子做直线运动
× × × × × ×
× × × × × × × ×

F ? Fmax ? qvB
v2 只改变速度方向 qvB ? m 不改变速度大小 R

? ×f ×
×

? ×B
? v ×

× × × ×

× ×

mv R? qB

2?R 2?m T? ? v qB

× × × × ×

q

粒子做匀速圆周运动

? ? (3) v与B 成?角

v // ? v cos? v? ? v sin? mv ? mv sin? R? ? qB qB 2?R 2?m T? ? v? qB
螺距 h : h ? v //T ? v cos ? ? T

? v?

?

? v ? ? v //

? B

粒子做螺旋运动

2?mv cos? ? qB
只与v的平行分量有关,与其垂直分量无关!

带电粒子在磁场中所受作用及其运动: 极光

许多世纪以来,这一直是人们猜测和探索的天象之谜 。从前,爱斯基摩人以为那是鬼神引导死者灵魂上天堂 的火炬。13世纪时,人们则认为那是格陵兰冰原反射的 光。到了17世纪,人们才称它为北极光——北极曙光( 在南极所见到的同样的光称为南极光)。 随着科技的进步,极光的奥秘也越来越为我们所知, 原来,这美丽的景色是太阳与大气层合作表演出来的作 品。在太阳创造的诸如光和热等形式的能量中,有一种 能量被称为“太阳风”。太阳风是太阳喷射出的带电粒 子,是一束可以覆盖地球的强大的带电亚原子颗粒流。 太阳风在地球上空环绕地球流动,以大约每秒400公里的 速度撞击地球磁场。地球磁场形如漏斗,尖端对着地

球 的南北两个磁极,因此太阳发出的带电粒子沿着地磁场 这个“漏斗”沉降,进入地球的两极地区。两极的高层 大气,受到太阳风的轰击后会发出光芒,形成极光。在 南极地区形成的叫南极光。在北极地区形成的叫北极光 。

三、霍耳效应
厚度b,宽为a的导电薄片,沿x轴通有电流强度I,当在

( y轴方向加以匀强磁场B时,在导电薄片两侧 A, A? ) 产生一电位差U H ,这一现象称为霍耳效应

A
I

? Z y B
I ? B I x
b

U H ? RH

IB b

RH---霍耳系数

a
A?

霍耳效应原理 带电粒子在磁场中运动受到洛仑兹力 Z y ? ? ? A q>0 f ? qv ? B

? B

? ? f e ? qE H



+++++ +++++++ ?

I

a
F合 ? 0

f 洛 ? f e ? E H ? vB

? EH

? B

I

f洛

fe

? ? ?

I x

A?

b

此时载流子将作匀速直线运动,同时 A, A两 ? 侧停止电荷的继续堆积,从而在 A, A?两侧建立一 个稳定的电势差

UH EH ? U H ? avB a 1 IB ? I ? nqvab ? U H ? nq b

霍耳效应的应用 1、确定半导体的类型 n型半导体载流子为电子 p型半导体载流子为带正电的空穴 2、根据霍耳系数的大小的测定, 可以确定载流子的浓度 霍耳效应已在测量技术、电子技术、计算技 术等各个领域中得到越来越普遍的应用。

6-7

安培定律

安培力:电流元在磁场中受到的磁力

今在载流导线上取

? 一电流元 Idl
载流子数

? vd
?

? ? Idl ?
dl

? fm

I

S

dN ? nsdl ? ? ? ? ? dF=dNqv ? B=nsdlq v ? B ? ?
由于

? B

? ? ? dF=Idl ? B

nsvq=I

nsdlqv =Idl
安培定律

? ? ? dF ? Idl ? B
大小

安培定律

dF ? IdlB sin?
右手螺旋

? ? ? ? arcsin( Idl , B )

方向判断

一段载流导线受到的磁力

? F ?

? ? dF ?

? ? ? Idl ? B
L

与p178带点粒子在磁场中的洛仑兹公式比较

? ? ? F ? qv ? B

例:均匀磁场中载流直导线所受安培力

? 取电流元 Idl
受力大小

? ? ? dF ? Idl ? B

? Idl

dF ? BIdl sin?
方向

? dF

×

?

B

?
L

I

积分 结论

F ? ? BIdl sin? ? BIL sin?

F ? BLI sin?

方向

?

F ? BLI sin?

