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解答题 有答案

发布时间:2014-01-26 10:59:00  

直角三角形全等的判定 /

1. 已知:如图,AB=AC,点D是BC的中点,AB平分∠DAE,AE⊥BE,垂足为E. 求证:AD=AE.

考点:直角三角形全等的判定;全等三角形的性质.专题:证明题.

分析:求简单的线段相等,可证线段所在的三角形全等,结合本题,证△ADB≌△AEB即可.

解答:证明:∵AB=AC,点D是BC的中点,

∴∠ADB=90°,

∵AE⊥EB,

∴∠E=∠ADB=90°,

∵AB平分∠DAE,

∴∠1=∠2;

在△ADB和△AEB中,

∠E=∠ADB=90° ∠1=∠2 AB=AB ,

∴△ADB≌△AEB(AAS),

∴AD=AE.

点评:此题考查简单的线段相等,可以通过全等三角形来证明,要判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.

2. 如图,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,CE⊥AB.求证:

BD=CE

考点:直角三角形全等的判定;全等三角形的性质.专题:证明题.

分析:欲证BD、CE两边相等,只需证明这两边所在的△ABD与△ACE全等,这两个三角形,有一对直角相等,公共角∠A,AB=AC,所以两三角形全等.

解答:证明:∵BD⊥AC,CE⊥AB,

∴∠ADB=∠AEC=90°.

在△ABD和△ACE中, ∠A=∠A ∠ADB=∠AEC AB=AC ,

∴△ABD≌△ACE(AAS).

∴BD=CE.

点评:本题考查证明两边相等的方法,证明这两边所在的三角形全等.选择要证的三角形时要结合图形及已知条件.

3. 如图,△ABC中,∠ABC=45°,AD⊥BC于D,点E在上AD,且DE=CD,求证:BE=AC.

考点:直角三角形全等的判定;全等三角形的性质.专题:证明题.

分析:由∠ABC=45°,AD⊥BC可得到AD=BD,又知DE=CD,所以△BDE≌△ADC,从而得出BE=AC.

解答:证明:∵∠ABC=45°,AD⊥BC,

∴AD=BD,∠BDE=∠ADC=90°.

又∵DE=CD,

∴△BDE≌△ADC.

∴BE=AC.

点评:本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、HL.发现并利用BD=AD是正确解决本题的关键.

4. 已知:如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是垂足,DE=BF.

求证:(1)AF=CE;

(2)AB∥CD.

考点:直角三角形全等的判定;全等三角形的性质.专题:证明题.

分析:先利用HL求证两直角三角形全等,从而得出AF=CE,∠ACD=∠CAB.最终由内错角相等两直线平行推出AB∥CD.

解答:证明:(1)∵DE⊥AC,BF⊥AC,

在△ABF和△CDE中, AB=CD DE=BF ,

∴△ABF≌△CDE(HL).

∴AF=CE.

(2)由(1)知∠ACD=∠CAB,

∴AB∥CD.

点评:主要考查全等三角形的判定方法,常用的方法有AAS,SAS,SSS,HL等.要对这几种方法熟练掌握.

5. 如图,△ABC中,∠B=2∠A,AB=2BC.求证:∠C=90°

考点:直角三角形全等的判定;等腰三角形的性质.专题:证明题.

分析:作∠ABC的平分线BD交AC于点D,过D作DE⊥AB于点E,构造直角三角形和等腰三角形,由∠ABD=∠CBD,∠ABC=2∠A得到∠ABD=∠A?△DAB是等腰三角形,由SAS证得△BED≌△BCD,从而得到结论.

解答:证明:作∠ABC的平分线BD交AC于点D,过D作DE⊥AB于点E,

∵BD平分∠ABC,

∴∠ABD=∠CBD.

∵∠ABC=2∠A,

∴∠ABD=∠A.

∴△DAB是等腰三角形.

又∵DE⊥AB,

∴BE=1 /2 AB.

∵BC=1/ 2 AB,

∴BE=BC.

