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第三次月考试卷3

发布时间:2013-12-17 14:33:05  

第三次月考数学试卷(理科)

第Ⅰ卷 选择题

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意要求的。

1、已知集合M=?1,2,zi?,则复数z?( ) i为虚数单位,N??3,4?,M?N??4?,

A. ?2i B.2i C.?4i D.4i 2、下列命题中,真命题是( )

???

A.?x??0,?,sinx?cosx?2

?2?C.?x?R,x?x??1 3、若x?1,则x?

2

2

B.?x??3,???,x?2x?1

????x??,??,tanx?sinx D.

?2?

1

的最小值是( ) x?1

2x

A、 B

、 C、2 D、3

x?1

?3x?y?6?0,

4、设变量x, y满足约束条件?( ) ?x?y?2?0,则目标函数z = y-2x的最小值为

?y?3?0,?

A. -7 B.-4 C.1 D.2

11?? ab

5、如果a?b?0,那么下列不等式成立的是( )

11A.? B.ab?b2 C.?ab??a2

ab6、若S1?

D.?

?

2

1

x2dx,S2?

?

2

1

1

,S3?x

?

2

1

exdx,则S1,S2,S3的大小

关系为( )

A.S1?S2?S3 B.S2?S1?S3 C.S2?S3?S1 D.S3?S2?S1 7、已知点O,A,B不共线,点P为该平面上一点,且2?2?,则( ) A.点P在线段AB上 B.点P在线段AB的反向延长线上 C.点P在线段AB的延长线上 D.点P不在直线AB上

1

8.在△ABC中,角A,B均为锐角,且cosA?sinB,则△ABC的形状是( )

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 钝角三角形

9、已知数列?an?中,a1 = 2,nan?1?(n?1)an?2,n?N,则a11 =( ) ?

A. 36 B. 38 C. 40 D. 42

10、设集合A是实数集R的子集,如果点x0?R满足:对任意a?0,都存在

x?A 使得0?x?x0?a,则称x0为集合A的聚点.用Z表示整数集,则下列集合中,以0为聚点的集合有( )

n??,n?Z,n?0? (2)不含0的实数集R (1)?x|x?n?1??

1??(3)?x|x?,n?Z,n?0? (4)整数集Z n??

A.(1)(3) B.(1)(4) C.(2)(3) D.(1)(2)(4)

第Ⅱ卷 非选择题

二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分。

11、已知向量a,b夹角为60

??3?2,(3?5)?(m?),m? ______.

2112、若数列{an}的前n项和为Sn=an?,则数列{an}的通项公式是an=_____. 33

13、已知函数f(x)?2sin(?x??)的图像如右图

所示,则f(0)? .

xx14、设函数f(x)在?0,???内可导,且f(e)?x?e,则f?(1).

15、观察下列等式

12=1

12-22=-3

12-22+32=6

12-22+32-42=-10

………

照此规律,第n个等式可为 .

2

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.

?1?16.(本小题满分13分)已知向量a?(cosx,?),b?(sinx,cos2x),x?R, 2??设函数f(x)?a?b,

(1)求f(x)的最小正周期;

?π?(2)求f(x)在?0,?上的最大值和最小值. ?2?

17.(本小题满分13分)如图,某校有一块形如直角三角形ABC的空地,其中?B为直角,AB长40米,BC长50米,现欲在此空地上建造一间健身房,其占地形状为

矩形,且B为矩形的一个顶点,求该健身房的最大占地面积.A

B

18.(本小题满分13分)已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量?(a,b),?(sinB,sinA),?(b?2,a?2),

(1)若//, 求证: △ABC为等腰三角形;

?(2)若?, 边长c=2, 角C=3求△ABC的面积S.

19.(本小题满分13分)已知各项均为正数的数列?an?前n项和为Sn,首项 为2,且2,an,Sn成等差数列。

(1)求数列?an?的通项公式;

(2)若bn?log2an,cn?bn,求数列?cn?的前n项和Tn. an

3

20、(本小题满分14分)已知函数f(x)?x?1?

