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七年级数学核心题目赏析

发布时间:2014-01-24 12:54:04  

七年级数学核心题目赏析

有理数及其运算篇

【核心提示】

有理数部分概念较多,其中核心知识点是数轴、相反数、绝对值、乘方. 通过数轴要尝试使用“数形结合思想”解决问题,把抽象问题简单化.相反数看似简单,但互为相反数的两个数相加等于0这个性质有时总忘记用..绝对值是中学数学中的难点,它贯穿于初中三年,每年都有不同的难点,我们要从七年级把绝对值学好,理解它的几何意义.乘方的法则我们不仅要会正向用,也要会逆向用,难点往往出现在逆用法则方面.

【核心例题】

1111 ???......?1?22?33?42006?2007

分析 此题共有2006项,通分是太麻烦.有这么多项,我们要有一种“抵消”思想,如能把一些项抵消了,不就变得简单了吗?由此想到拆项,如第一项可拆例1计算:成111111,把每一项都做如此变形,问题????,可利用通项n?n?1nn?11?212

会迎刃而解.

11111111解 原式=(?)?(?)?(?)?......?(?) 12233420062007

1111111 =1??????......? ?2233420062007

1 =1? 2007

2006 = 2007

例2 已知有理数a、b、c在数轴上的对应点

分别为A、B、C(如右图).化简a?a?b?c?b. 分析 从数轴上可直接得到a、b、c的正负性,

但本题关键是去绝对值,所以应判断绝对值符号内表达式的正负性.我们知道“在数轴上,右边的数总比左边的数大”,大数减小数是正数,小数减大数是负数,可得到a-b<0、c-b>0.

解 由数轴知,a<0,a-b<0,c-b>0

所以,a?a?b?c?b= -a-(a-b)+(c-b)= -a-a+b+c-b= -2a+c

1??1??1???1??1?1?1??...?例3 计算:?1

???????1???1?? ?100??99??98??3??2?

分析 本题看似复杂,其实是纸老虎,只要你敢计算,马上就会发现其中的技巧,问题会变得很简便.

999897211 解 原式= ???......??=100999832100

例4 计算:2-22-23-24-……-218-219+220.

分析 本题把每一项都算出来再相加,显然太麻烦.怎么让它们“相互抵消”呢?我们可先从最简单的情况考虑.2-22+23=2+22(-1+2)=2+22=6.再考虑

2-22-23+24=2-22+23(-1+2)=2-22+23=2+22(-1+2)=2+22=6.这怎么又等于6了呢?是否可以把这种方法应用到原题呢?显然是可以的.

解 原式=2-22-23-24-……-218+219(-1+2)

=2-22-23-24-……-218+219

=2-22-23-24-……-217+218(-1+2)

=2-22-23-24-……-217+218

=……

=2-22+23

=6

【核心练习】

1、已知│ab-2│与│b-1│互为相反数,试求:

111的值. ??......a?2006b?2006aba?1b?1 (提示:此题可看作例1的升级版,求出a、b的值代入就成为了例1.) 2、代数式abab??的所有可能的值有( )个(2、3、4、无数个) abab

【参考答案】

1、

2007 2、3 2008

字母表示数篇

【核心提示】

用字母表示数部分核心知识是求代数式的值和找规律.求代数式的值时,单纯代入一个数求值是很简单的.如果条件给的是方程,我们可把要求的式子适当

变形,采用整体代入法或特殊值法.

【典型例题】

例1已知:3x-6y-5=0,则2x-4y+6=_____

分析 对于这类问题我们通常用“整体代入法”,先把条件化成最简,然后把要求的代数式化成能代入的形式,代入就行了.这类问题还有一个更简便的方

5法,可以用“特殊值法”,取y=0,由3x-6y-5=0,可得x?,把x、y的值代入3

282x-4y+6可得答案.这种方法只对填空和选择题可用,解答题用这种方法是不3

合适的.

5解 由3x-6y-5=0,得x?2y? 3

528所以2x-4y+6=2(x-2y)+6=2??6= 33

例2已知代数式xn?x(n?1)?1 ,其中n为正整数,当x=1时,代数式的值是 ,当x=-1时,代数式的值是 .