∵BD=BD,

∴△BED≌△BCD.

∴∠C=∠BED=90°.

点评:本题考查了等腰三角形的判定和性质及直角三角形全等三角形的判定和性质;正确作出辅助线是解答本题的关键.

6. 如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别是E、F,且BE=CF.求证:AB=AC.

考点:直角三角形全等的判定.专题:证明题.

分析:利用“HL”证明△BED和△CFD全等,再根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠C,然后根据等角对等边即可得证.

解答:证明:∵D是BC的中点,

∴BD=CD,

∵DE⊥BC,DF⊥AC,

∴△BED和△CFD都是直角三角形,

在△BED和△CFD中, BD=CD BE=CF ,

∴△BED≌△CFD(HL),

∴∠B=∠C,

∴AB=AC(等角对等边).

点评:本题考查了直角三角形全等的判定与性质,等角对等边的性质,证明得到∠B=∠C是解题的关键.

7. 已知:如图,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E、F,AC∥DB,且AE=FB. 求证:AC=BD.

考点:直角三角形全等的判定;全等三角形的性质.专题:证明题.

分析:根据已知条件先证△AEC≌△BFD,然后证明AC=BD.

解答:证明:∵AC∥BD,

∴∠A=∠B.

∵CE⊥AB,

∴∠ABC=90°.

∵DF⊥AB,

∴∠BFD=90°.

∴∠AEC=∠BFD.

又∵AE=BF,∠A=∠B,

∴△AEC≌△BFD.

∴AC=BD.

点评:本题考查了直角三角形全等的判定及性质;解决此题的关键是要根据全等三角形的判定,先证三角形全等,然后得出结论.

8. 已知:如图,等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,直线l经过点C,AD⊥l,BE⊥l,垂足分别为D,E.

求证:△ACD≌△CBE.(以上两个不同的图形所得的结论相同.请你任选其中一个图形加以证明)

考点:直角三角形全等的判定.专题:证明题;开放型.

分析:在本题中等腰直角三角形已经告知我们两个条件了即直角和一组边相等,我们可利用同角的余角相等,去证明所需的另外的角,从而利用角角边公式解答.

解答:证明:∵∠ACB=90°,

∴∠DCA+∠BCE=90°,

又∠BCE+∠CBE=90°,

∴∠ACD=∠CBE,

又∠ADC=∠CEB=90°,且AC=CB,

∴△ACD≌△CBE.

点评:三角形全等的判定是中考的热点,一般以考查三角形全等的方法为主,判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.

9. 如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过C作CF⊥AE,垂足为F,过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.

(1)求证:AE=CD;

(2)若AC=12cm,求BD的长.

考点:直角三角形全等的判定;全等三角形的性质.专题:计算题;证明题.

分析:(1)证两条线段相等,通常用全等,本题中的AE和CD分别在三角形AEC和三角形CDB中,在这两个三角形中,已经有一组边相等,一组角相等了,因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答.

(2)由(1)得BD=EC=1/2BC=1/ 2 AC,且AC=12,即可求出BD的长.

解答:(1)证明:∵DB⊥BC,CF⊥AE,

∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°.

∴∠D=∠AEC.

又∵∠DBC=∠ECA=90°,

且BC=CA,

∴△DBC≌△ECA(AAS).

∴AE=CD.

(2)解:由(1)得AE=CD,AC=BC,

∴△CDB≌△AEC(HL)

∴BD=EC=1/ 2 BC=1/2 AC,且AC=12.

∴BD=6.

点评:三角形全等的判定是中考的热点,一般以考查三角形全等的方法为主,判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.

10. 已知:如图,AB=AC,D、E是BC上两点,且BD=CE,作GE⊥BC,FD⊥BC,分别与BA、CA的延长线交于点G,F.求证:GE=FD.

考点:直角三角形全等的判定;全等三角形的性质.专题:证明题.

分析:由等边对等角得到∠B=∠C,由ASA证得△BEG≌△CDF得GE=FD.

解答:证明:∵AB=AC,

∴∠B=∠C.