数). a(a?R,e为自然对数的底ex

(1)若曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值;

(2)求函数f(x)的极值;

(3)当a?1时,若直线l:y?kx?1与曲线y?f(x)没有公共点,求k的最大值.

21.(本小题满分14分)本题设有(I)、(II)两个选考题,每题7分,请考生注意两题都要做答,满分14分。

(I)(本小题满分7分)选修4—2:矩阵与变换

已知直线l:ax?y?1在矩阵A????12??对应的变换作用下变为直线??01?

l':x?by?1.

(1)求实数a,b的值;

(2)若点P(x0,y0)在直线l上,且A??

(II)(本小题满分7分)选修4—4:坐标系与参数方程

过点M(3,4),倾斜角为

相交于A、B两点,

(1)求直线l的参数方程及圆C的直角坐标方程;

(2)试确定MA?MB的值.

?x0??x0??????y??,求点P的坐标. y?0??0???x?2?5cos?的直线l与圆C:?(?为参数)6?y?1?5sin?

4

2013-2014学年上学期第三次月考高三数学(理科)试题参考答案 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。 题号 答案

1 C

2 B

3 D

4 A

5 D

6 B

7 B

8 D

9 D

10 C

二、填空题(本题共5小题,每小题4分,共20分)

29

. 12.an=(?2)n?1. 13. ?2.14. 2 . 42

n?n?1?++

15.12-22+32-42+…+(-1)n1n2=(-1)n1

2

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

1?1?

16.解:f(x)=?cosx,??x,cos 2x

)cos xsin x-cos 2x

2?

2?

11.

π?1ππ?

sin 2x-cos 2x=cossin 2x?sincos 2x=sin?2x??.………….5分 26?266?

?π,即函数f(x)的最小正周期为π. ……….7分

?2

πππ5π

(2)∵0≤x≤,∴??2x??.由正弦函数的性质,

2666πππ

当2x??,即x?时,f(x)取得最大值1.

623ππ1当2x???,即x=0时,f(0)=?,

662π5π?π?1当2x??π,即x?时,f???,

662?2?2

(1)f(x)的最小正周期为T?

?

∴f(x)的最小值为?

11?π?

.因此,f(x)在?0,?上最大值是1,最小值是?.………….13分 22?2?

17. 解:如图,设矩形为EBFP, FP长为x米,其中0?x?40,

A

F

E B

5

健身房占地面积为y平方米.因为?CFP∽?CBA, 以FPCFx50?BF5,,求得BF?50?x, ??BACB40504

555从而y?BF?FP?(50?x)x??x2?50x??(x?20)2?500?500, 444

当且仅当x?20时,等号成立. ………….12分

答:该健身房的最大占地面积为500平方米. …………..13分

ab?b?, 18.(1)证明:?//,?asinA?bsinB,即a?2R2R

其中R是三角形ABC外接圆半径,a=b,∴△ABC为等腰三角形。………….6分

(2)解:由题意可知?,即a(b?2)?b(a?2)?0,?a?b?ab,

由余弦定理可知,4

即(ab)

∴S?2?a2?b2?ab?(a?b)2?3ab, ?3ab?4?0,∴ab?4(舍去ab??1), 11?absinC??4?sin?………….13分 223

19、解:(1)由2,an,Sn成等差数列可得2an?Sn?2,

?Sn?2an?2,Sn?1?2an?1?2,

?Sn?Sn?1?an?2an?2an?1,?an?2an?1,由于an?0,

?an?2(常数),??an?是以2为公比的等比数列。 an?1

n?1又n?1时,S1?a1?2a1?2?a1?2?an?2?2

n?2n………….6分 (2)bn?log22?n,bn?bn?1?1(常数),所以?bn?是以1为公差的等差数列。 bn?1?∴cn?n?n?n??? an2?2?

