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电路 第十八章

发布时间:2014-01-03 15:46:52  

第18章 均匀传输线
本章重点
18.1 18.2 18.3 分布参数电路 均匀传输线及其方程 均匀传输线方程的正弦稳态解 均匀传输线的原参数和副参数 无损耗传输线

18.4 18.5 18.6
18.7

无损耗线方程的通解
无损耗线的波过程 首页

? 重点:
1. 分布参数电路的概念 2.均匀传输线的方程及其正弦稳态解 3.无损耗传输线的波过程

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18.1

分布参数电路

1. 传输线的定义和分类
① 定义 用以引导电磁波,最大效率的将电磁能或电 磁信号从一点定向地传输到另一点的电磁器件称 为传输线。
② 分类 a) 传递横电磁波(TEM波)的平行双线 、同 轴电缆 、平行板等双导体系统传输线。工 作频率为米波段(受限于辐射损耗)。
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b) 传递横电波(TE波)或横磁波(TM波)的单 导体系统,如金属波导和介质波导等。工作频 率为厘米波段。

注意 本章讨论的是双导体系统传输线。 2. 传输线的电路分析方法
① 集总电路的分析方法 当传输线的长度 l<<? ,称为短线,可以忽略 电磁波沿线传播所需的时间,即不计滞后效应,可 用集中参数的电路来描述。
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+ u(t) 短线 l

?
集总参数电路中 C 电场 L 磁场 R 热
导线——只流通电流

L
+

R
i (t )

u (t )
-

G

C

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② 分布电路的分析方法 当传输线的长度 l ??,称为长线,电磁波的滞 后效应不可忽视,沿线传播的电磁波不仅是时间的 函数,而且是空间坐标的函数,必须用分布参数电 路来描述。 + u(t) - G0Δx 长线
L0Δx R0Δx

i (x,t ) C0Δx u (x,t ) ?
l
+

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f =50 Hz

v 3 ?10 ?? ? ? 6000 km f 50
8
8

v 3 ?10 f =1000 MHz ? ? ? ? 0.3m 9 f 10

注意
当传输线的长度 l ??,严格地讲,这是一个电 磁场的计算问题。在一定的条件下可作为电路问题 来考虑。求解这类问题需要解偏微分方程。

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18.2

均匀传输线及其方程

1. 均匀传输线
均匀传输线沿线的电介质性质、导体 截面、导体间的几何距离处处相同。

均匀传输线的特点
① 电容、电感、电阻、电导连续且均匀地分布在 整个传输线上;可以用单位长度的电容C0、电 感L0 、电阻R0 、电导G0来描述传输线的电气性 质; 传输线原参数 0 0 0 0

R G L C

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② 整个传输线可以看成是由许许多多微小的线元 ?x 级联而成; + i 始 u(t) ?x 端 - i C 0 Δx G0Δx
Δx
L0Δx R0Δx

终 端

③ 每一个线元可以看成是集总参数的电路,因而 可以将基尔霍夫定律应用到这个电路的回路和 结点。
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2. 均匀传输线的方程
L0Δx R0Δx

传输线电路模型

+

i (x,t )
C 0 Δx G0Δx

+ -

u (x,t )
KVL方程

i( x ? Δx,t ) u ( x

? Δx, t )

?i( x, t ) L0Δx ? R0Δxi ( x, t ) ? u ( x ? Δx,t ) ? u ( x, t ) ?t Δx ? 0 ?u ?i ? L0 ? R0i ? 0 ?x ?t
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L0Δx R0Δx

+

i (x,t )
C 0 Δx G0Δx

+ -

u (x,t )
KCL方程

i( x ? Δx,t ) u ( x ? Δx, t )

?u ( x ? Δx,t ) C0Δx ? G0Δxu ( x ? Δx,t ) ? i( x ? Δx,t ) ? i( x, t ) ? 0 ?t Δx ? 0 ?i ? C0 ?u ? G0u ? 0 均匀传输线方程 ?x ?t

?u ?i ?i ?u ? L0 ? R0i ? 0, ? C0 ? G0u ? 0 ?x ?t ?x ?t
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注意
① 均匀传输线方程也称为电报方程,反映沿 线电压电流的变化。 ② 均匀传输线沿线有感应电势存在,导致两 导体间的电压随距离 x 而变化;沿线有位 移电流存在,导致导线中的传导电流随距 离 x 而变化 ; ③ 均匀传输线方程适用于任意截面的由理想 导体组成的二线传输线。

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18.3 均匀传输线方程的正弦稳态解
均匀传输线工作在正弦稳态时,沿线的电压、 电流是同一频率的正弦时间函数,因此,可以用 相量法分析沿线的电压和电流。

1. 均匀传输线方程的正弦稳态解
?u ?i ? L0 ? R0i ? 0 ?x ?t ?i ?u ? C0 ? G0u ? 0 ?x ?t
? ? dU ? ?? j? L0 ? R0 ? I dx

?

? dI ? ?? j?C0 ? G0 ?U dx

方程的相量形式
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? ? dU ? ?? j? L0 ? R0 ? I dx

?

