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第三章电路

发布时间:2014-01-07 12:43:55  

第3章
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

电阻电路的一般分析
电路的图

KCL和KVL的独立方程数
支路电流法

网孔电流法
回路电流法

结点电压法
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?重点

熟练掌握电路方程的列写方法:
支路电流法

回路电流法
网孔电流法 结点电压法

?线性电路的一般分析方法

? 普遍性:对任何线性电路都适用。 ? 系统性:计算方法有规律可循。
?方法的基础

? 电路的连接关系—KCL,KVL定律。 ? 元件的电压、电流关系特性——VCR。 复杂电路的一般分析法就是根据KCL、KVL及 元件电压和电流关系列方程、解方程。根据列方程 时所选变量的不同可分为支路电流法、回路电流法、 网孔电流法和结点电压法。

3.1 电路的图
1.几个名词
①支路 i1 uS1 _ R1 ②结点 + uS2 + a 电路中通过同一电流的分支,或 者元件的串联组合。b=3 i3

_
R2 b

i2

R3

三条以上支路的连接点称为 结点。

n=2

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③回路 uS1 _ R1 +

由支路组成的闭合路径。 l=3 + uS2

_
1 R2 2

3 R3

④网孔

对平面电路,其内部不含任 何支路的回路称网孔。

注意 网孔是回路,但回路不一定是网孔。
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2.电路的图
i R1 R2 + R5 R4 uS _ R 6
1 5 2 6 有向图 4 3

n?5
抛开元 件性质
1 5

b ?8
3 8

R3

2
7

4
6

元件的串联及并联 组合作为一条支路

一个元件作为 一条支路

n?4 b?6

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(1)有向图

标有电压或电流参考方向的图

(2)连通图

图G的任意两结点间至少有一条路 径时称为连通图,非连通图至少存 在两个分离部分。

(3)子图

若图G1中所有支路和结点都是图 G中的支路和结点,则称G1是G 的子图。

①树(Tree)

T是连通图的一个子图且满足下 列条件: a.连通 b.包含所有结点 c.不含闭合路径
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不 是 树 树支:构成树的支路 连支:属于G而不属于T的支路

明确 ①对应一个图有很多的树
②树支的数目是一定的

bt ? n ? 1

连支数:

bl ? b ? bt ? b ? (n ? 1)
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②基本回路

仅含有一个连支,其余为树支的 回路

1)对应一个图有很多的回路; 明 2)基本回路的数目是一定的,为连支数; 确 3)对于平面电路,网孔数等于基本回路数。

l ? bl ? b ? (n ? 1)

③平面网络

除去结点外,无任何支路相交叉 的电路

平面网络

非平面网络 支路数=树支数+连支数 =结点数-1+基本回路数

结论
结点、支路和 基本回路关系

b ? n ? l ?1

结论 电路的图是用以表示电路几何结构的图
形,图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对 应。 i R1 R3

R2
+

R5
R4

抛开元 件性质

1 5

3

8

2

4
6

uS

_ R 6

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3.2 KCL和KVL的独立方程数
1.KCL的独立方程数

2 1 1 2 3 5 4 3
1 2 3 4

4

6

i1 ? i4 ? i6 ? 0 ? i1 ? i2 ? i3 ? 0 i2 ? i5 ? i6 ? 0 ? i3 ? i4 ? i5 ? 0

1 + 2 + 3 + 4 =0

结论
n个结点的电路, 独立的KCL方程为n-1个。
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2.KVL的独立方程数
2
1 1 6 4
前两式相减(1,2,4,5)

2 4 3 5

对网孔列KVL方程:
(1,3,4)

3 (2,3,5)
(4,5,6)

u1 ? u3 ? u4 ? 0 u2 ? u3 ? u5 ? 0 u4 ? u5 ? u6 ? 0

u1 ? u2 ? u4 ? u5 ? 0

结论 n个结点,b条支路的电路, 独立的KVL方程
为基本回路数b-(n-1)个。

结论
①KCL的独立方程数=n-1 ②KVL的独立方程数=b-(n-1)