∴Tn?c1?c2?c3???cn n

6

1?1??1??1?Tn?1??2????3??????n???2?2??2??2?

1Tn?22323n?1??1??1??1?1????2???????n?1?????n????2??2??2??2?

23nn?1nn?1 11?1??1??1??1?∴Tn?????????????n???22?2??2??2??2?

化简可得Tn?2? n。………….13分 2n?12n

aa20、解:(Ⅰ)由f?x??x?1?x,得f??x??1?x. ee?

又曲线y?f?x?在点1,f?1?处的切线平行于x轴, 1??

a?0,解得a?e.………….4分 e

a(Ⅱ)f??x??1?x, e得f??1??0,即1?

①当a?0时,f??x??0,f?x?为???,???上的增函数,所以函数f?x?无极值. ②当a?0时,令f??x??0,得ex?a,x?lna.

x????,lna?,f??x??0;x??lna,???,f??x??0.

所以f?x?在???,lna?上单调递减,在?lna,???上单调递增,

故f?x?在x?lna处取得极小值,且极小值为f?lna??lna,无极大值. 综上,当a?0时,函数f?x?无极值;

当a?0,f?x?在x?lna处取得极小值lna,无极大值.………….9分

(Ⅲ)当a?1时,f?x??x?1?1 xe

1, ex令g?x??f?x???kx?1???1?k?x?

则直线l:y?kx?1与曲线y?f?x?没有公共点,

等价于方程g?x??0在R上没有实数解.

7

假设k?1,此时g?0??1?0,g?1?1???1??0, ?1?k?1?ek?1

又函数g?x?的图象连续不断,由零点存在定理,可知g?x??0在R上至少有一解,与“方程g?x??0在R上没有实数解”矛盾,故k?1.

又k?1时,g?x??1?0,知方程g?x??0在R上没有实数解. ex

所以k的最大值为1.………….14分

解法二:(Ⅰ)(Ⅱ)同解法一.

(Ⅲ)当a?1时,f?x??x?1?1. xe

直线l:y?kx?1与曲线y?f?x?没有公共点,

等价于关于x的方程kx?1?x?1?

?k?1?x?1(*)在R上没有实数解. xe

1①当k?1时,方程(*)可化为x?0,在R上没有实数解. e

1②当k?1时,方程(*)化为?xex. k?1

xx1在R上没有实数解,即关于x的方程:ex 令g?x??xe,则有g??x???1?x?e.令g??x??0,得x??1,

当x变化时,g??x?的变化情况如下表:

当x??1时,g?x?min??,同时当x趋于??时,g?x?趋于??,

从而g?x?的取值范围为??,???. e?1

?e??

8

所以当11??????,??时,方程(*)无实数解,解得k的取值范围是?1?e,1?. k?1?e?

综上,得k的最大值为1.…………..14分

21.(I)(本小题满分7分)选修4—2:矩阵与变换

解:(1)设直线l:ax?y?1上任意点M(x,y)在矩阵A对应的变换作用下的像是M?(x?,y?)。 由???x???12??x??x?2y??x??x?2y,得 ??????????????????y???01??y??y??y??y

又点M?(x?,y?)在直线l':x?by?1上,所以x??by??1,即x?(b?2)y?1, 依题意得??a?1?a?1,解得?…………..4分 b?2?1b??1??

(2) 由A??x0??x0??x0?x0?2y0,解得y0?0. ?y?????y??,得?y?y00?0??0??

又点P0(x0,y0)在直线l:ax?y?1上,所以x0?1.

故点P的坐标为(1,0)…………..7分

(II)(本小题满分7分)选修4—4:坐标系与参数方程

??x?3?tcos?3?t??62l解:(1)直线的参数方程为?(t为参数)………….2分 ?1?y?4?tsin?4?t?62?

圆C的直角坐标方程为(x?2)2?(y?1)2?25;………….4分

(2)将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得t2?(3?3)t?15?0,

设t1,t2为方程的两个根,则MA?MB=t1?t2?15.………….7分

9

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