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人教B版:2.4.2 抛物线的几何性质

发布时间:2013-12-09 10:28:14  

2013年12月9日星期一

一、温故知新
定义:在平面 内,与一个定点 F和一条定直 线l(l不经过点 F)的距离相等 的点的轨迹叫 抛物线.
图 l y
O

抛物线的定义及标准方程
形 标准方程
焦点坐标 准线方程

F

x

y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0)

p ( ,0 ) 2 p (? ,0) 2 p (0, ) 2

p x?? 2 p x? 2 p y?? 2 p y? 2

y
F

l
O

x

y
F
O

l

x

y
l
O F

x

p x2=-2py (0, ) ? (p>0) 2

二、探索新知 如何研究抛物线y2 =2px(p>0)的几何性质?
y

1、

范围

由抛物线y2 =2px(p>0) 有 2 px ? y 2 ? 0

所以抛物线的范围为 x ? 0
抛物线在y轴的右侧,当x的值增大时,︱y︱也 增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。

x ?? 0

p?0

o

p F ( ,0 ) 2

x

2、

对称性
关于x轴

y

? ( x, y)

对称

( x, ? y )
2

若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px, o F ( p ,0) 则 (-y)2 = 2px 即点(x,-y) 也在抛物线上, 故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.

x

3、

顶点
y

定义:抛物线与 它的轴的交点叫做抛 物线的顶点。

?

o

y2

= 2px (p>0)中,

F(

p ,0 ) 2

x

令y=0,则x=0. 即:抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点(0,0).

注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。

4、

离心率

y
P(x,y)

抛物线上的点与 焦点的距离和它到准 线的距离之比,叫做 抛物线的离心率。 由定义知, 抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率为e=1.

o

p F ( ,0 ) 2

x

下面请大家得出其余三种标准方程抛 物线的几何性质。

(二)归纳:抛物线的几何性质
图 形
y
l
O F

方程

焦点 准线 范围 顶点 对称轴
x≥0 y∈R x≤0 x轴

e

y2 = 2px p p F ( ,0 ) x ? ? x (p>0) 2 2
l

y
F O

y2 = -2px p p F ( ? ,0) x ? 2 x(p>0) 2 x2 = 2py p p F (0, ) y ? ? 2 2 x (p>0)
l

y∈R
(0,0) 1

y
O

F

y≥0
x∈R y轴 y≤0

y
O F

= -2py F (0,? p ) y ? p 2 x(p>0) 2 x2

l

x∈R

特点:
y2=4x 1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 y2=2x 限延伸,但它没有渐近线; y2=xy 1 2= y x 2.抛物线只有一条对称轴,没有
4 3 2 1

2

P(x,y)

-2

2

4

6

8

10

对称中心;

-1

-2

3.抛物线只有一个顶点、
-4

-3

o

F(

p ,0 ) 2

x

一个焦点、一条准线; 4.抛物线的离心率是确定的,为1; 思考:抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响. P越大,开口越开阔

-5

补充(1)通径: (标准方程中2p的几何意义)
y

通过焦点且垂直对称轴的直线, 与抛物线相交于两点,连接这 两点的线段叫做抛物线的通径。
O

P ( x0 , y0 )
F
x

通径的长度:2P

P越大,开口越开阔

利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。 (2)焦半径: 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫

做抛物线的焦半径。
焦半径公式:|PF|=x0+p/2

三、典例精析

坐标轴

例1:已知抛物线

关于x轴对称,它的顶点在坐标 ? ),求它的标准方程. 原点,并且经过点M(2, 2 2 解: 因为抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原 点,并且经过点M(2, 2 2 ), ? 所以设方程为: y 2 ? 2 px 又因为点M在抛物线上: 所以:?2 (
2

( p ? 0)

2) ? 2 p ? 2 ? p ? 2 因此所求抛物线标准方程为:2 ? 4 x y

当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0) (x2=2my (m≠0)),可避免讨论

例2:探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源 位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm,灯深 40cm,求抛物线的标准方程和焦点位置。