③n个结点、b条支路的电路, 独立的KCL和KVL方 程数为:

(n ? 1) ? b ? (n ? 1) ? b

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n=5,

b=9

KCL:n-1=4 KVL:b-(n-1)=5

3.3 支路电流法
1. 支路电流法
以各支路电流为未知量列写 电路方程分析电路的方法。 对于有n个结点、b条支路的电路,要求解支路 电流,未知量共有b个。只要列出b个独立的电路方 程,便可以求解这b个变量。

2. 独立方程的列写
①从电路的n个结点中任意选择n-1个结点列写 KCL方程 ②选择基本回路列写b-(n-1)个KVL方程。
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R2 i2 1 R1 i3

2 R4 i4 R3 2

有6个支路电流,需列写6个方 程。KCL方程:
1

1 i1 34
+

3 i5

2 3

R5

? i2 ? i3 ? i4 ? 0 ? i4 ? i5 ? i6 ? 0

i1 ? i2 ? i6 ? 0

R6

uS

– 回路1 回路2 回路3

取网孔为独立回路,沿顺时 i6 针方向绕行列KVL写方程:

u2 ? u3 ? u1 ? 0 u4 ? u5 ? u3 ? 0 u1 ? u5 ? u6 ? 0
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这一步可 以省去
2 R2 i2 1 R1 1 i1 34 + i3 R4 i4 R3 2 R5 i5

回路1 回路2 回路3

u2 ? u3 ? u1 ? 0 u4 ? u5 ? u3 ? 0 u1 ? u5 ? u6 ? 0

应用欧姆定律消去支路电压得: 3

R2i2 ? R3i3 ? R1i1 ? 0
R4i4 ? R5i5 ? R3i3 ? 0 R1i1 ? R5i5 ? R6i6 ? uS

i6 uS –
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R6

小结 (1)支路电流法的一般步骤:
①标定各支路电流(电压)的参考方向; ②选定(n–1)个结点,列写其KCL方程; ③选定b–(n–1)个独立回路,指定回路绕行方 向,结合KVL和支路列写方程;

?R i

k k

? ? uSk

④求解上述方程,得到b个支路电流; ⑤进一步计算支路电压和进行其它分析。

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(2)支路电流法的特点: 支路法列写的是 KCL和KVL方程, 所以方程 列写方便、直观,但方程数较多,宜于在支路数不 多的情况下使用。 例1 求各支路电流及各电压源发出的功率。 a 解 ① n–1=1个KCL方程: I3 I1 7? I2 11? 结点a: –I1–I2+I3=0 + + 7? ② b–( n–1)=2个KVL方程: 1 2 70V 6V 7I1–11I2=70-6=64 – – 11I2+7I3= 6 b

?U=?US
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a
I1 + 70V – 7? I2 11? + 1 2 6V – b
I1 ? 6A

I3 7?

I 2 ? ?2A

I 3 ? I1 ? I

2 ? 6 ? 2 ? 4A
P70 ? ?6 ? 70 ? ?420W
P6 ? ?( ?2 ) ? 6 ? 12W
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例2 列写支路电流方程.(电路中含有理想电流源)
解1
(1) n–1=1个KCL方程:

结点a: –I1–I2+I3=0
(2) b–( n–1)=2个KVL方程:

设电流 源电压 a I3 7?