? dI ? ?? j?C0 ? G0 ?U dx

令:Z 0 ? R0 ? j?L0

? ? dU ? ? ? Z0 I ? dx ? ? ? ? ? dI ? Y U ? 0 ? dx ?
单位长度复阻抗 单位长度复导纳

Y0 ? G0 ? j?C0
注意

1 Z0 ? Y0

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? ? dU ? ? ? Z0 I ? dx ? ? ? ? ? dI ? Y U ? 0 ? dx ?

传播常数

? ? d 2U ? ??2U ? ? 2 ? Z 0Y0U 两边求导 ? dx ? ? 2? ?? d I ? Z Y I ? ? 2 I ? ? 0 0 ? dx 2 ?

? ? Z0Y0 ? ? ? j? ? ( j?L0 ? R0 )( j?C0 ? G0 )
通解

U ( x) ? A1e I ( x) ? B1e
?

?

?? x

? A2e ? B2e

? x

?? x

? x

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2. 积分常数之间的关系

? dU ? ? ? Z0 I dx
令:

? 1 dU ? ?? x ?x ??? I ? ( A1 e ? A2 e ) Z 0 dx Z 0
0 0

?

Z

?
0

ZY Z
0

?

Y Z

0 0

?

1

Z

C

? 1 ? A1 ? A1 ? B1 ? ? Z0 ZC 得:? ?B ? ? ? A ? ? 1 A 2 2 2 ? Z0 ZC ?

Z0 ZC ? Y0
特性阻抗

注意 A1、A2、B1、B2 由边界条件确定。
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3. 给定边界条件下传输线方程的解
选取传输线始端为坐标原点,x 坐标自传输线 的始端指向终端。 ① ?已知始端(x=0)的电压 U 1 和电流 I 1 的解 ? ? I1 U ( x) ? A1e ?? x ? A2e? x I (x) ? + A1 ?? x A2 ? x + ? ? U1 I ( x) ? e ? e U (x) ZC ZC
?

?

? ? ? ? U ( x ? 0) ? U1 , I ( x ? 0) ? I1

0

x

? ? A1

? A2 ? U1 ? A1 ? A2 ? Z C I?1 ?
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1 ? 1 ? ?) ? 解得: A1 ? (U1 ? Z C I1 ? (U1 ? Z C I1 ) A2 2 2 x处的电压电流为: 1 ? ?? ? ) e?? x ? 1 (U ? Z I ) e? x ? ? U ( x) ? (U1 ? Z C I1 1 C 1 ? 2 2 ? ? ? ? 1 U 1 ? ?? x 1 U 1 ? ? x ? ? I ( x ) ? ( ? I1 ) e ? ( ? I1 ) e ? 2 ZC 2 ZC ?
可写为

1 ? ? ? x ? x 1 ? ?? x ? x ?? ?U ( x) ? 2 U1 (e ? e ) ? 2 Z C I1 (e ? e ) ? ? ? 1 U 1 ?? x ? x 1 ? ?? x ? x ? ? I ( x) ? (e ? e ) ? I1 (e ? e ) ? 2 ZC 2 ?
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1 1 双曲函数: ch?x ? (e? x ? e?? x) sh?x ? (e? x ? e?? x) 2 2

? ? ? ?U ( x) ? U1ch?x ? Z C I1sh?x ? ? U1 ?? ? I ( x) ? ? sh?x ? I1ch?x ? ZC ?
② 已知终端(x=l)的电压 U 2和电流 I 2 的解 ? I (x) ? ? A e?? l ? A e? l ?U 2 1 2 + ?
?

?

? I2
+ ? U2 l
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? I ? 1 ( A ?? l ? A ? l ) ? 1e 2e ? 2 Z ? C

? U (x)

x

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1 ? ? )e? l A ? 1 (U ? Z I )e?? l ? ? 解得: A1 ? (U 2 ? Z C I 2 2 C 2 2 2 2 x处的电压电流为: 1 ? ?? ? ) e? ( l ? x ) ? 1 (U ? Z I ) e?? ( l ? x ) ? ? U ( x) ? (U 2 ? Z C I 2 2 C 2 ? 2 2 ? ? ? ? 1 U 2 ? ? ( l ? x ) 1 U 2 ? ?? ( l ? x ) ? ? I ( x) ? ( ? I 2 ) e ? ( ? I2 ) e ? 2 ZC 2 ZC ?

令x? ? l ? x,x?为传输线上一点到终点的距离。
? I (x) +
-

? I2

? U (x)

l

x?

+ ? U2 0

以终端 为零点
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?? ? 1 ? ? ) e? x? ? 1 (U ? Z I ) e?? x? ? ? U ( x ) ? (U 2 ? Z C I 2 2 C 2 ? 2 2 ? ? ? ? 1 U 2 ? ? x ? 1 U 2 ? ?? x ? ? ? I ( x?) ? ( ? I 2 ) e ? ( ? I 2 ) e ? 2 ZC 2 ZC ?

? ? ? ?U ( x?) ? U 2ch?x? ? Z C I 2sh?x? ? ? ? ? ? U2 ? I ( x ) ? sh?x? ? I 2ch?x? ? ZC ?
例1 已知一均匀传输线 Z0=0.427?79??/km ,
? ? Y0=2.7?10-6?90?s/km. U 2 ? 220 kV , I 2 ? 455A 求 f=50Hz,距终端900km处的电压和电流。
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? ? ? ?U ( x?) ? U 2ch?x? ? Z C I 2sh?x? ? ? ? ? ? U2 ? I ( x ) ? sh?x? ? I 2ch?x? ? ZC ?