分析 当x=1时,可直接代入得到答案.但当x=-1时,n和(n-1)奇偶性怎么确定呢?因n和(n-1)是连续自然数,所以两数必一奇一偶.

解 当x=1时,

xn?x(n?1)?1=1n?1(n?1)?1=3

当x=-1时,

xn?x(n?1)?1=(?1)n?(?1)(n?1)?1=1

例3 152=225=100×1(1+1)+25, 252=625=100×2(2+1)+25

352=1225=100×3(3+1)+25, 452=2025=100×4(4+1)+25??

752=5625= ,852=7225=

(1)找规律,把横线填完整;

(2)请用字母表示规律;

(3)请计算20052的值.

分析 这类式子如横着不好找规律,可竖着找,规律会一目了然.100是不变的,加25是不变的,括号里的加1是不变的,只有括号内的加数和括号外的因数随着平方数的十位数在变.

解 (1)752=100×7(7+1)+25,852=100×8(8+1)+25

(2)(10n+5)2=100×n(n+1)+25

(3) 20052=100×200(200+1)+25=4020025

例4如图①是一个三角形,分别连接这个三角形三边的中点得到图②,再分别连接图②中间小三角形三边的中点,得到图③.S表示三角形的个数.

(1)当n=4时,S= ,

(2)请按此规律写出用n表示S的公式.

n=1,S=1①n=2,S=5②n=3,S=9③

分析 当n=4时,我们可以继续画图得到三角形的个数.怎么找规律呢?单纯从结果有时我们很难看出规律,要学会从变化过程找规律.如本题,可用列表法来找,规律会马上显现出来的.

解 (1)S=13

(2)可列表找规律:

所以S=4(n-1)+1.(当然也可写成4n-3.)

【核心练习】

1、观察下面一列数,探究其中的规律:

11111—1,,?,,?, 23456

①填空:第11,12,13三个数分别是 , , ;

②第2008个数是什么?

③如果这列数无限排列下去,与哪个数越来越近?.

2、观察下列各式: 1+1×3 = 22, 1+2×4 = 32, 1+3×5 = 42,??请将你找出的规律用公式表示出来:

【参考答案】

1111,,?;②;③0. 13120081112

22、1+n×(n+2) = (n+1) 1、①?

平面图形及其位置关系篇

【核心提示】

平面图形是简单的几何问题.几何问题学起来很简单,但有时不好表述,也就是写不好过程.所以这部分的核心知识是写求线段、线段交点或求角的过程.每个人写的可能都不一样,但只要表述清楚了就可以了,不过在写清楚的情况下要尽量简便.

【典型例题】

例1平面内两两相交的6条直线,其交点个数最少为______个,最多为______个.

分析 6条直线两两相交交点个数最少是1个,最多怎么求呢?我们可让直线由少到多一步步找规律.列出表格会更清楚.

图1图2图3

例2 两条平行直线m、n上各有4个点和5个点,任选9点中的两个连一条直线,则一共可以连( )条直线. A.20 B.36 C.34 D.22

分析与解 让直线m上的4个点和直线n上的5个点分别连可确定20条直线,再加上直线m上的4个点和直线n上的5个点各确定的一条直线,共22条直线.故选D. A例3 如图,OM是∠AOB的平分线.射线OC在∠BOM内,ON是∠BOC的平分线,已知∠AOC=80°,那么∠MON的大小等于C_______. 分析 求∠MON有两种思路.可以利用和来求,即∠MON=∠MOC+∠CON.也可利用差来求,方法就多了,∠

MON=∠MOB-∠BON=

∠AON-∠AOM=∠AOB-

∠AOM-∠BON.根据两条角平分线,想办法和已知的∠AOC靠拢.解这类问题要敢于尝试,不动笔是很难解出来的.