7I1–11I2=70-U 11I2+7I3= U
增补方程:I2=6A

I1 7? I2 11? + 6A + 1 U 2 70V _ – b
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a 解2

I3 I1 7? I2 11? + 7? 6A 1 70V – b 由于I2已知,故只列写两个方程
结点a: –I1+I3=6

避开电流源支路取回路: 7I1+7I3=70

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例3 列写支路电流方程.(电路中含有受控源)
a

7? + 70V –

I1

I2 11? + 1 U 7? + 2 _ 5U _
b

I3 解

结点a:

–I1–I2+I3=0 7I1–11I2=70-5U 11I2+7I3= 5U 增补方程:U=7I3

注意 有受控源的电路,方程列写分两步:
①先将受控源看作独立源列方程;
②将控制量用未知量表示,并代入①中所列的方 程,消去中间变量。
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小结
1. 支路电流法

以各支路电流为未知量列写 电路方程分析电路的方法。

支路电流法的一般步骤: ①标定各支路电流(电压)的参考方向; ②选定(n–1)个结点,列写其KCL方程; ③选定b–(n–1)个独立回路,指定回路绕行方 向,结合KVL和支路列写方程;

?R i

k k

? ? uSk

④求解上述方程,得到b个支路电流; ⑤进一步计算支路电压和进行其它分析。
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3.4
1.网孔电流法

网孔电流法

以沿网孔连续流动的假想电流为未知量列 写电路方程分析电路的方法称网孔电流法。它仅 适用于平面电路。 ?基本思想 为减少未知量(方程)的个数,假想每个回 路中有一个回路电流。各支路电流可用回路电 流的线性组合表示,来求得电路的解。

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21

i1 R i2 R2 1 + il1 + uS1 il2 uS2 – – b
?列写的方程

i3

R3

独立回路数为2。选 图示的两个独立回路,支 路电流可表示为:

i1 ? il1 i3 ? il 2 i2 ? il 2 ? il 1 KCL自动满足

网孔电流在网孔中是闭合的,对每个相关结 点均流进一次,流出一次,所以KCL自动满足。 因此网孔电流法是对网孔回路列写KVL方程,方 程数为网孔数。
返 回 上 页 22

2. 方程的列写 网孔1: R1 il1+R2(il1- il2)-uS1+uS2=0 网孔2: R2(il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0
整理得:

(R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2 - R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2
i3 R3 观察可以看出如下规律:

i1 R i2 R2 1 + il1 + uS1 il2 uS2 – – b

R11=R1+R2
网孔1中所有电阻之和, 称网孔1的自电阻。
返 回 上 页 23

i1 R i2 R2 1 网孔2中所有电阻之和,称 + il1 + uS1 il2 网孔2的自电阻。 uS2 – R12= R21= –R2 – b 网孔1、网孔2之间的互电阻。

R22=R2+R3

i3

R3

uSl1= uS1-uS2 网孔1中所有电压源电压的代数和。 uSl2= uS2 网孔2中所有电压源电压的代数和

。 注意 ①自电阻总为正。
②当两个网孔电流流过相关支路方向相同 时,互电阻取正号;否则为负号。 ③等式右边电压降取负号;电压升取正号。 24

方程的标准形式:

i1 R i2 R2 1 il1 + ? R11il1 ? R12il 2 ? usl1 + ? R i ? R i ? u uS1 il2 uS2 ? 21 l1 22 l 2 sl 2 – – b 对于具有 l 个网孔的电路,有:

i3 R3

? R11il1 ? R12il 2 ? ? ? R1l ill ? usl1 ?R i ? R i ? ? ? R i ? u ? 21 l1 22 l 2 2 l ll sl 2 ? ? ? ? Rl1il1 ? Rl 2il 2 ? ? ? Rll ill ? usll ?
返 回 上 页 25

? R11il 1 ? R12il 2 ? ? ? R1l ill ? u sl1 ? R21il 1 ? R22il 2 ? ? ? R2 l ill ? u sl 2 ?? ? ? Rl1il 1 ? Rl 2il 2 ? ? ? Rll ill ? u sll 注意 Rkk: 自电阻(总为正) Rjk: 互电阻
+ : 流过互阻的两个网孔电流方向相同; - : 流过互阻的两个网孔电流方向相反; 0 : 无关。
等式右边电压降取负号;电压升取正号。
26