ZC ?

Z Y

0 0

? 398? ? 5.5? (Ω)

? ? Z0Y0 ? 1.073 ?10?3 ?84.5? 1/km ? x? ? 900 ? 1.073 ? 10 ?3 ? 965.7 ? 10 ?3 ?84.5?
1 ? x? ?? x? sh?x ? (e ? e ) ? 0.824?86.4? 2 1 ? x? ?? x? ch?x? ? (e ? e ) ? 0.581?7.4? 2
'

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? ( x?) ? U ch?x? ? Z I sh?x? ? 222?47.50 V ? ? ?U 2 C 2 ? U2 ? ? I ( x?) ? sh?x? ? I 2ch?x? ? 548?63.2A ZC ?u ? 222 2 sin( 314t ? 47.5? )V ? i ? 548 2 sin( 314t ? 63.2? )A ?

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4. 均匀传输线上的行波 ? ? ? ?U ( x) ? A1e ? ? x ? A2e? x ? U ? e ?? x ? U ? e? x ? ? I ( x) ? A1 e ?? x ? A2 e? x ? I ? e ?? x ? I ? e? x ? ? ? ? ZC ZC ?
? ? ? ? 1 (U ? Z I ) ? U ? ?? ? ? ? ?U 1 C 1 ? ? A1 2 ? ? ? ? ? ? A2 ? U ? ? 1 (U1 ? Z C I1 ) ? U ? ??? ? 2

?? ?? U U Z C ? ? ? ? ? ? Z C ??z ? ? I I
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瞬时式 u ? x, t ? ? u ? ? u ?

i ? x, t ? ? i ? i ?? U ?ax ? 2 e cos?? t ? ? x ? ?? ? ? z ? ZC ? U ? ax ? 2 e cos?? t ? ? x ? ?? ? ? z ? ZC
? ?

? ? e ?ax cos?? t ? ? x ? ? ? ? 2U ? ? ? e ax cos?? t ? ? x ? ? ? ? 2U ?

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考察u+和i+

? u ? ?x, t ? ? 2 U ? e? ax cos ?? t ? ? x ? ?? ? ?? U ?ax ? i ? 2 e cos?? t ? ? x ? ?? ? ?z ? ZC
特点

① 传输线上电压和电流既是时间t的函数,又是空间 位臵x的函数,任一点的电压和电流随时间作正 弦变化。

t
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② 某一瞬间 t,电压和电流沿线分布为衰减的正弦 函数。 x

经过单位距离幅度衰减的量值,称衰 减常数。 ③ 随距离x的增加,电压和电流的相位不断滞后;

?

?

经过单位距离相位滞后的量值,称相位 常数。
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④ 电压和电流沿线呈波动状态,称电压波和电流波; t=t1 t=t 2 t=t
3

x

u+、i+为随时间增加向x增加方向(即从线的始 端向终端的方向)运动的衰减波。将这种波称为电 压或电流入射波、直波或正向行波 。

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考察最大点的相位:

π π ? t 2 ? ? x2 ? ? ? ? ? t1 ? ? x1 ? ?? ? 2 2 ? (t1 ? t 2) ? ? ( x1 ? x2) 相位速度

? u ? ?x, t ? ? 2 U ? e? ax cos ?? t ? ? x ? ?? ?

( x1 ? x2) ? 得同相位移动的速度: v ? ? (t1 ? t 2) ?
波传播方向上,相位差为2π的相邻两点间 的距离称为波长λ。
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?t ? ?x ? ?? ? (?t ? ? ( x ? ? ) ? ?? ) ? 2π ? 2π v ? ? ?f ? ? / T ?? ? ?
⑤ 沿线传播的功率

P ? U I cos?Z ?
? ?

U

?2

ZC

e

? 2?x

cos?Z

同理考察u-和i?

? ? eax cos ?? t ? ? x ? ? u ? x, t ? ? 2 U
i ? ? x, t ? ? ? 2 ? U? ZC
?

?

?
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eax cos?? t ? ? x ? ? ? ?z ?
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v
x

u-、i-为随时间增加向x减小方向(即从线的终 端向始端的方向)运动的衰减波。将这种波称为电 压或电流反射波、或反向行波 。

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5. 反射系数
定义反射系数为沿线任意点处反射波电压相量 与

入射波电压相量之比。

反射波电压 U ? e j? x nx ? ? ? ? ne2 j? x 入射波电压 U ? e ? j? x
?

?

