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(第九课时)直线和平面所成的角

发布时间:2013-09-20 11:58:24  

直线和平面所成的角

运城盐化中学

刘俊文

一. 复 习
1. 线线角——异面直线所成的角
直线a,b是异面直线,经过空间任意一 点o,分别引直线a1∥a, b1∥b, 我们把 直线a1和b1所成的锐角(或直角)叫做异 面直线a和b所成的角。

2. 点在平面上的 射影
p

?

O

自一点向平面引垂线,垂足叫做这点在这个平 面上的射影;

二、新 课

(一)斜线在平面上的射影

1、一条直线PA和一个平面 ? 相交,但不和这个平 面垂直,这条直线PA叫做这个平面 ? 的斜线 2、斜线和平面的交点A叫做斜足。 3、过斜线上斜足A以外的一点P向平面引垂线PO,过垂 足O和斜足A的直线叫做斜线在这个平面上的射影; P O A

?

平面的垂线

P

.
l

平面的斜线

α
垂足 斜足
斜线在平面内的射影

说明:过斜线上斜足A以外的一点P向平面引垂线
PO,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的

射影;
斜线上任意一点 在平面上的射影,一 定在斜线的射影上。

P

O

?

A

1、点P的任意性,不与斜足A重合即可 2、射影是过垂足和斜足的直线而不是线段

思考:科学家用什么来衡量比萨斜塔的倾斜程度 呢?

O

A

?

(二)平面的斜线和平面所成的角
平面的一条斜线和它 在平面上的射影所成的锐 角,叫做这条直线和这个 平面所成的角.

?

?
特例规定:

90 0 (1)直线和平面垂直,则直线和平面所成的角是_______ 00 (2)直线和平面平行或在平面内,则直线和平面所成的角是_______

1、斜线与平面所成的角θ的取值范围是:

0? ? ? ? 90?
2、直线与平面所成的角θ的取值范围是:

0? ? ? ? 90?
3、两异面直线所成的角θ的取值范围是:

求线面角
PB ? 1,求PA和面?所成的角。
P 2

例1 PA是平面?的斜线段,PA ? 2,PB ? ?,B为垂足,
解:连结AB,∵PB⊥? 一找垂线

1 B

?

A

∴AB为PA在平面 ? 内的射影 二找射影 ? ?PAB为斜线段PA与面?所成的角 三找角 ? ?在Rt?PBA中, PAB ? 30 ? 四求角

即PA与面?所成的角为 o. 30
结论

例2、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,求A1B与 平面ABCD所成的角的大小。

变式一:A1B与平面BC1呢?
解: ? AA ? 平面ABCD 1 D1 A1 C1 ∴AB是A1B在平面ABCD内的射影 B1 ∴∠A1BA是A1B与平面ABCD所成 的角 而∠A1BA=45o D A B ∴A1B与平面ABCD所成的角为45o. C

例2、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,求A1B与 平面ABCD所成的角的大小。

变式一:A1B与平面BC1呢?
解: ? AA ? 平面ABCD 1 D1 A1 C1 ∴AB是A1B在平面ABCD内的射影 B1 ∴∠A1BA是A1B与平面ABCD所成 的角 而∠A1BA=45o D A B ∴A1B与平面ABCD所成的角为45o. C

例2、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,求A1B与 平面ABCD所成的角的大小。

变式二:BC1与平面A

BCD呢?
变式三:BC1与平面CD1呢?
D1 A1 C1 B1

D A B

C

例2、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,求A1B与 平面ABCD所成的角的大小。

变式四:A1C1与平面A1D呢?
变式五:A1C1与平面CD1呢?
D1 A1 C1 B1

D A B

C

练习一:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,求A1C 与平面ABCD所成的角的正弦值。
变式一:A1C与平面BC1呢?

变式二:BD1与平面AC呢?
变式三:BD1与平面BC1呢?
D1 A1 C1 B1 A1

D1

C1

B1

D A B

C A

D B

C

练习二:如图,PA ⊥平面ABC,在△ABC中, o ∠BAC=90 ,点O为BC的中点,PA=5,BC=10,求PO 与平面ABC所成角的大小。

解:连接AO.

? PA ? 平面ABC
? A O是斜线PO在平面ABC内的射影。

P

? ?POA为PO与平面ABC所成角。 5
在△ABC中,∠BAC=90o, 点O为BC的中点,BC=10。
A

∴AO=5
在Rt△PAO中, ∠PAO=900,PA=5

B

O 10
?

C

∴∠POA=450

? PO与平面ABC所成角为 。 45

练习三:线段MN长6厘米,M到平面β的距离是1厘米, N到平面β的距离是4厘米,求MN与平面β所成角的正弦 值。 N ∠MOM'就是MN与β所成的角 N M 移出图 6 M 4 N' O 1 M' N' β O M' M M O N' 1 O M' N' 移出图 M' 6 β 4 N N

练习五:正方体ABCD-EFGH中
H F G 1、HC与平面ABCD 所成的角为____. 45?

E

D

??

?

2、BG与平面ABCD C 所成的角为_________. 45?

A

B 90? 3、EA与平面ABCD所成的角为_________. 4、EG与平面ABCD所成的角为______.
2 5、EC与平面ABCD所成的角的正切值为____. 2

0?

(三)最小角定理
A

B

?1 ? ?2
C

O

?

l是平面? 的斜线,A是l 上任意一点, AO⊥? , O是垂足,OB是斜线l的 射影,θ1是斜线l与平面? 所成的角.BC是?内任意 直线,则
cos 1 ? BO θ AB cos ? BC θ AB cos 2 ? BC θ OB

∴ cos ? ? cos ?1 cos ? 2
斜线和平面所成的角,是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。

例3、 AB与平面?斜交,B为斜足,AB与平面?成?角, O是A在?上的射影,BC是?内的直线,∠OBC=30?,∠ABC=60?, 则sin ABO= 解 : 直线OB为直线AB在平面?内的射影, ? A
由斜线和平面所成角的定 义可知 , ∠ ABO 为 AB 和 ? 所成的角 .
?1 ? ?2
C O

又 ?cos? ? cos?1 cos?2
cos ABO ? cos ABC 3 ? cos CBO 3 6 3

B

?

∴ sin ABO=

练习:

? 1、已知直线L与平面?所成角是 3 ,
直线m是平面?内直线,则直线L与m所成角
? ? [ , ] 的范围是_____________ 3 2

继续探究射影
已知平面α的斜线PA,过P作PO垂直于平面α, 垂足为点O. 平面α内有一条直线l P
O
A l

α

1、若l ? OA, 则l与PA垂直吗? 2、若l ? PA, 则l与OA垂直吗?

说明了什么?

P

四线一面
α

O

A

l

1、平面内的一条直线如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.

2、平面内的一条直线如果和这个平面的

一条 斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.

典型:四面体P-ABC的顶点P在平面上的射影为O

(1)P到三顶点距离相等 O是 ABC的 外 心 (2)侧棱两两垂直 O是 ABC的 垂 心

(3)P到三边AB、BC、AC距离相等
O是 ABC的 内心

PA 例:四面体P-ABC中, ? BC, PB ? AC

求证:PC ? AB

O是垂心
对棱两两垂直 O是 ABC的 垂 心

若三棱锥有两组对边互相垂直,则 另一组对边必然垂直

小 结

? 1、斜线与平面所成角的范围: 0o , 90o
o o

?

?
A

? 2、直线与平面所成角的范围:? 0 , 90 ?

l

? 3、求线面角的步骤:

?

O

B
四求角

一找垂线

二找射影

三找角

关键:确定斜线在平面内的射影.


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