例1 用网孔电流法求解电流 i
解 选网孔为独立回路:

( RS ? R1 ? R4 )i1 ? R1i2 ? R4i3 ? U S
? R1i1 ? ( R1 ? R2 ? R5 )i2 ? R5i3 ? 0 ? R4i1 ? R5i2 ? ( R3 ? R4 ? R5 )i3 ? 0 i ? i2 ? i3 表明

RS + US _

i1

R1

R4

R2 i2 R5 i 当网孔电流均取顺(或逆)时 针方向时,Rjk均为负。 i3 R3
返 回 上 页 27

小结
(1)网孔电流法的一般步骤:
①选网孔为独立回路,并确定其绕行方向; ②以网孔电流为未知量,列写其KVL方程; ③求解上述方程,得到 l 个网孔电流; ④求各支路电流; ⑤其它分析。 (2)网孔电流法的特点: 仅适用于平面电路。
返 回 上 页 28

3.5
1.回路电流法

回路电流法

以基本回路中沿回路连续流动的假想电流为未 知量列写电路方程分析电路的方法。它适用于平面 和非平面电路。
?列写的方程

回路电流法是对独立回路列写KVL方程,方程 数为:

b ? (n ? 1)

注意 与支路电流法相比,方程数减少n-1个。
29

2. 方程的列写 例 用回路电流法求解电流 i. RS
解 只让一个回路电 流经过R5支路。 +

① R 1



R2
i R3

R5

US _

R4

i3



( RS ? R1 ? R4 )i1 ? R1i2 ? ( R1 ? R4 )i3 ? U S
? R1i1 ? ( R1 ? R2 ? R5 )i2 ? ( R1 ? R2 )i3 ? 0
? ( R1 ? R4 )i1 ? ( R1 ? R2 )i2 ? ( R1 ? R2 ? R3 ? R4 )i3 ? 0

注意

i ? i2
互电阻的判断
返 回 上 页 30

方程的标准形式:

对于具有 l=b-(n-1) 个回路的电路,有:

? R11il1 ? R12il 2 ? ? ? R1l ill ? usl1 ?R i ? R i ? ? ? R i ? u ? 21 l1 22 l 2 2 l ll sl 2 ? ? ? ? Rl1il1 ? Rl 2il 2 ? ? ? Rll ill ? usll ?

注意 Rkk: 自电阻(总为正) Rjk: + : 流过互阻的两个回路电流方向相同;
互电阻
- : 流过互阻的两个回路电流方向相反;
31

等式右边电压降取负号;电压升取正号。

小结 (1)回路

法的一般步骤:
①选定l=b-(n-1)个独立回路,并确定其绕行方向; ②对l 个独立回路,以回路电流为未知量,列写 其KVL方程; ③求解上述方程,得到 l 个回路电流; ④求各支路电流; ⑤其它分析。 (2)回路法的特点: ①通过灵活的选取回路可以减少计算量; ②互有电阻的识别难度加大,易遗漏互有电阻。
返 回 上 页 32

例3-2

R1 =R 2 =R 3 =1? , R 4 =R 5 =R 6 =2? , US1=4V, US3=2V, 试

选择一组独立的回路,并列出回路电流方程。

33

3.理想电流源支路的处理
? 引入电流源电压,增加回路电流和电流源电流 的关系方程。

例 ( RS ? R1 ? R4 )i1 ? R1i2 ? R4i3 ? U S
? R1i1 ? ( R1 ? R2 )i2 ? U
? R4i1 ? ( R3 ? R4 )i3 ? ?U
方程中应包括 电流源电压 增补方程: RS + US _