任一点的 反射系数

? 1 ? ? ? (U 2 ? Z C I 2 ) (U ? Z I ) ? U Z2 ? ZC 2 j? C 2 2 n? ? ? ? ? ? ? ne ? ? ? 1 ? U (U 2 ? Z C I 2 ) (U 2 ? Z C I 2 ) Z 2 ? Z C 2 ? x ? ? L ? 2 ?x nx ? n 终端反射系数

L

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注意

Z2 ? ZC n? Z2 ? ZC

ZC

Z2 x

0 ① 反射系数是一个复数,反映了反射波与入射 波在幅值和相位上的差异;

② 反射系数的大小与传输线特性阻抗和终端负 载阻抗 有关; 当:Z 2 ? 0(短路), Z 2 ? ?(开路),Z 2 ? jX (纯电抗)
? n ?1 当:Z 2 ? Z C ? n ? 0

全反射
匹配

在通信线路和设备连接时,均要求匹配,避免反射
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例 已知一均匀传输线长300km,频率f=50Hz,传播
常数?=1.06?10-3?84.7?1/km , ZC=400?-5.3??,始 端电压 U ? 220?00 kV , I ? 30? ? 100 A ? ?
1 1

求:(1)行波的相速; (2)始端50km处电压、电流入 射波和反射波的瞬时值表达式。

? ? 1.06 ?10?3 ?84.70 ? 0.979 ?10?4 ? j1 .055 ?10?3 解 ? 2π ? 50 v? ? ? 2.98 ? 105 km / s ? 1.055 ? 10-3
? ?? 1 ? ? U1 ? (U1 ? Z C I1 ) ? 65806 ? ? 1.3810 V ? 2 ? ? ? ? ?U1? ? 1 (U1 ? Z C I1 ) ? 54236 ?1.6730 V ? 2

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u ? 2 ? 65806 e
?

?0.979?10?4 x

cos?314 t ? 1.055 ? 10 x ? 1.381 ?V
?3 0

u ? 2 ? 54236 e
?

?0.979?10?4 x

cos?314 t ? 1.055 ? 10?3 x ? 1.6730 ?V

u ? (50km,t ) ? 2 ? 65486 cos ?314 t ? 4.4050 ?V u (50km,t ) ? 2 ? 54502 cos ?314 t ? 4.697 ?V
? 0

?i ? (50km,t ) ? 2 ? 163.71 cos ?314 t ? 0.90 ?A i ? (50km,t ) ? 2 ? 136.25 cos ?314 t ? 100 ?A

? ? U? U? ? ZC ? ? ? ? ? ? ? I I

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18.4 均匀传输线的原参数和副参数
均匀传输线的传播特性由传输线的参数决定。 传输线的参数分原参数和副参数。

1.均匀传输线的原参数

R0 G0 L0 C0

传输线的原参数是指单位长度的电阻、电导、 电容和电感。它们由传输线的几何尺寸、相互位 臵及周围媒质的物理特性决定,组成传输线等效 分布参数电路的基本量,可以用电磁场的方法求 得。

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2.均匀传输线的副参数

? ZC

传输线的副参数有传播常数和特性阻抗。它 们由原参数决定。
① 传播常数

? ? ? ? j? ? ( j?L0 ? R0 )( j?C0 ? G0 )

1 ?? ( R 02 ? ? 2 L20 )(G 02 ? ? 2C 02 ) ? (? 2 L0C0 ? R 0G 0 ) 2 1 2 2 2 2 2 2 2 ?? ( R 0 ? ? L 0 )(G 0 ? ? C 0 ) ? (? L0C0 ? R 0G 0 ) 2

?

?

?

?
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结论
a) ? 和? 是传输线分布参

数和频率的复杂函 数。因此,当非正弦信号在这样的传输线 上传播时,必然引起讯号振幅的畸变和相 位的畸变(或失真)。 b) 当传输线损耗很小

R0 ?? ? L0 , G0 ?? ? C0

? 1 1? C0 L0 ? ? ? ? R0 ? G0 v? ? ? ? ? ? L0C0 2? L0 C0 ? ? L0C0 非正弦信号在低损耗传输线上传播时.畸变 程度很小。
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② 特性阻抗

R0 ? j?L0 ZC ? ? ? ? ? ? Ω ? ? G0 ? j?C0 I I U? U?
2 0 2 0 2 2 0 2 0
0

?

?

R ? ? L j? ?/4?? ??/4。 ?4 e 0 2 G ?? C 对于低损耗传输线 R0 ?? ? L0 , G0 ?? ? C0
结论
L0 ZC ? Ω C0

① 特性阻抗为复数,说明电压与电流不同相; ② 低损耗线的特性阻抗是实数,在微波范围 内使用的传输线属于低损耗传输线。
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例 计算工作于1.5MHz传输线的ZC 、?、? 和?,以
及传播速度。已知原参数为:R0=2.6?/m, L0=0.82?H/m,G0=0,C0=22pF/m。 解 传输线单位长度的串联阻抗为

Z0 ? R0 ? jωL0 ? 8.16?71.41 Ω
0

传输线单位长度的并联导纳为

Y0 ? G0 ? jωC0 ? j20.73 ?10

?5

S/m

特性阻抗 Z0 8.16?71.410 0 ZC ? ? ? 198 .40? ? 9.3 Ω ?5 0 Y0 20.73 ? 10 ?90
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传播常数

? ? Z 0Y0 ? (8.16?71.410 )(20.73 ? 10 ?5 ?900 ) ? 6.64 ? 10 - 3 ? j40.59 ? 10 ?3 ? ? ? j?
衰减常数 相位常数

? ? 6.64 ?10?3
? ? 40.59 ? 10 rad / m
?3

? 2? ? 1.5 ? 106 ν? ? ? 2.322 ? 108 m/s 波速 ? 40.59 ? 10 ?3

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3. 无畸变传输线
当传输线的衰减常数?不是频率的函数,相位 常数?与?成正比时,传输的信号不会发生畸变。

? ? ? ? j? ? ? ? j? K
两种方法: ① 采用无损耗或低损耗传输线

1? C0 L0 ? ? ? ? R0 ? G0 ? 2? L0 C0 ?