∵BD=CE,

∴BD+DE=CE+DE,即BE=CD.

∵GE⊥BC,FD⊥BC,

∴∠GEB=∠FDC=90°.

∴△BEG≌△CDF.

∴GE=FD.

点评:本题考查了全等三角形的判定和性质,要充分利用题目中的条件,如等边对等角等.

11. 如图,AC⊥BC,AD⊥BD,AD=BC,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别是E,F,那么,CE=DF吗?

考点:直角三角形全等的判定;全等三角形的性质.专题:证明题.

分析:相等,先利用HL来判定Rt△ABC≌Rt△BAD,得出AC=BD,∠CAB=∠DBA,再利用AAS判定△ACE≌△BDF,从而推出CE=DF.

解答:解:CE=DF.理由:

在Rt△ABC和Rt△BAD中, AD=BC AB=BA ∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL), ∴AC=BD,∠CAB=∠DBA.

在△ACE和△BDF中, ∠CAB=∠DBA ∠AEC=∠BFD=90° AC=BD

∴△ACE≌△BDF(AAS),

∴CE=DF.

点评:本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.

12. 已知:如图,在△ABC中,∠C=90°,点E在AC上,且AE=BC,ED⊥AB于点D,过A点作AC的垂线,交ED的延长线于点F.

求证:AB=EF.

考点:直角三角形全等的判定;全等三角形的性质.专题:证明题.

分析:求简单的线段相等,可证线段所在的三角形全等,本题中证△AFE≌△CAB即可. 解答:证明:∵AD⊥EF,

∴∠ADE=∠ACB=90°;

∴∠DAE+∠DEA=∠DAE+∠B=90°,

即∠DEA=∠B;

∴∠FAE=∠C=90°,

又∵AE=BC,

∴△AFE≌△CAB(ASA).

∴AB=EF.

点评:此题考查简单的线段相等,可以通过全等三角形来证明,要注意利用此题中的图形条件,同角的余角相等.

13. 把两个含有45°角的大小不同的直角三角板如图放置,点D在BC上,连接BE,AD,AD的延长线交BE于点F.

说明:AF⊥BE.

考点:直角三角形全等的判定;全等三角形的性质.专题:证明题.

分析:可通过全等三角形将相等的角进行转换来得出结论.本题中我们可通过证明三角形BEC和ACD全等得出∠FBD=∠CAD,根据∠CAD+∠CDA=90°,而∠BDF=∠ADC,因此可得出∠BFD=90°,进而得出结论.那么证明三角形BED和ACD就是解题的关键,两直角三角形中,EC=CD,BC=AC,两直角边对应相等,因此两三角形就全等了. 解答:证明:AF⊥BE,理由如下:

由题意可知∠DEC=∠EDC=45°,∠CBA=∠CAB=45°,

∴EC=DC,BC=AC,又∠DCE=∠DCA=90°,

∴△ECD和△BCA都是等腰直角三角形,

∴EC=DC,BC=AC,∠ECD=∠ACB=90°.

在△BEC和△ADC中

EC=DC,∠ECB=∠DCA,BC=AC,

∴△BEC≌△ADC(SAS).

∴∠EBC=∠DAC.

∵∠DAC+∠CDA=90°,∠FDB=∠CDA,

∴∠EBC+∠FDB=90°.

∴∠BFD=90°,即AF⊥BE.

点评:本题考查了全等三角形的判定,通过全等三角形来将相等的角进行适当的转换是解题的关键.

14. 如图,已知点B,F,C,E在同一直线上,AB⊥BE,垂足为B,DE⊥BE,垂足为E,且AB=DE.请你添加一个条件,使AC=DF(不再添加其它线段,不再标注或使用其他字母),并给出证明.

添加的条件是:

考点:直角三角形全等的判定;全等三角形的性质.专题:证明题;开放型.

分析:已知一对边相等,一组角相等,则我们可以再添加一对边可一组角从而利用SAS,AAS来进行判定.