R1
IS



R2 _

+
R4

I S ? i2 ? i3



U

R3

返 回

上 页

34

?选取独立回路,使理想电流源支路仅仅属于一个

回路,该回路电流即 IS 。



i2 ? I S

( RS ? R1 ? R4 )i1 ? R1i2 ? ( R1 ? R4 )i3 ? U S
已知电流,实际减少了一方程

? ( R1 ? R4 )i1 ? ( R1 ? R2 )i2 ? ( R1 ? R2 ? R3 ? R4 )i3 ? 0
RS + US _


R1
IS

② ③

R2

R4

R3
返 回 上 页 35

例3-3 US1=50V, US3=20V, IS2=1A,此电流源为无伴 电流源。试用回路法列出电路的方程。

36

4.受控电源支路的处理
对含有受控电源支路的电路,可先把受控 源看作独立电源按上述方法列方程,再将控制 量用回路电流表示。

37

例1
RS + US _ i1

R1

R2 i2 5U _ + + R3 i3 _ U

增补方程:

U ? R3i3

R4

( RS ? R1 ? R4 )i1 ? R1i2 ? R4i3 ? U S

? R1i1 ? ( R1 ? R2 )i2 ? 5U
? R4i1 ? ( R3 ? R4 )i3 ? ?5U
返 回

受控源看 作独立源 列方程

上 页

38

例2 列回路电流方程
R2i2 ? U 2 ? U 3

解1

选网孔为独立回路

( R1 ? R3 )i1 ? R3i3 ? ?U 2

? R3i1 ? ( R3 ? R4 ? R5 )i3 ? R5i4 ? 0
? R5i3 ? R5i4 ? U 3 ? ? U1
增补方程:
+ U1 +

U2
R2

_

R1 R3

1 iS 3 R5

2 _ gU1
_ +

U3

i1 ? i2 ? iS
i4 ? i2 ? gU 1

4
_
返 回

U1 ? ? R1i1

R4

+ ?U1

上 页

39

解2

i1 ? iS R1i1 ? ( R1 ? R2 ? R4 )i2 ? R4i3 ? ? ? U1
回路2选大回路

? R3i1 ? R4i2 ? ( R3 ? R4 ? R5 )i3 ? R5i4 ? 0
+ U1 _ R2 R1 gU1

i4 ? gU 1
增补方程:

i R3 1 S

3
R4

U1 ? ? R1 (i1 ? i2 )
4
_ + ?U1

R5

2

返 回

上 页

40

小结 1.网孔电流法
以沿网孔连续流动的假想电流为未知量列 写电路方程分析电路的方法称网孔电流法。它仅 适用于平面电路。 网孔电流法的一般步骤: ①选网孔为独立回路,并确定其绕行方向; ②以网孔电流为未知量,列写其KVL方程;

Rkk imk ? ? Rkjimj ? ? uSkk
③求解上述方程,得到 l 个网孔电流; ④求各支路电流; ⑤其它分析。

? R11il 1 ?

R12il 2 ? ? ? R1l ill ? u sl1 ? R21il 1 ? R22il 2 ? ? ? R2 l ill ? u sl 2 ?? ? ? Rl1il 1 ? Rl 2il 2 ? ? ? Rll ill ? u sll 注意 Rkk: 自电阻(总为正) Rjk: 互电阻
+ : 流过互阻的两个网孔电流方向相同; - : 流过互阻的两个网孔电流方向相反; 0 : 无关。
等式右边电压降取负号;电压升取正号。

小结 2.回路电流法
以基本回路中沿回路连续流动的假想电流为未 知量列写电路方程分析电路的方法。它适用于平面 和非平面电路。 回路法的一般步骤: ①选定l=b-(n-1)个独立回路,并确定其绕行方向; ②对l 个独立回路,以回路电流为未知量,列写 其KVL方程; Rkk ilk ? ? Rkjilj ? ? uSkk ③求解上述方程,得到 l 个回路电流; ④求各支路电流; ⑤其它分析。

小结

回路电流法

理想电流源支路的处理 ? 引入电流源电压,增加回路电流和电流源电流 的关系方程。 ? 选取独立回路,使理想电流源支路仅仅属于一 个回路,该回路电流即 IS 。 受控电源支路的处理 对含有受控电源支路的电路,可先把受控 源看作独立电源按上述方法列方程,再将控制 量用回路电流表示。