? ? ? L0C0
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此时

v?

1 L0C0

ZC ?

L0 ? C0

R0 G0

注意 无损耗线一定是无畸变线,
无畸变线不一定是无损耗线。 ② 采用满足无畸变条件的传输线

? ?
?

?R

0

? j?L0 ??G0 ? j?C0 ? ? j?L0 ?? j?C0 ? ?1 ? ??1 ? ? ? ?? R0 ?? G0 ? ? ?

R0G0



L0 R0 ? C0 G0

无畸变条件
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此时

??
v?

R0G0, ? ? L0C0 ? 1 L0C0

ZC ?

ZC=50?的无畸变线,? =1.15?10-3Np/m, 例 C0=100pF/m,求:1)R0、G0、L0;2)波速; 3)电压传输至1km处及5km处电压振幅降低的 百分率。 解 1)无畸变线满足

L0 ? C0

R0 G0

L0 R0 ? C0 G0

? ? R0G0

ZC ?

L0 ? C0
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R0 G0
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代入电容值,联立求解得:

R0 ? ?Z0 ? 1.15 ?10 ? 50 ? 0.057 Ω / m
?3

L0 ? C0 Z ? 10 ? 50 ? 0.25 ?10
2 0 ?10 2

?6

H/m

R0C0 R0 0.057 G0 ? ? 2? ? 22.8

? 10 ?6 S / m L0 Z0 50 2

2)波在无畸变传输线传送的速度

? 1 1 ?? ? ? ? 2 ? 108 m/s ?6 ?10 ? L0C0 0.25 ? 10 ? 10

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3)沿传输线间隔 l 距离的两电压振幅的比值为: U ( x2 ) ? e ?? l U ( x1 ) 相距1km处

U ( x2 ) ?1000? ?1.15 ?e ? e ? 0.317 ? 31.7% U ( x1 )
相距5km处 U ( x2 ) ?5000α ?5 .75 ?e ?e ? 0.0032 ? 0.32% U ( x1 )
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18.5 无损耗传输线
构成传输线的导体是理想导体R0=0,线间的介 质是理想介质G0=0 ,这种传输线称为无损耗传输 线。低损耗线可以近似看作无损耗线。

1. 无损耗传输线的方程及其解
?u ?i ? L0 ? 0 ?x ?t ?i ?u ? C0 ?0 ?x ?t
? 2u ? 2u ? L0C0 2 2 ?x ?t ? 2i ? 2i ? L0C0 2 2 ?x ?t

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? ? d 2U 2 ? ??2U ? ? ?? L0C0U 在正弦稳态时: ? dx 2 ? ? 2? ?? d I ? ?? 2 L C I ? ? 2 I ? ? 0 0 ? dx 2 ? 令:Z 0 ? j?L0 单位长度的电感

Y0 ? j?C0

单位长度的电容

? ? Z0Y0 ? ? ? j? ? j? L0C0 ? ?0 ? ? ? L0C0
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方程的解

U ( x ) ? U ? e ? j? x ? U ? e j ? x I ( x) ? I e
? ? ? ? j? x

?

?

?

?I e

? ?

j? x

瞬时式

u ( x,t ) ? 2U ? cos( ωt ? βx ? θu1 ) ? 2U ? cos( ωt ? βx ? θu 2 )

i( x,t ) ? 2I cos( ωt ? βx ? θi1 ) ? 2I cos( ωt ? βx ? θi 2 )
? ?

2. 无损耗传输线的传输参数
无损耗均匀传输线的特性阻抗、传播常数、波的 相速度和波长由传输线分布参数L0、C0和频率决定。
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① 传播常数

? ? j?
② 特性阻抗
?

? ? ω L0C0
?

与频率成 线性关系

L0 ZC ? ? ? ? ? ? Ω C0 I? I? ? 1 ③ 相速度 v ? ? ? L0C0
④ 波长

U

?

U

?

实数

常数

1 ?? ? vT ? ? f L0C0
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2?

例 100m长的无损耗同轴传输线,总电感与总电容
分别为27.72?H和180pF。求(1) f=100kHz时的 v 与? ;(2)传输线的特性阻抗;(3) 求传输线上的 迟延。 解 (1) 传输线单位长度的电感与电容为
180 ? 10 ?12 C0 ? ? 1.8pF 100
27.72 ? 10 ?6 L0 ? ? 0.2772 ?H 100

1 8 ?? ? 1.416 ? 10 m/s L0C0 3 ? 2π ? 100 ? 10 ?3 ?? ? ? 4.439 ? 10 rad/m 8 ? 1.416 ? 10
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(2) 特性阻抗

L0 0.2772 ? 10 ZC ? ? ?12 C0 1.8 ? 10
(3) 传输线的延迟为

?6

? 39.243 Ω

100 t? ? ? 706 .2 ? 10 ?9 s ? 1.416 ? 10 8

l

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3. 给定边界条件下方程的解 ?
?

