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24.2.2_直线与圆的位置关系

发布时间:2013-12-25 13:42:27  

A

O

P

B

根据圆的轴对称性,存在与A点重合 你能发现OA与PA,OB 的一点B,且落在圆,连接OB,则它 PA、PB所在的直线分别是⊙o两条切线。 与PB之间的关系吗? 也是⊙o的一条半径。

在经过圆外一点的切线上,这一点和切点之间 的线段的长叫做这点到圆的切线长
A

· O

P

B

切线与切线长的区别与联系:
(1)切线是一条与圆相切的直线;
(2)切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。

如图,已知⊙O外一点P,你能用尺规过点P 作⊙O的切线吗? A 1.连结OP
o

2.以OP为直径作⊙O′, 与⊙O交于A、B两点。 即直线PA、PB为⊙O的切线

·
B

o′

·

p

切线长是 通过作图你能发现什么呢? 一条线段 1.过圆外一点作圆的切线可以作两条 2.点A和点B关于直线OP对称 经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线 段的长,叫做这点到圆的切线长。

如图,PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点。如果连结OA、 OB、OP,图中的PA与PB,∠APO与∠BPO有什么关系? ∵ PA、PB是⊙O的切线, A、B为切点 o ∴OA⊥PA,OB⊥PB 又∵OA=OB,OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP ∴PA=PB,∠APO=∠BPO

A

·
B

p

切线长定理:
从圆外一点可以引圆的两条切线,切线长相等, 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

A ∵ PA、PB是⊙O的切线, A、B为切点 ∴PA=PB,∠APO=∠BPO

·
B

C D

p

如图,若连接AB,则OP与AB有什么关系?
∵ PA、PB是⊙O的切线, A、B为切点 ∴PA=PB,∠APO=∠BPO ∴OP⊥AB,且OP平分AB

从圆外一点引圆的两条切线,圆心和这一 点的连线垂直平分切点所成的弦;平分切 点所成的弧。

o

⌒ ⌒ AD与BD 相等吗?

我们学过的切线,常有 六个 性质: 五个
1、切线和圆只有一个公共点;
2、切线和圆心的距离等于圆的半径;

3、切线垂直于过切点的半径;
4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点; 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。

6、从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等, 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

思考

如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下 一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?

I

D

内切圆和内心的定义: 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫 做三角形的内心.

三角形外接圆
C

三角形内切圆
C

. o
A B B

. o
A

外接圆圆心:三角形三边 垂直平分线的交点。
外接圆的半径:交点到三 角形任意一个定点的距离。

内切圆圆心:三角形三个 内角平分线的交点。 内切圆的半径:交点到三 角形任意一边的垂直距离。

已知:△ABC是⊙O外切三角形,切点为D,E,F。若BC= 14 cm ,AC=9cm,AB

=13cm。求AF,BD,CE。
解:设AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm则 AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm A

? x F y
B O

x
E

x+y=13

依题意得方程组 z
C
X=4 Y=9 Z=5

y+z=14 x+z=9

解得:

y

D z

? AF、BD、CE的长分别是4cm、cm、cm。 9 5

练习: 如图,在△ABC中,点O是内心, 若 ∠ABC=50°, ∠ACB=70°,求∠BOC的度数 A (1)∵点O是△ABC的内心, 1 1 ∴ ∠1= ∠2= ∠ABC= ?50°= 25° 2 2 B
1 1 同理 ∠3= ∠4= ∠ACB= ?70° = 35° 2 2 ∴ ∠BOC=180 °-(∠1+ ∠3)

O
2 )1 4 3(

C

= 180 °-(25°+ 35 °) =120 °

例1 已知,如图,PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点.
直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E,交 AB 于 C. (1)写出图中所有的垂直关系; (2)写出图中所有的全等三角形. (3)如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长. OA⊥PA , OB⊥PB , OP⊥AB O C A D P

(1) 解:

(2) △OAP ≌△ OBP , △OCA≌△OCB E △ACP≌△BCP. (3) 设 OA = x cm , 则 PO = PD + x = 2 + x (cm) 在 Rt△OAP 中,由勾股定理,得 PA 2 + OA 2 = OP 2 即 4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2 解得 x = 3 cm

B

所以,半径 OA 的长为 3 cm.

如图,P为⊙O 外一点,PA、PB分别切⊙O于A、B两点, OP交 ⊙O于C,若PA=6,PC=2 ,求⊙O的半径OA 3 及两切线PA、PB的夹角。

解:连接OA、AC,则OA⊥AP
在Rt△AOP中,设OA=x

A

则OP= x+2 3 ∴OA2+PA2=OP2 即 x2+62=(x+2 3)2 解得x=2 3 ,即OA=OC=2 3
∴OP=4 3 在Rt△AOP中,OP=2OA ∴∠APO=30° ∵PA、PB是⊙O的切线

O

·
B

c

P ·

∴∠APB=2∠APO=60° ∴⊙O的半径为2 3 ,两 切线的夹角为60°

例2 如图,已知:在△ABC中,∠B=90°,O是 AB上一点,以O为圆心,OB为半径的圆交AB 于点E,与AC相切于点D 。求证:DE∥OC C
证明:连接BD. ∵∠ABC=90°,OB为⊙O的半径 ∴CB是⊙O的切线 ∵AC是⊙O的切线,D是切点 ∴CD=CB,∠1=∠2 ∴OC⊥BD ∵BE是⊙O的直径 ∴∠BDE=90°,即DE⊥BD ∴DE∥OC A E
1 2

D O

·

B

切线长定理
A

如图:过⊙O外一点P 有两条直线PA、PB与 ⊙O相切. 在经过圆外一点的圆的切 线上,这点和切点间的线 段的长,叫做切线长.

O

P

B

切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的 切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的 夹角. 平分切点所成的两弧;垂直平分切点所成的弦.


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