解 因为OM是∠AOB的平分线,ON是∠BOC的平分线,

11∠AOB,∠NOB=∠COB 22

1111 所以∠MON=∠MOB-∠NOB=∠AOB-∠COB=(∠AOB-∠COB)=∠2222

1AOC=×80°=40° 2B例4 如图,已知∠AOB=60°,OC是∠AOB的平分线,OD、DOE分别平分∠BOC和∠AOC. (1)求∠DOE的大小; E 所以∠MOB=

O

(2)当OC在∠AOB内绕O点旋转时,OD、OE仍是∠BOC和∠AOC的平分线,问此时∠DOE的大小是否和(1)中的答案相同,通过此过程你能总结出怎样的结论.

分析 此题看起来较复杂,OC还要在∠AOB内绕O点旋转,是一个动态问题.当你求出第(1)小题时,会发现∠DOE是∠AOB的一半,也就是说要求的∠DOE, 和OC在∠AOB内的位置无关.

解 (1)因为OC是∠AOB的平分线,OD、OE分别平分∠BOC和∠AOC.

11所以∠DOC=∠BOC,∠COE=∠COA 22

1111所以∠DOE=∠DOC+∠COE=∠BOC+∠COA=(∠BOC+∠COA)=∠AOB 2222

因为∠AOB=60°

11∠AOB= ×60°=30° 22

1(2)由(1)知∠DOE =∠AOB,和OC在∠AOB内的位置无关.故此时∠DOE的2所以∠DOE =

大小和(1)中的答案相同.

【核心练习】

1、A、B、C、D、E、F是圆周上的六个点,连接其中任意两点可

得到一条线段,这样的线段共可连出_______条.

2、在1小时与2小时之间,时钟的时针与分针成直角的时刻是1时分.

【参考答案】

1、15条 2、21

96分或54分. 1111

一元一次方程篇

【核心提示】

一元一次方程的核心问题是解方程和列方程解应用题。解含分母的方程时要找出分母的最小公倍数,去掉分母,一定要添上括号,这样不容易出错.解含参数方程或绝对值方程时,要学会代入和分类讨论。列方程解应用题,主要是列方程,要注意列出的方程必须能解、易解,也就是列方程时要选取合适的等量关系。

【典型例题】

例1已知方程2x+3=2a与2x+a=2的解相同,求a的值.

分析 因为两方程的解相同,可以先解出其中一个,把这个方程的解代入另一个方程,即可求解.认真观察可知,本题不需求出x,可把2x整体代入.

解 由2x+3=2a,得 2x=2a-3.

把2x=2a-3代入2x+a=2得

2a-3+a=2,

3a=5,

5所以 a? 3

例2 解方程 x?x?1x?1 ?2?23

分析 这是一个非常好的题目,包括了去分母容易错的地方,去括号忘变号的情况.

解 两边同时乘以6,得

6x-3(x-1)=12-2(x+1)

去分母,得

6x-3x+3=12-2x-2

6x-3x+2x=12-2-3

5x=7 x=7 5

例3某商场经销一种商品,由于进货时价格比原进价降低了6.4%,使得利润增加了8个百分点,求经销这种商品原来的利润率.

分析 这类问题我们应首先搞清楚利润率、销售价、进价之间的关系,因销售价=进价×(1+利润率),故还需设出进价,利用销售价不变,辅助设元建立方程.

解:设原进价为x元,销售价为y元,那么按原进价销售的利润率为

y?xy?93.6%x?100%,原进价降低后在销售时的利润率为?100%,由题意得: x93.6%x

y?xy?93.6%x?100%+8%=?100% x93.6%x

解得 y=1.17x 1.17x?x故这种商品原来的利润率为?100%=17%. x

例4解方程 │x-1│+│x-5│=4

分析 对于含一个绝对值的方程我们可分两种情况讨论,而对于含两个绝对值的方程,道理是一样的.我们可先找出两个绝对值的“零点”,再把“零点”放中数轴上对x进行讨论.

解:由题意可知,当│x-1│=0时,x=1;当│x-5│=0时,x=5.1和5两个“零点”把x轴分成三部分,可分别讨论:

1)当x<1时,原方程可化为 –(x-1)-(x-5)=4,解得 x=1.因x<1,所以x=1应舍去.

2)当1≤x≤5时,原方程可化为 (x-1)-(x-5)=4,解得 4=4,所以x在1≤x≤5范围内可任意取值.