① 已知始端电压 U 1 和电流 I 1 ( x ? 0) 的解

?e ch?x ? chj?x ? ? cos ?x sh?x ? jsin ?x 2 ? ? ? ?U ( x) ? U1cos?x ? jZ C I1sin ?x ? ? U1 ?? ? I ( x) ? ? j sin?x ? I1cos?x

? ZC ? e
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? ? ? ?U ( x) ? U1ch?x ? Z C I1sh?x ? ? U1 ?? ? I ( x) ? ? sh?x ? I1ch?x ? ZC ? j?x ? j?x

② 已知终端电压 U 2 和电流 I 2 ( x? ? 0 ) 的解
? ? ?? ?U ( x' ) ? U 2 cos ?x'? jZ C I 2 sin ?x' ? ? ?? ? U2 ? ( x' ) ? jsin ?x'? I 2 cos ?x' I ? Zc ?

?

?

4.无损耗均匀传输线的入端阻抗
传输线上任意点的入端阻抗等于该点的总电 压与总电流之比:

Z in ( x?) ?

U ( x?) I ( x?)
?

?

?

U 2 cos ?x? ? jZ 0 I 2 sin ?x?
?

?

?

U2 I 2 cos ?x? ? j sin ?x? ZC
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?

?

ZL ?

U2
?

I2

Z L ? jZ 0 tan ? x? Zin ( x?) ? Z C Z C ? jZ L tan ? x?
a Zin b x’ l ZL

a,b端的入端阻抗

0

2π Z L ? jZ C tan l ? Z in (l ) ? Z C 2π Z C ? jZ L tan l ?
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结论
① 入端阻抗和传输线的特性阻抗、工作频率、 传输线的长度 l 及终端负载有关。 ② 入端阻抗每隔半个波长重复出现一次,即

tan( ?x ? n? ) ? tan( ?x) (n ? 0, 1, 2?)

Zin ( x ?

?
2

n) ? Zin ( x)

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讨论 不同负载ZL下 入端阻抗的变化规律
① 终端负载等于特性阻抗时的入端阻抗

ZL ? ZC

特点 沿线各点入端阻抗等于特性阻抗,与线长无 关,这种情况称为传输线匹配。 ② 终端短路时的入端阻抗

2? Z L ? jZ C tan l ? ?Z Zi ? ZC C 2? Z C ? jZ L tan l ?

Z in ? jZ C tan



ZL ? 0

?

l ? jX
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特点

入端阻抗具有纯电抗性质
0?l ?

?
4

0? X ??
??? X ?0
3?/4

感性 容性 2?/4 ?/4 Z(x)

?
4

?l ?

?
2

? l

o

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实际应用中可用 l ? 的 4 无损短路线等效替代一个电感。

?

λ ?L l ? arctan 2π ZC
用等于四分之一波长的短路 线作为理想的并联谐振电路。 ③ 终端开路时的入端阻抗 ZL ? ? 2π Z L ? jZ C tan l ? ? ? jZ cot 2π l ? jX Z in ? Z C C 2π λ Z C ? jZ L tan l

?

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特点

入端阻抗具有纯电抗性质
0?l ?

?
?
4
2

? ? ? X ? 0 容性

?
4

?l ?

0? X ??
3?/4 2?/4

感性 ?/4 Z(x)

? l

o

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实际应用中可用 l ? 的无 4 损开路线等效替代一个电容。

?

λ 1 l ? arccot 2π Z C?C
用等于四分之一波长的开路 线作为理想的串联谐振电路。
④ 终端接纯电抗性负载时的入端阻抗

Z L ? jX

入端阻抗的分布与终端短路或开路传输线的电 抗分布图类似。因为总可以在终端短路或开路传输 线的适当位臵找到等于X的电抗值。
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终端接电感等效为原传输线延长l (<?/4)的短路情况。
jXL 等效 jXL l

jX L ? jZ C tan



?

l

XL l ? arctan 2π ZC

?

终端接电容等效为原传输线延长l (<?/4)的开路情况。 -jXC 等效 -jXC l

X C ? Z C cot



?

l

XC l ? arccot 2π ZC
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?

例 l=1.5m的无损耗传输线(设l <?/4),当其终端
短路和开路时分别测得入端阻抗 Z is ? j103Ω Z i 0 ? ? j54.6Ω 试求该传输线的ZC和传播常数。 2π 2π Z i 0 ? ? jZ C cot l 解 Z is ? jZ C tan l λ ?

Zi 0 Zis ? Z C

2

Z is Zi 0 ? ?(tan



?

l)

2

ZC ? Zi 0 Zis ? j103 ? (? j54.6) ? 75 Ω

? 1 Z ins ? ? ? ? j? ? j arctan? ? ? l Z ino ? ? ?
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? 1 j103 ? ? ? 0.628 rad/m ? arctan? ? ? 1.5 ? j54.6 ? ? ?

结论 通过测量一段无损耗传输线在终端短
路和开路情况下的入端阻抗,可以计算出该传输 线的特性阻抗和传播常数。
⑤ ?/4 线段的入端阻抗 当l=?/4或l=(2n-1)?/4时 tan l ? ? ? 2π Z L ? jZ C tan l 2 ZC ? ? Zi ? ZC 2π Z C ? jZ L tan l Z L



?