例3 求电路中电压U,电流I和电压源产生的功率
2A
i2 2A i1 1? 3A 3? i 4 i3




i1 ? 2A i2 ? 2A
i3 ? 3A

U


I

2? + 6i4 4V –

? 3i1 ? i2 ? 4i3 ? ?4

i4 ? ( 6 ? 2 ? 12 ? 4 ) / 6 ? 2A

I ? 2 ? 3 ? 2 ? 3A U ? 2i4 ? 4 ? 8V

P ? 4 ? i4 ? 8W(吸收)
返 回 上 页 41

3.6 结点电压法
结点电压
在电路中任意选择某一结点称为参考点,其 它结点与此参考结点之间的电压,称为结点电压, 方向从独立结点指向参考结点,记为 un1… iS2
1 i2 R2

i3 R3
2 i 4

3

iS1

i1

R1 R4

R5 i5 + 参考结点可以任意选择 uS _

1.结点电压法
以结点电压为未知量列写电路方程分析电路的 方法。适用于结点较少的电路。
?基本思想:

选结点电压为未知量,则KVL自动满足, 无需列写KVL 方程。各支路电流、电压可视为 结点电压的线性组合,求出结点电压后,便可方 便地得到各支路电压、电流。

?列写的方程

结点电压法列写的是结点上的

KCL方程,独立方程数为:

(n ? 1)

注意
①与支路电流法相比,方程数减少b-(n-1)个。 ②任意选择参考点:其它结点与参考点的电位差即为 结点电压(位),方向为从独立结点指向参考结点。 uA-uB uA uB

(uA-uB)+uB-uA=0
KVL自动满足

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2. 方程的列写
①选定参考结点,标明其余n-1个独立结点的电压; ②列KCL方程:

?i

R出

? ? iS入
iS1

iS2
1 i2 R2

i3 R3
2 i 4

3

i1+i2=iS1+iS2 -i2+i4+i3=0

i1

R1 R4

R5 i5 + uS _

-i3+i5=-iS2
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i1+i2=iS1+iS2 -i2+i4+i3=0 -i3+i5=-iS2
把支路电流用结点 电压

表示:

iS2
1 i2 R2

i3 R3
2 i 4

3

iS1

i1

R1 R4

R5 i5 + uS _

un1 un1 ? un2 ? ? iS1 ? iS2 R1 R2 un1 ? un2 un2 ? un3 un2 ? ? ? ?0 R2 R3 R4 un2 ? un3 un3 ? uS ? ? ? ?iS 2 R3 R5

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整理得:

1 1 1 ( ? ) un1 ? ( )un2 ? iS1 ? iS2 R1 R2 R2 1 1 1 1 1 ? un1 ? ( ? ? ) un 2 ? un 3 ? 0 R2 R2 R3 R4 R3
1 1 1 uS ? ( )un2 ? ( ? ) un3 ? ?iS2 ? R3 R3 R5 R5
等效电 流源

un1 un1 ? uS2 in2 ? ,k=1, ? iS1 ? i5 上式记为: 令 R k=1/Rk R G 2, 3, 4, S2 i3 R3 1 1 i2 2 R2 3 (Gn1+ Gn2 )un2 -G2n3 in2 un2iS1+ iS2 iu 1 ? u 2 un1 ? 2 u = u S1 i1 ? 4 ? ? R50 i5 ? R2 -G2un1+(G21+G34 + G4)R4un2 -G3un3 = 0 R R3 R + un2 ? un3 un3 ? uS uS +G u -G ? 3un2+(G? + G5) un3 = -iS2 5 S ? ?i_ 2 3 S R3 R5