解答:解:添加的条件例举:BC=EF,∠A=∠D,∠ACB=∠DFE,BF=CE等. 证明例举(以添加条件BC=EF为例).

∵AB⊥BE,DE⊥BE,

∴∠ABC=∠DEF=90°;

∵BC=EF,AB=DE,

∴△ABC≌△DEF(SAS),

∴AC=DF.

故填空答案:BC=EF或∠A=∠D或∠ACB=∠DFE或BF=CE.

点评:这是一道考查全等三角形的判定方法的开放性的题.答案不唯一.此题也要求学生对于全等三角形的判定比较熟悉.

15. 如图,已知AB⊥CF,DE⊥CF,垂足分别为B,E,AB=DE.请添加一个适当条件,使△ABC≌△DEF,并予以证明.

添加条件: .

考点:直角三角形全等的判定.专题:证明题;开放型.

分析:三角形ABC和DEF中,已知的条件有∠ABC=∠DEF=90°,AB=DE,那么要想△ABC≌△DEF,根据全等三角形的判定,我们可知缺少的条件是∠C=∠F或∠A=∠D或BC=EF或BF=CE或AC=FD等都可以.

解答:解:添加条件:∠C=∠F

证明如下:

∵AB⊥CF,DE⊥CF,

∴∠ABC=∠DEF=90°

又∵AB=DE,∠C=∠F,

∴△ABC≌△DEF.

点评:本题主要考查了全等三角形的判定公理和推论.要注意的是边边角和角角角是不能判定三角形全等的(边边角的直角三角形HL的情况除外).

16. 如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F,BE=CF.

(1)图中有几对全等的三角形请一一列出;

(2)选择一对你认为全等的三角形进行证明.

考点:直角三角形全等的判定.专题:证明题;开放型.

分析:本题考查三角形的全等知识.第(1)小题是根据对图形的直观判断和一定的推理可得结果,要求考虑问题要全面.第(2)个问题具有一定的开放性,选择证明不同的结论,判定方法会有不同,这里根据HL(斜边直角边定理)来判断两个直角三角形全等. 解答:解:(1)3对.分别是:

△ABD≌△ACD;△ADE≌△ADF;△BDE≌△CDF.

(2)△BDE≌△CDF.

证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,

∴∠BED=∠CFD=90°.

又D是BC的中点,

∴BD=CD.

在Rt△BDE和Rt△CDF中, BD=CD BE=CF ,

∴△BDE≌△CDF(HL).

点评:三角形全等的判定是中考的热点,一般以考查三角形全等的方法为主,判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证.

17. 如图,将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上,且过A,B两点分别作直线l的垂线,垂足分别为D,E,请你在图中找出一对全等三角形,并写出证明它们全等的过程.

考点:直角三角形全等的判定.专题:探究型.

分析:分析图可知,全等三角形为:△ACD≌△CBE.根据这两个三角形中的数量关系选择ASA证明全等.

解答:解:全等三角形为:△ACD≌△CBE.

证明如下:

由题意知∠CAD+∠ACD=90°,

∠ACD+∠BCE=90°,

∴∠CAD=∠BCE.

在△ACD与△CBE中,

∠ADC=∠CEB=90° ∠CAD=∠BCE AC=BC ,

∴△ACD≌△CBE(AAS).

点评:本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.

18. 在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E,求证:DE=AD+BE.

考点:直角三角形全等的判定;全等三角形的性质.专题:证明题.

分析:先证明∠BCE=∠CAD,再证明△ADC≌△CEB,可得到AD=CE,DC=EB,等量代换,可得出DE=AD+BE.

解答:证明:∵∠ACB=90°,AC=BC,

∴∠ACD+∠BCE=90°,

又∵AD⊥MN,BE⊥MN,

∴∠ADC=∠CEB=90°,而∠ACD+∠DAC=90°,

∴∠BCE=∠CAD.

∴△ADC≌△CEB(AAS).

∴AD=CE,DC=EB.

又∵DE=DC+CE,

∴DE=EB+AD.