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特点 负载阻抗经过?/4无损耗传输线变换到输入端 后等于它的倒数与特性阻抗平方的乘积。利用?/4 线的这一阻抗特性可作成?/4阻抗变换器,以达到 传输线阻抗匹配 。 ZC R 当ZL=R, 接入?/4无损线

令:Zin ? Z C1 / R ? Z C
2

Z C1 ? RZC

ZC

Zin

ZC1

R

?/4

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例 使用?/4阻抗变换器使图示负载和传输线匹
配,决定?/4线的特性阻抗。 解 匹配时 Z AB ? Ri1 //Ri 2 ? 50Ω ?/4 A ZC1 64?

Ri1 ? Ri 2 ? 100Ω

ZC=50?
B

ZC1 ? RL1Ri1 ? 100 ? 64 ? 80 Ω ZC 2 ? RL 2 Ri 2 ? 100 ? 25 ? 50 Ω

ZC2
?/4

25?

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⑥ ?/2 线段的入端阻抗 当l=?/2或l=n?/2时

tan



2π Z L ? jZ C tan l ? ?Z Zi ? ZC L 2π Z C ? jZ L tan l 特点 ? 负载阻抗经过?/2无损耗传输线变换到输入端 后仍等于其本来的阻抗,说明传输线上的阻抗分 布具有?/2的周期性。

?

l ?0

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5.无损耗均匀传输线的工作状态
传输线终端所接负载不同,反射系数就不同,线 上波的分布即传输线的工作状态不同。按照不同负 载,可将传输线的工作状态分为行彼、驻波和行驻 波三种类型。 ① 行波状态

传输线上只有入射波
a. 传输线处于匹配状态 Z L ? Z C b. 传输线无限长
? ? ?

n?0
?

U ? ? j? x ? ? j? x U ( x) ? U e I ( x) ? e ZC 特点 ① 沿线电压、电流振幅不变;
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② 沿线电压、电流同相位; ③ 电源发出的能量全部被负载吸收,传输效率 ? 最高; ④ 沿线的入端阻抗为: Z i ? U ( z ) ? Z C ? I ( z) ② 驻波状态

传输线上出现全反射 n ? 1

Z L-Z C n? Z L ? ZC

a. 终端短路 b. 终端开路

Z L ? 0, Z L ? ?,

n ? ?1 n ?1

c.

终端接纯电抗

Z L ? ? jX ,

n ?1
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如 ZL ? ? n ? 1 则
? ?
? ? ?

?) ? U ? (e? j? x? ? e j? x? ) ? 2U ? cos ?x? U (x
U 2 jU ? ? j? x? j? x? ?) ? I (x (e ?e )?? sin ?x? ZC ZC
?

?

u ?x?, t ? ? 2 2U ? cos β x? cos ?? t ?
i?x?, t ? ? 2 2U ? sin β x? cos ?? t ? 900 ?

驻波

特点
① 沿线电压、电流无波动性,振幅是位臵 x 的函 数,最大值和零值出现的位臵固定不变,称为 驻波;
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电压沿 线作余 弦分布

u

x’

?t1=?/2 ?t2=?/4 o ?t3=3?/2



?x? ? nπ

n? , x? ? ? ? 2

n?

(n ? 0, 1, 2,?)

出现电压振幅绝对值最大点称为波腹。 U max ? 2U ? 2n ? 1 , (2n ? 1)? 当 ?x? ? π x? ? (n ? 0, 1, 2?) 4 2 出现电压振幅绝对值最小点称为波节。 U min ? 0
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② 电压和电流在空间上相差?/2 ,电压波腹点为电 流波节点。有效值沿线分布: ? ? ( x?) ? U ? cos ?x? ?( x?) ? U sin ?x? U I ZC U I

x’

3?/4

?/2

?/4

o

③ 电压和电流在时间上相差90o ,沿线无能量传播, 电能与磁能在?/4空间相互转换。
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③ 行驻波状态
? ? ?

传输线上既有行波又有驻波 部分电磁波反射
? ?
?

0 ? n ? 1 Z L ? R ? jX ? ZC
? ?

?) ? U ? e? j? x? ? U ? e j? x? ? U ? e? j? z ? U ? e? j? z U (x

? (U ? ? U ? )e? j? x? ? U ? (e j? x? ? e? j? x? )
? U ? (1 ? n)e
? ?

?

? j? x?

? 2U ? cos ?x? = 行波 + 驻波
?

?