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小结

G11=G1+G2 结点1的自电导 G22=G2+G3+G4 结点2的自电导 G33=G3+G5

结点3的自电导 结点的自电导等于接在该结点上所有支路的电导之和。

(G1+ G2 )un1-G2un2 = iS1+ iS2 -G2un1+(G2 +G3 + G4) un2 -G3un3 = 0 -G3un2+(G3 + G5) un3 = -iS2 +G5 uS iS2
1 i2 R2

i3 R3
2 i 4

3

iS1

i1

R1 R4

R5 i5 + uS _

G12= G21 =-G2 结点1与结点2之间的互电导

G23= G32 =-G3 结点2与结点3之间的互电导
互电导为接在结点与结点之间所有支路的电 导之和,总为负值。

(G1+ G2 )un1-G2un2 = iS1+ iS2 -G2un1+(G2 +G3 + G4) un2 -G3un3 = 0 -G3un2+(G3 + G5) un3 = -iS2 +G5 uS iS2
1 i2 R2

iS1

i1
R1

i3 R3 3 2 i 4 R5 i5 R4 + uS _

iSn1=iS1+iS2 流入结点1的电流源电流的代数和。

iSn3=-iS2+uS/R5 流入结点3的电流源电流的代数和。
流入结点取正号,流出取负号。

(G1+ G2 )un1-G2un2 = iS1+ iS2 -G2un1+(G2 +G3 + G4) un2 -G3un3 = 0 -G3un2+(G3 + G5) un3 = -iS2 +G5 uS iS2
1 i2 R2

iS1

i1
R1

i3 R3 3 2 i 4 R5 i5 R4 + uS _

由结点电压方程求得各结点电压后即可求得 各支路电压,各支路电流可用结点电压表示:

un1 i1 ? R1 un2 i4 ? R4

un1 ? un2 i2 ? R2 un 3 ? uS i5 ? R5
iS2
1 i2 R2

un2 ? un3 i3 ? R3

i3 R3
2 i 4

3

iS1

i1

R1 R4

R5 i5 + uS _

结点法标准形式的方程:

G11un1+G12un2+…+G1,n-1un,n-1=iSn1 G21un1+G22un2+…+G2,n-1un,n-1=iSn2 ???? Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+…+Gn-1,nun,n-1=iSn,n-1 Gii
—自电导,总为正。

Gij = Gji—互电导,结点i与结点j之间所有支路电
导之和,总为负。

iSni — 流入结点i的所有电流源电流的代数和。
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总结
结点法的一般步骤: (1)选定参考结点,标定n-1个独立结点; (2)对n-1个独立结点,以结点电压为未知量,列 写其KCL方程;

GkkU nk ? ? GkjU nj ? ? iSkk
(3)求解上述方程,得到n-1个结点电压;

(4)通过结点电压求各支路电流; (5)其它分析。
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例 试列写电路的结点电压方程
1 GS + Us _ G1 G3 2 G4 G5 G2
回路中存在电压源 与电阻串联支路

3 (G1+G2+GS)U1-G1U2-Gs

U3=GSUS -G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0 -GSU1-G4U2+(G4+G5+GS)U3 =-USGS
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3. 无伴电压源支路的处理
①以电压源电流为变 + 量,增补结点电压与 Us 电压源间的关系。 _ (G1+G2)U1-G1U2 =I

I
G1

1 G2
G3

2 G4 3
G5

-G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0 -G4U2+(G4+G5)U3 =-I 增补方程

看成电流源

U1-U3 = US
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②选择合适的参考点

U1= US
-G1U1+(G1+G3+G4)U2- G3U3 =0 -G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0 1 + Us _ G1 G3 G2 3 G4

2 G5

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4.受控电源支路的处理
对含有受控电源支路的电路,先把受 控源看作独立电源列方程,再将控制量用 结点电压表示。