点评:本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.证明两线段的和等于一条线段常常借助三角形全等来证明,要注意运用这种方法.

19. 如图,已知BE⊥AD,CF⊥AD,且BE=CF.请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线?请说明你判断的理由.

考点:直角三角形全等的判定;全等三角形的性质.专题:探究型.

分析:我们可以通过证明△BDE和△CDF全等来确定其为中线.

解答:解:AD是△ABC的中线.

理由如下:

∵BE⊥AD,CF⊥AD,

∴∠BED=∠CFD=90°,

在△BDE和△CDF中,

∠BED= ∠CFD ∠BDE=∠CDF BE=CF

∴△BDE≌△CDF,

∴BD=CD.

∴AD是△ABC的中线.

点评:本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.做题时要根据实际情况灵活运用.

20. 如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,分别过B、C向过A的直线作垂线,垂足分别为E、F.

(1)如图①过A的直线与斜边BC不相交时,求证:EF=BE+CF;

(2)如图②过A的直线与斜边BC相交时,其他条件不变,若BE=10,CF=3,求:FE长.

考点:直角三角形全等的判定;全等三角形的性质.专题:计算题;证明题.

分析:此题根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC,然后利用对应边相等就可以证明题目的结论;(2)根据(1)知道

△BEA≌△AFC仍然成立,再根据对应边相等就可以求出EF了.

解答:(1)证明:∵BE⊥EA,CF⊥AF,

∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°,

∴∠EAB+∠CAF=90°,∠EBA+∠EAB=90°,

∴∠CAF=∠EBA,

在△ABE和△AFC中,

∠BEA=∠AFC=90°,∠EBA=∠CAF,AB=AC,

∴△BEA≌△AFC.

∴EA=FC,BE=AF.

∴EF=EA+AF.

(2)解:∵BE⊥EA,CF⊥AF,

∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°,

∴∠EAB+∠CAF=90°,∠ABE+∠EAB=90°,

∴∠CAF=∠ABE,

在△ABE和△ABF中,

∠BEA=∠AFC=90°,∠EBA=∠CAF,AB=AC,

∴△BEA≌△AFC.

∴EA=FC=3,BE=AF=10.

∴EF=AF-CF=10-3=7.

点评:此题主要考查了全等三角形的性质与判定,利用它们解决问题,经常用全等来证线段和的问题.

21. 如图,在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于D,CE⊥DE于点E;

(1)若B、C在DE的同侧(如图所示)且AD=CE.求证:AB⊥AC;

(2)若B、C在DE的两侧(如图所示),其他条件不变,AB与AC仍垂直吗?若是请给出证明;若不是,请说明理由.

考点:直角三角形全等的判定;全等三角形的性质.专题:证明题;探究型.

分析:(1)由已知条件,证明ABD≌△ACE,再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°,即可证明AB⊥AC;

(2)同(1),先证ABD≌△ACE,再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°,即可证明AB⊥AC.

解答:(1)证明:∵BD⊥DE,CE⊥DE,

∴∠ADB=∠AEC=90°,

在Rt△ABD和Rt△ACE中,

AB=AC,

AD=CE,

∴Rt△ABD≌Rt△ACE.

∴∠DAB=∠EAC,∠DBA=∠ACE.

∵∠DAB+∠DBA=90°,∠EAC+∠ACE=90°,

∴∠BAD+∠CAE=90°.

∠BAC=180°-(∠BAD+∠CAE)=90°.

∴AB⊥AC.

(2)AB⊥AC.理由如下:

同(1)一样可证得Rt△ABD≌Rt△ACE.

∴∠DAB=∠ECA,∠DBA=∠ECA.

∵∠DAB+∠DBA=90°,∠CAE+∠ECA=90°,

∴∠BAD+∠ECA=90°.

∴∠BAC=90°.

∴AB⊥AC.

点评:三角形全等的判定是中考的热点,一般以考查三角形全等的方法为主,借助全等三角形的性质得到相等的角,然后证明垂直是经常使用的方法,注意掌握、应用.

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