3)当x>5时,原方程可化为 (x-1)+(x-5)=4,解得 x=5.因x>5,故应舍去. 所以, 1≤x≤5是比不过的。

【核心练习】

a3x?a1?5x1、已知关于x的方程3[x-2(x-)]=4x和??1有相同的解,那么这3128

个解是 .(提示:本题可看作例1的升级版)

2、某人以4千米/小时的速度步行由甲地到乙地,然后又以6千米/小时的速度从乙地返回甲地,那么某人往返一次的平均速度是____千米/小时.

【参考答案】

1、27 2、4.8 28

生活中的数据篇

【核心提示】

生活中的数据问题,我们要分清三种统计图的特点,条形图表示数量多少,折线图表示变化趋势,扁形图表示所占百分比.学会观察,学会思考,这类问题相对是比较简单的.

【典型例题】

例1下面是两支篮球队在上一届省运动会上的4场对抗赛的比赛结果:(单位:分)

研究一下可以用哪些统计图来分析比较这两支球队,并回答下列问题:

(1)你是怎样设计统计图的?

(2)你是怎样评价这两支球队的?和同学们交流一下自己的想法.

分析 选择什么样的统计图应根据数据的特点和要达到的目的来决定.本题可以用复式条形统计图,达到直观、有效地目的.

解 用复式条形统计图:(如下图)

从复式条形图可知乙球队胜了3场输了1场.

例2根据下面三幅统计图(如下图),回答问题:

(1)三幅统计图分别表示了什么内容?

(2)从哪幅统计图你能看出世界人口的变化情况?

(3)2050年非洲人口大约将达到多少亿?你是从哪幅统计图中得到这个数据的?

(4)2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多,你从哪幅统计图中可以明显地得到这个结论?

分析 这类问题可根据三种统计图的特点来解答.

解 (1)折线统计图表示世界人囗的变化趋势,条形统计图表示各洲人囗的多少,扇形统计图表示各洲占世界人囗的百分比.

(2)折线统计图

(3)80亿,折线统计图.

(4)扇形统计图

【核心练习】

1、如下图为第27届奥运会金牌扇形统计图,根据图中提供的信息回答下列问题:

(1)哪国金牌数最多?

(2)中国可排第几位?

(3)如果你是中国队的总教练,将会以谁为下一次奥运会的追赶目标?

【参考答案】

1、(1)美国 (2)第3位 (3)俄罗斯.

平行线与相交线篇

【核心提示】

平行线与相交线核心知识是平行线的性质与判定.单独使用性质或判定的题目较简单,当交替使用时就不太好把握了,有时不易分清何时用性质,何时用判定.我们只要记住因为是条件,所以得到的是结论,再对照性质定理和判定定理就容易分清了.

这部分另一核心知识是写证明过程.有时我们认为会做了,但如何写出来呢?往往不知道先写什么,后写什么.写过程是为了说清楚一件事,是为了让别人能看懂,我们带着这种目的去写就能把过程写好了.

【典型例题】

例1平面上有5个点,其中仅有3点在同一直线上,过每2点作一条直线,一共可以作直线( )条.

A.7 B.6 C.9 D.8

分析与解 这样的5个点我们可以画出来,直接查就可得到直线的条数.也可以设只有A、B、C三点在一条直线上,D、E两点分别和A、B、C各确定3条直线共6条,A、B、C三点确定一条直线,D、E两点确定一条直线,这样5个点共确定8条直线.故选D.

例2已知∠BED=60°, ∠B=40°, ∠D=20°,求证:AB∥CD. A

分析 要证明两条直线平行,可考虑使用哪种判定方法得到

平行?已知三个角的度数,但这三个角并不是同位角或内错角.FE因此可以考虑作辅助线让他们建立联系.延长BE可用内错角证明

CO平行.过点E作AB的平行线,可证明FG与CD也平行,由此得到

AB∥CD.连接BD,利用同旁内角互补也可证明.

解 延长BE交CD于O,

∵∠BED=60°, ∠D=20°,

∴∠BOD=∠BED-∠D=60°-20°=40°,

∵∠B=40°,

∴∠BOD=∠B,

BGD

∴AB∥CD.