例1 列写电路的结点电压方程
①先把受控源当作 独立源列方程; iS1

1
R1

+ uR _ 2 R3

R2

gmuR2

1 1 1 ( ? )un1 ? un 2 ? iS1 2 R1 R 2 R1 1 1 1 ? un1 ? ( ? )un 2 ? ? g muR ? iS 1 R1 R1 R3
2

uR 2 ? un1
②用结点电压表示控制量。
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例2 列写电路的结点电压方程
解 ①设参考点 ②把受控源当作独立 源列方程;
iS1 R1 1 +

R5

+

uS _ R3 _ R4 3 gu3

- ri R2 i 2

+ u3

un1 ? ri

1 1 1 1 1 ( ? ? )un 2 ? un1 ? un 3 ? ?iS1 ? gu3 R1 R 2 R4 R1 R4 1 1 1 1 1 uS ? un1 ? un 2 ? ( ? ? )un 3 ? ? gu3 ? R5 R4 R4 R3 R5 R5
③用结点电压表示控制量。 u3 ? ?un 3

i ? ? un 2 R2
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例3 列写电路的结点电压方程
1 4U )un1 ? 0.5un2 ? un3 ? ?1 ? 解 (1 ? 0.5 ? 3? 2 5 ? 0.5un1 ? (0.5 ? 0.2)un2 ? 3A
增补方程:

U = Un2 注意
与电流源串接的电 阻不参与列方程。

1? 3? + 4V 1V 3A 5? - - 1 2? 2 + U -
3? + - 2?
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4U

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un3 ? 4V

3

例 求电压U和电流I
解1 应用结点法

? 0.5un1 ? 0.5un2 ? un3 ? 20
解得:

un2 ? 100 ? 110 ? 210 V

2

2? 3 + 110V

2? -

un3 ? 20 ? 50 ? 105 ? 175V

U ? un3 ? 1? 20 ? 195V
I ? ?(un2 ? 90) / 1 ? ?120 A
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1

un1 ? 100 V

1? - 90V +

I

1? - U 20A +

- 100V

解2 应用回路法

i1 ? 20A
i2 ? i1 ? 110 ? 90 ? 100

? i2 ? 100 ?? ?i3 ? 150 / 4
解得:

2? +

3

2? -2

110V

I ? ?(i1 ? i2 ) ? ?120 A

U ? 2i3 ? 100 ? 1? 20 ? 195V
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?2i1 ? 4i3 ? 110

1? - 90V +

I 1

1? - U 20A +


100V

本章小结
1、KCL和KVL独立方程数的确定 (n个节点,b条支路)

KCL独立方程数:n -1
KVL独立方程数:b-(n -1)

2、根据列方程时所选变量的不同可分为支路电流法、回 路电流法、网孔电流法和结点电压法。

本章小结
支路电流法、回路电流法、网孔电流法和结点 电压法的比较
1、需要列写的方程数目的比较 (n个节点,b条支路)

2、含有电源时列些方程应注意的情况 (n个节点,b条支路)
有伴电压

源 支路电 流法 ①增设电流 源电压 ②选独立回 路使电流 源支路只 处于一个 回路 ①将受控 源看作 独立源 列方程 ②将控制 量用未 知量表 示 有伴电流源 无伴电压源 无伴电流源 受控源

网孔电 流法 回路电 流法

结点电 压法

将有伴电压 源等效成有 伴电流源

① 增设电压 与电流源串 源电流 联的电阻不 ② 选择合适 参与列方程 的参考点

① 支路电流法

a

I1 +
70V –

7?

I2 6A 1

11? + U _ b

I3
7?

2

② 网孔电流法、回路电流法

注意
P77

无伴电流源支路及受控源支路的处理
用网孔电流法求解i5。

作业题3-8

il 1

il 2

il 3

作业题P77 3-13

用回路电流法求解(a)Ux;(b)I。

+U-

il1
+

il1 il 3
U’
+ U -

il 2 il 3

il 2

③ 结点电压法 例3-5 列出所示电路的结点电压方程

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例3-6 用结点电压法求出各支路电流及输出电压

例3-7 us1为无伴电压源的电压,列出此电路的结点 电压方程

作业题


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