U? 2U ? ? j? x ? ?) ? I (x (1 ? n)e ?j sin ?x? ZC ZC

U ? ? U max ? 2U ? 0 ? U min ? U ?

x’

o
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18.6 无损耗线方程的通解
当传输线发生换路时将引起过渡过程(波过程)

1. 无损耗均匀传输线方程的瞬态解
?u ?i ? L0 ? 0 ?x ?t ?i ?u ? C0 ? 0 ?x ?t
v? 1 L0C0

i(x,t) x 波 动 方 程
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u(x,t) 0

? 2u ? 2u 1 ? 2u ? L0C0 2 ? 2 2 2 ?x ?t v ?t ?i ?i 1 ?i ? L0C0 2 ? 2 2 2 ?x ?t v ?t
2 2 2

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得通解:

x x ? ? u ( x, t ) ? f1 (t ? ) ? f 2 (t ? ) ? u ? u v v C0 ? x x ? ? ? i ( x, t ) ? f1 (t ? ) ? f 2 (t ? )? ? i ? i L0 ? v v ? ? ? ? u u C0 ? ? ? ? ZC ? i i L0
注意

f 1,f2 是具有二阶连续偏导数的待定函数, 要根据具体的边界条件和初始条件确定。

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2.通解的物理意义 x ? u ? f1 (t ? )的物理意义 v


x ? v?t x 有 f1 (t ? ?t ? ) ? f1 (t ? ) v v 表明 在t时刻,x位臵的电压u+在t+?t时刻和
x+v?t位臵重复出现,且延迟的时间与离开前一位 v? t 臵的距离成

比例:

t ? t ? ?t

x ? x ? v? t

?t

?v

即 f1 以有限速度v 向x方向传播,称之为入射波。
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入射波

u ? f 2 ( x ? vt )的物理意义
?



t ? t ? ? t x ? x ? v? t

x ? v?t x f 2 (t ? ?t ? ) ? f 2 (t ? ) v v 表明 f2 在?t时间内,以速度v 向(-x)方向前进

了v?t 距离,称之为反射波。
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3.半无限长无损线上波的发生
当传输线发生换路时将产生波。设传输线接直 流电源,开关闭合前各处电压电流均为零。 t=0 t=0时闭合开关

边界条件: u (0, t ) ? U 0? (t )

+

x ? u ( x, t ) ? f1 (t ? ) ? u v C0 x i ( x, t ) ? f1 (t ? ) ? i ? L0 v

-

U0 x =0

只有入射波

代入边界条件: u (0, t ) ? U 0? (t ) ? f1 (t )
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x U0 x u ( x, t ) ? U 0? (t ? ) i ( x, t ) ? ? (t ? ) v ZC v
t=t1时电压电流沿线分布 u(0,t) U0 U0 U0 ZC u(x,t1) u i x1=vt1

v x

o

t1

t

注意 波经过地方线上各处电压为U0、电流
为I0。波未到处线上各处电压、电流均为零 。
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18.7 无损耗线的波过程
当传输线存在终端且不匹配的情况下,在终端 将引起波的反射,因此,传输线上除了入射波以外 还将存在反射波。 t=0 i(x,t)
+

-

U0 x =0 0

u(x,t)

x

u= i= i+- i-

u++u-

u? i? n? ? ? ? u i
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1.终端开路
(1)波过程 不同时间电压电流在传输线上分布,t为参变量

0 < t < l/v
u U0 0 v l I0 0 i v l
?

t= l /v

n=1
? 1 ? 1

i ?i
1

?

1

? I0
? 1

i ? i1? ? i1? ? 0
? 1

u ? u ? U0

u ? u ? u ? 2U 0
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l /v < t < 2l /v
u U0 0 v i 2U0 l 0 l I0

t=2l /v
? 1

n= -1
? 1 ? 2

u ?u ?u ?u
2U0

=U0

i ?i ?i ?i
? 1 ? 1

? 2

= - I0

-U0

0

-I0

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2l /v < t < 3l /v
u

U0
0

v

2U0

i 0 -I0 v

l

l
? 1 ? 1 ? 2 ? 2

t=3l / v
? 2 ? 2

n= 1

u ? u ? ?U 0

u ?u ?u ?u ?u ?0

i ? i ? ?I0
? 2 ? 2

i ?i ?i ?i ?i ? 0
? 1 ? 1 ? 2 ? 2

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3l /v < t < 4l /v
u
U0 0 i

v

0 -I0

v

l

l 这种多次反射过程将周期性重复,周期 T=4l / v。 (2)某处电压随 t 变化曲线 u(0,t) 始端电压 u(0,t) U0 0
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t
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始端电流 i(0,t) I0 -I0
2l v 4l v 6l v

0 I0

I0

l x 0 U0 2 -U0 4 U0 6 -U0

l
U0 -U0 +U0 -U0

x

t

2

-I0 -I0
I0 I0 -I0 -I0

4

终端电压 u(l,t) 2U0 l/v 3l/v 5l/v
6

t

8 n= -1 t/t0 t0=l/v n=1

8
n= -1 t/t0 t0=l/v n=1

终端电流 i(l,t)=0

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2.终端短路
不同时间电压电流在传输线上分布,t为参变量

0 < t < l/v
u U0 v l
?

i I0 0
? 1

v l

0

t= l /v n=-1
? 1 ? 1

i

? i1 ? I 0 i ? i1? ? i1? ? 2I 0

u ? u ? U0

u ?u ?u ?0
? 1 ? 1

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l /v < t < 2l /v
u 0 l U0 i I0 0 v 2I0

l

t=2l /v
? 1

n=1
? 1 ? 2

u ? u ? u ? u =U0
0 U0

i ?i ?i ?i
? 1 ? 1

? 2

=3I0

2I0

I0

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2l /v < t < 3l /v
u

U0
0

v

3I0

i

v l

l

0

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