?0 ? ?? ??
?? ?2 ? ?? 3? ? ?2

? B

f ?0

I
? B

f max ? BLI

I

例题 无限长两平行载流直导线间的相互作用力

? B2
? Idl1 ? df 1 ? df 2

a
? Idl 2

df1 ? B2 I1dl1 df 2 ? B1 I 2dl2
由环路定理易得:

? B1

?0 I2 B2 ? 2?a

? 0 I1 B1 ? 2?a

I1

I2
导线单位长度所受磁力为

? 0 I1 I 2 df1 ? dl1 2?a

? 0 I1 I 2 df 2 ? dl 2 2?a

例题 求一无限长直载流导线的磁场对另一直载流 导线ab的作用力。
已知:I1、I2、d、L

解: df ? BI 2dl

? 0 I1 I 2 ? dx 2?x

a

? df
? I 2 dl
L

b

f ? ?L df ? ? d

d?L

? 0 I1 I 2 dx 2?x

I1
d

x

I

2

? 0 I1 I 2 d ? L ? ln 2? d

作业
? P199
6-14

三、磁场对载流线圈(刚体)的作用-电动机原理

? F1 l1

? F2 l 2

I

cn

??

F2 ?? b F1 ? ? BIl sin ? 大小相等,方向相反,在同一直线上! F1 ? F1 1 ? ? ? 磁 F2 ? F2 ? BIl 2 力偶臂 d ? l1 sin ?

a(b) ?

?

? ? n pm

?

d (c ) ?

pm ? ISn M ? F2 d ? BIl2l1 sin ? ? B IS sin ? ? Bpm sin ?

.

a

d ? B

d
l1

?? F2

?? F2 ?

? B



M ? Bpm sin ?
如果线圈为N匝

? ? ? M ? Pm ? B
讨论
(1)

? ? Pm ? NISn
对匀强磁场中任意形状的 平面载流线圈均成立!

??

?
2

? ?

?? F2

.

M max ? Pm B
线圈所受力矩最大!

F2

? B

? ? ? M ? Pm ? B
(2)

? ? ? ? ?
(3) ?

? ?0

? ? ? ? ? ? ? ?
?? ? ?? F1 ? ?? F2 F2? ? ? ? ?
? F1 ?

线圈所受力矩为零, 处于稳定平衡! 此时磁通量最大!

? ? F2

? F1 ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? F1

?? F2

? ?
??

? ?

? ? ?

? ? ? ? ? ?

线圈所受力矩为零, 处于不稳定平衡!

四、 磁力的功
1.载流导线在磁场中平动时磁力所做的功

A ? F?x ? BIl?x
? IB?S ? I?? m

. .. . . . .. . . ? . BI . . I. .? .l . . . .F .
?
?x

2.载流线圈在磁场中转动时磁力矩所做的功 ? F1 l1

M ? BIS sin ? dA ? ? Md?

a
? F2 l 2

d ? B

? ? BIS sin ?d?

?? ? F2

? Id ( BS cos ? ) ? Id? m ? A ? ? dA ? ? Id? m ? I??m
m2

I

cn
?? F1

??

b

?m1

A? ?

?m 2

?m1

Id? m

? M

.

.
? pm
d?

? B

?

磁力做功的表达式

例:一半径为R的半圆形闭合线圈,通有电流I,线圈 放在均匀外磁场B中,B的方向与线圈平面成300角, 如右图,设线圈有N匝,问:
(1)线圈的磁矩是多少?

(2)此时线圈所受力矩的大小和方向?
(3)图示位置转至平衡位置时,

? B
60
0

磁力矩作功是多少?

解:(1)线圈的磁矩

? ? ? 2 ? p 的方向与B成600夹角 pm ? NISn ? NI R n m 2
3? 2 R M ? pm B sin 60 ? NIB 4 ? ? 磁力矩的方向由 p ? B 确定,为垂直于B的方向向上。 m
0

(2)此时线圈所受力矩的大小为

(3)线圈旋转时,磁力矩作功为

A ? NI??m ? NI ?? 2 m ? ?1m ? ? 2 ? ? 2 0? ? NI ? B R ? B R cos 60 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? NIB R

? B
60
0

9-6

磁介质 磁化强度

一、 磁介质 磁介质——能与磁场产生相互作用的物质 磁化——磁介质在磁场作用下所发生的变化 安培分子电流假说 每个磁介质分子或原子在电子的运动作用下相当于 一个环形电流,即分子电流
I

? n
? ? pm ? ISn
磁 矩

分子磁矩


第十二章 磁场中的磁介质
? pm

分子电流和磁矩

I

B ? B0 ? B

'

Is
顺 磁 质 的 磁 化
无外磁场 有外磁场

? B0

因为磁化而出现的电流叫做磁化电流

I?