解: 在探照灯的轴截面
所在平面内建立直 角坐标系,使反射镜 的顶点与原点重合, x轴垂直于灯口直径.
?

y

A

(40,30)

O
B

x

设抛物线的标准方程为:y2=2px

由条件可得A (40,30), 302=2p· 40

代入方程得: 45 解之: p=
4

故所求抛物线的标准方程为:

y2=

45 2

x, 焦点为(

45 8

,0)

例 3 已知点 A 在平行于 y 轴的直线 l 上,且 l 与 x 轴的交点为 → → → (4,0).动点 P 满足AP平行于 x 轴,且OA⊥OP,求 P 点的轨 迹方程,并说明轨迹的形状.
解 设动点 P 的坐标为(x, 则由已知得 A 点坐标为(4, y), y), → → 所以OA=(4,y),OP=(x,y). → → → → 因为OA⊥OP,所以OA· =0, OP 因此 4x+y2=0,即 P 的轨迹方程为 4x+y2=0. 轨迹的形状为抛物线.

小结

求解圆锥曲线的轨迹方程的方法:一是代数法:建立坐

标系——设点——找限制条件——代入等量关系——化简整 理,简称“建设限代化”;二是几何法:利用曲线的定义、待 定系数.但要特别注意不要忽视题目中的隐含条件,防止重、 漏解.

l 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的 例3、斜率为1的直线
焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线 y 段AB的长。
A` A

O

F
B

解这题,你有什么方法呢?

B`

x

法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大); 法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);
法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计 算弦长.

p 解 由题意可知, p ? 2, ? 1, 2 焦点F ?1,0 ?, 准线l : x ? ?1. 如

y
A

A`

O
B` B

F

图2.3 ? 4, 设A? x1 , y1 ?, B? x2 , y2 ?, A, B到准线l的距离分别为d A , d B . 由抛物线的定义可知

x

图2.3 ? 4

| AF |? d A ? x1 ? 1, | BF |? d B ? x2 ? 1.

于是 | AB |?| AF | ? | BF |? x1 ? x2 ? 2.
由已知得抛物线的焦点为 F ?1,0 ?, 所以直线 AB 的 方程为 y ? x ? 1.

?1?

将 ?1? 代入 y 2 ? 2 x , 得 ? x ? 1? ? 4 x.
2
A`

y
A

化简得 x 2 ? 6 x ? 1 ? 0.
由求根公式得 x1 ? 3 ? 2 2 , x2 ? 3 ? 2 2 , 于是 | AB |? x1 ? x2 ? 2 ? 8 .

O
B` B

F

x

图2.3 ? 4

?或由韦达定理得x1

? x2 ? 6?
所以, 线段 AB的长是 8 .

练习:
1、已知抛物线的顶点在原点,对称轴为x轴,焦点在 直线3x-4y-12=0上,那么抛物线通径长是 16 . 2、已知点A(-2,3)与抛物线 y ? 2 px( p ? 0)
2

的焦点的距离是5,则P=

4



3.已知M为抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点,F为抛物线的焦点, 定点P(3,1),则 MP ? MF 的最小值为(B ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
N M M

. .
P

. .
F (1,0)

x?3

四、归纳总结
1、范围: 抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可 以无限延伸,但没有渐近线; 2、对称性: 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3、顶点:抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条准线; 4、离心率:抛物线的离心率是确定的,等于1; 5、通径: 抛物线的通径为2P, 2p越大,抛物线的张口 越大.

补 充
思考题 例3:图中是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离 水面2米,水面宽4米. 若在水面上有一宽为2米,高 水下降1米后,水面宽多少? 为1.6米的船只,能否安全通过拱桥? y A(2,-2) x2=-2y y=-3代入得 x ?

6
l

o

?水面宽2 6
B(1,y) y=-0.5 B到水面的距离为1.5米

2

B A

x

不能安全通过

4


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