其他方法,可自己试试! 例3如图,在△ABC中,CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,AC∥ED,CE是∠ACB的平分线,求证: ∠EDF=∠BDF.

分析 由CE、DF同垂直于AB可得CE∥DF,又知AC∥ED,BD

利用内错角和同位角相等可得到结论.

解 ∵CE⊥AB,DF⊥AB, ∴CE∥DF

∴∠EDF=∠DEC, ∠BDF=∠DCE, ∵AC∥ED,

∴∠DEC=∠ACE,

∴∠EDF=∠ACE.

∵CE是∠ACB的平分线, ∴∠DCE=∠ACE, C∴∠EDF=∠BDF.

例4如图,在△ABC中,∠C=90°,∠CAB与∠CBA的

平分线相交于O点,求∠AOB的度数.

分析 已知∠C=90°,由此可知∠CAB与∠CBA的和为A

90°,由角平分线性质可得∠OAB与∠OBA和为45°,所以可得∠AOB的度数. 解 ∵OA是∠CAB的平分线,OB是∠CBA的平分线,

11

∴∠OAB=∠CAB,∠OBA=∠CBA,

22

1111

∴∠OAB+∠OBA=∠CAB+∠CBA=CAB+∠CBA)=180°-∠C)=45°,

2222

∴∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)=135°.

1

(注:其实∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)=180°-(180°-∠C)

2

1

=90°+∠C.

2

所以∠AOB的度数只和∠C的度数有关,可以作为结论记住.)

【核心练习】

1、如图,AB∥ED,α=∠A+∠E,β=∠B+∠C+∠D,求证:β=2α.(提示:本题可看作例2的升级版)

2、如图,E是DF上一点,B是AC上一点,∠1=∠2, ∠C=∠D,求证:∠A=∠F.

E

D

E

2

【参考答案】

1、可延长BC或DC,也可连接BD,也可过C做平行线. 2、先证BD∥CE,再证DF∥AC.

A

三角形篇

【核心提示】

三角形全等的核心问题是证全等.根据全等的5种判定方法,找出对应的边和角,注意一定要对应,不然会很容易出错.如用SAS证全等,必须找出两边和其夹角对应相等.有时为了证全等,条件中不具备两个全等的三角形,我们就需要适当作辅助构造全等.

【典型例题】 A

例1如图,在△ABC中,AB=AC,D、E分别在BC、AC边1上,且∠1=∠B,AD=DE.求证:△ADB≌△DEC. BD分析 要证△ADB和△DEC全等,已具备AD=DE一对边,

由AB=AC可知∠B=∠C,还需要一对边或一对角.由条件∠1=∠B知,找角比较容易.通过外角可得到∠BDA=∠CED.

证明 ∵AB=AC,

∴∠B=∠C,

∵∠1=∠B,

∴∠1=∠C,

∵∠BDA=∠DAC+∠C,∠CED=∠DAC+∠1

∴∠BDA=∠CED.

在△ADB和△DEC中

??B??C???BDA??CED,

?AD?DE?

∴△ADB≌△DEC (AAS).

例2如图,AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA,CD

过点E,求证:AB=AC+BD.

分析 要证AB=AC+BD有两种思路,可以把AB分成两段分

别和AC、BD相等,也可以把AC、BD平移连接成一条线段,

证明其与AB相等.下面给出第一种思路的过程.

证明 在AB上截取AF=AC,连接EF,

∵EA别平分∠CAB,

∴∠CAE=∠FAE,

在△ACE和△AFE中

?AC?AF???CAE??FAE,

?AE?AE?EDAFB

∴△ACE≌△AFE(SAS),

∴∠C=∠AFE.

∵AC∥BD,

∴∠C+∠D=180°,

∵∠AFE+∠BFE=180°,

∴∠BFE=∠D.

∵EB平分∠DBA,

∴∠FBE=∠DBE

在△BFE和△BDE中

???FBE?DBE

??BFE??D

??BE?BE

∴△BFE≌△BDE(AAS),

∴BF=BD.

∵AB=AF+BF,

∴AB=AC+BD.

例3如图,BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB.求证:

(1)AP=AQ;(2)AP⊥AQ.