极化电荷

? ? ? B ? Bo ? B?

附加磁场

? 根据 B? 的大小和方向可将磁介质分为四大类 (1)顺磁质 B ? B0 (3)铁磁质 B ?? B0
(2)抗磁质 B ? B0 (4)超导体

B?0

二、磁化强度

极化强度

定义: 磁化强度(描述磁介质磁化的程度)

? ? ? pmi j? ?V

A? m

?1

单位体积内分子磁矩的矢量和

? ? ? B ? Bo ? B?

磁化电流的磁感强度

介质中的合磁感强度 传导电流产生的磁感强度

6-9 磁场强度 磁介质中的安培环路定理
参见P153处理静电场中电介质的高斯定理方法!

1、磁化强度与磁化电流的关系

取如图所示的积分环路abcda:

a
d

b
c

?

L

B ? dl ? ?0 ? ( I i ?I i?)

? ? pmi I ?S I ? 磁化强度 j ? ? ? ? i? 磁化电流线密度 大小 ?V Sl l ? I i? ? j ab

找出磁化强度与磁化电流的关系

2、磁介质中的安培环路定理
考虑顺磁质
L b ? ? j ? dl ? ? j cos 0o dl ? jab ?? I i? a L

?

L

? ? B ? dl ? ?0 ? ( I i ? I i?)
L

?? ?

? ? ? ? ? ? B ? d? ? ?0 ? I i ? ?0 ? j ? dl l L L ? ? B ? ( ? j ) ? dl ? ? I i
? 定义磁场强度 H ?
L

a
d

b
c

?0

? B

?0 ? ? ? H ? dl ? ? I 0
L L

? ? j 单位:安培/米(A/m)

在稳恒磁场中,磁场强度矢量H沿任一闭合路径的线积 分(即环流)等于包围在环路内各传导电流的代数和。

3 磁场强度、磁感强度和磁化强度的关系

? H ? ? j ? ?m H

? B

? j

? H?

? B

? m — 介质的磁化率

?0

? ?j

?

? B

?0

? ? ?mH
介质的磁导率

? ? B ? ? 0 ( 1 ? ? m )H

?0?r ? ?
? B ? ? j

? ? B ? ?H

?r

相对磁导率

? H ?

?0

? ? ? H ? dl ? ? I 0
L L

? ? B ? dl ? ?0 ? I i ? ?0 ? I i? ?L ? ? ? ? B ? dl ? ?0 ? I ? ?0 ? j ? dl ?
L

磁介质中的 安培环路定理

电介质中的 高斯定理

? (?
L

? B

L

? ? 1 ' ?S E ? dS ? ? (q ? qi ) ?0 S ? ? 1 1 ? ? ? E ? dS ? ? q ? ? P ? dS
S
? ? D ??E

? ? ? j ) ? dl ? ? I i
L

?0

S

?0

S

? ? ? ?LH ? dl ? ? Ii ? B ? H? ?j ? ?0 ?

0

? ? ? ?S (? 0 E ? P ) ? dS ? ? q
? ? ? D ? dS ? ? q0i
S

S

? ? ? D ? ?0E ? P

B ? ?H

? ? D ? ?E

例1 一环形螺线管,通有电流I,管内充满磁导率为μ ,相对磁导率为μr的顺磁质。单位长度上的导线匝数 为n。

求:环内的磁场强度和磁感应强度

? ? 解: H ? dl ? H 2?r ? NI

?L
NI H ? ? nI 2?r

r
O

B ? ?H ? ? 0 ? r H

例2 一无限长载流圆柱体,通有电流I ,设电流 I 均匀分布在整个横截面上。柱体的磁导率为μ,柱 外为真空。 求:柱内外各区域的磁场强度和磁感应强度。

解: r ? R

I
R

? ? ?LH ? dl ? H 2?r ? I ?2 r ? 2 I R

?
? H

I?

?0

Ir H ? 2?R 2

?Ir B? 2?R 2

r

r?R
H ?

? ?
I

L

? ? H ? dl ? H 2? r ? I
?0 I B? 2?r
?0

I

R

2?r

?
? H
?0 I 2?R

r

亦可直接用真空中的环路定理来求解。

H
I 2?R

B
?I 2?R

O

R

r

O

R

r

在分界面上H 连续, B 不连续

? P200~P201
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