分析 观察AP和AQ所在的三角形,明显要证△ABP和△QCA全等.证出全等AP=AQ可直接得到,通过角之间的等量代换可得∠ADP=90°.

证明 (1)∵BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高,

∴∠AEC=∠ADB=90°,

∴∠ABP+∠BAC=∠QCA+∠CAB=90°,

∴∠ABP=∠QCA

在△ABP和△QCA中

??BP?CA

??ABP??QCA

??CQ?BA

∴△ABP≌△QCA(SAS),

∴AP=AQ.

(2)由(1)△ABP≌△QCA,

∴∠P=∠QAC,

∵∠P+∠PAD=90°,

∴∠QAC+∠PAD=90°,

∴AP⊥AQ.

【核心练习】

1、如图,在△ABC中,AB=BC=CA,CE=BD,则∠AFE=_____度.

2、如图,在△ABC中,∠BAC=90°AB=AC.D为AC中点,AE⊥BD,垂足为E.延长AE交BC于F.求证:∠ADB=∠CDF

【参考答案】

1、60

APEDBCEBCBFC

2、提示:作∠BAC的平分线交BD于P,可先证△ABP≌△CAF,再证△APD≌△CFD.

生活中的轴对称篇

【核心提示】

轴对称核心问题是轴对称性质和等腰三角形.轴对称问题我们要会画对称点和对称图形,会通过对称点找最短线路.等腰三角形的两腰相等及三线合一,好记但更要想着用,有时往往忽略性质的应用.

【典型例题】

例1判断下面每组图形是否关于某条直线成轴对称

.

分析与解 根据轴对称的定义和性质,仔细观察,可知(1)是错误的,(2)是成轴对称的.

例2下列图形中对称轴条数最多的是( )

A.正方形 B.长方形 C.等腰三角形 D.等腰梯形

E.等边三角形 F.角 G.线段 H.圆 I.正五角星 分析与解 有一条对称轴的是C、D、F、G,有三条对称轴是E,有四条对称轴的是A,有两条对称轴的是B,有五条对称轴的是I,有无数条对称轴的是H.故选H.

例3 如图,AOB是一钢架,且∠AOB=10°,为使钢架更

加坚固,需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH??添加的GM

钢管长度都与OE相等,则最多能添加这样的钢管______根. OB分析 由添加的钢管长度都与OE相等,可知每增加一

根钢管,就增加一个等腰三角形.由点到直线的所有线段中

垂线段最短可知,当添加的钢管和OA或OB垂直时,就不能再添加了.

解 每添加一根钢管,就形成一个外角.如添加EF形成外角∠FEA,添加FG

.故最多能添加这样的钢管8根.

例4小明利用暑假时间去居住在山区的外公家,每天外

公都带领小明去放羊,早晨从家出发,到一片草场放羊,天

黑前再把羊牵到一条小河边饮水,然后再回家,如图所示,

点A表示外公家,点B表示草场,直线l表示小河,请你帮

助小明和他外公设计一个方案,使他们每天所走路程最短?

分析 本题A(外公家)和B(草场)的距离已确定,只需找从B到l(小

河)再到A的距离如何最小.因A和B在l的同侧,直接确定饮水处(C点)的位置不容易.本题可利用轴对称的性质把A点转化到河流

的另一侧,设为A′,不论饮水处在什么位置,A点与它的

对称点A′到饮水处前距离都相等,当A′到B的距离最小

时,饮水处到A和B的距离和最小.也可作B的对称点确定

C点.

解 如图所示,C点即为所求饮水处的位置.

【核心练习】

1、请用1个等腰三角形,2个矩形,3个圆在下面的方框内设

计一个轴对称图形,并用简练的语言文字说明你的创意.

2、如图所示,AB=AC,D是BC的中点,DE=DF,BC∥EF.这个图

形是轴对称图形吗?为什么?

【参考答案】

1、略

2、是轴对称图形,△ABC与△DEF的对称轴都过点D,都与BC垂直,所以是两条对称轴是同一条直线.

通过这些核心题目的练习,如能做到举一反三,触类旁通,灵活应变.不仅会节约很多时间和精力,或许这样的练习会很有效.

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