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8-第二章(3)

发布时间:2014-02-04 15:50:20  

第四节 随机变量函数的分布

随机变量的函数的分布
? 背景
在许多实际问题中,常常需要研究随机变量的函数的分 布问题, 例: ☆ 测量圆轴截面的直径d,而关心的却是截面积:

1 2 S ? ?d 4 d为随机变量, S 就是随机变量d的函数。
☆ 在统计物理中,已知分子的运动速度x的分布,求其动能:

1 y ? mx 2 2

的分布。

一般地,设X是一个随机变量,y=g(x)是定义在X的取值域上的 实值连续函数,则称Y=g(X) 为随机变量X的函数。

密度函数

随机变量

分布函数

f X ( x)

X
Y ? g( X )
随机变量X的函数

F X ( x)

fY ( y )

FY ( y )



设随机变量X的分布律为
X
pk

-1
0.2

0
0.3

1
0.4

2
0.1 求Y=2X2 +1的分布律.

分析

1. Y为离散型随机变量; 2. Y的可能取值为1,3,9; 3. {Y=1}={X=0} 所以P{Y=1}=P{X=0}=0.3 {Y=3}={X=-1}U{X=1} 所以P{Y=3}=P{X=-1}+P{X=1}=0.2+0.4=0.6 {Y=9}={X=2} 所以P{Y=9}=P{X=2}=0.1 所以,y=2x2+1 的分布律为
y pk 1 0.3 3 0.6 9 0.1

离散随机变量的函数的分布
若X为离散型 随机变量, 其分布律为
X x1 x2 x3 ....... xn....

pk

p1

p2

p3 .......pn....

则随机变量X的函数 Y= g (X) 的分布律为
Y pk g( x1) g( x2) g( x3)..... g (xn).... p1 p2 p3 ..... pn....

如果g( x i )与g( x j )相同,此时将两项合并,对应概率相加.



设随机变量X的分布律为
X pk -1 0.2 0 0.3 1 0.4 2 0.1 求Y=2X2 +1的分布律.



由题设可得如下表格
x Y=2x2+1 概率 -1 3 0.2 0 1 0.3 1 3 0.4 2 9 0.1

所以,y=2x2+1的分布律为
y pk 1 0.3 3 0.6 9 0.1



设圆半径X的分布律为
X pk 9.5 0.06 10 0.5 10.5 0.4 11 0.04 求周长及面积的分布律.



由题设可得如下表格 x 周长 面积 9.5 19π 90.25π 10 20π 100π 10.5 21π 110.25π 11 22π 121π

概率

0.06

0.5

0.4

0.04



所以,周长的分布律为 周长 概率 19π 0.06 20π 0.5 21π 0.4 22π 0.04

面积的分布律为

面积

90.25π

100π

110.25π

121π

概率

0.06

0.5

0.4

0.04

连续型随机变量的函数的分布
设 X 为连续型随机变量,其密度函数为 f (x).
y = g(x)为一个连续函数,求随机变量Y=g(X)的密度函数.

? 一般方法 (1) 求Y的分布函数 FY(y)

FY ( y )

根据分布函数的定义

P(Y ? y) ? P( g ( X ) ? y)

? P( X ? G( y))
(2) FY(y) 对y求导,得到 fY(y)

fY ( y ) ? FY? ( y )



设随机变量X的密度函数为

?x ? ,0 ? x ? 4 f ( x) ? ? 8 ? ?0, 其它
求随机变量Y=2X+8的概率密度。
解(1) 先求Y=2X+8的分布函数 FY (y).

FY ( y ) ? P(Y ? y) ? P ? 2 X ? 8 ? y ? y ?8 y ?8 ) ? P( X ? ) ? FX ( 2 2 y ?8

??

2 ??

f ( x)dx

(2) 求Y=2X+8的概率密度

? fY ( y ) ? FY? ( y ) ? f ? ? ?1 ? y ? 8 ? 1 ? ? ?? , ? ?8 ? 2 ? 2 ? 0, ?

? y ?8 ?? y ?8

? ?? ? 2 ?? 2 ? y ?8 0? ?4 2

其它

? y ?8 , 8 ? y ? 16 ? ? ? 32 ? 其它 ? 0,

2 N ? , ? 例 设随机变量X服从正态分布 ? ?

求 Y ? aX ? b 的概率密度。
解 先求分布函数 FY (y)。

FY ( y) ? P(Y ? y) ? P(aX ? b ? y )
(i)当

a ? 0 时,
y ?b ? y ?b ? FY ( y ) ? P( X ? ) ? FX ? ? a ? a ?

所以,

? y ?b 1 1 fY ( y ) ? f ( )? ? ?e a a 2?? a

? y ?b ? a ? ?2
2( a? )2

y ?b (ii)当 a ? 0 时, FY ( y ) ? P( X ? ) a y ?b y ?b FY ( y) ? P( X ? ) ? 1 ? P( X ? ) a a y ?b ? 1 ? FX ( ) a
? y ?b 1 ?1 fY ( y ) ? ? f ( )? ? ?e a a 2?? a

? y ?b ? a ? ? 2
2( a? )2

所以,

Y ~ N ? a ? ? b, ( a ? )

2

?

? 定理

正态分布的线性函数仍服从正态分布
2

设X ~ N ( ? , ? ), Y ? aX ? b(a ? 0), 则 Y ~ N (a ? ? b, a ? )
2 2

? 推论
若X ~ N ( ? , ? ), 则
2

X ??

?

~ N (0, 1)

正态分布的标准化

例 设X ~ N(0,1),其密度函数为:

1 ? ? x? ? e 2?


x2 ? , 2

?? ? x ? ??

Y ? X2

概率密度函数为:
1 2?

? ? fY ? y ? ? ? ? ?

y

?

1 2

e

?

y 2

,

y?0 y?0

0,

此时称Y服从自由度为1的

? 2 分布,记作 Y ~ ? 2 ?1?

2 2 X ~ N 0,1 X ~ ? 结论:若 ? ?则 ?1?

定理 若随机变量X和随机变量Y=g(X)的密度函数分 别为 f X (x) fY (y), 当 g(x) 是严格单调函数,则

fY ( y ) ? f X [(G ( y )] G?( y )
其中 x ? G( y) 为 y ? g ( x) 的反函数

例 解

设随机变量X服从[90,110]上的均匀分布,求 Y=0.1X+10的密度函数。 X的密度函数为 ?1 ? , f X ( x) ? ? 20 ? ?0,

90 ? x ? 110
其它

Y=0.1X+10的密度函数为

fY ( y ) ? f X [(G ( y )] G?( y )

?1 1 y ? 10 ? , 19 ? y ? 21 fY ( y ) ? fx ( ) ? ?2 0.1 0.1 ? 其它 ? 0,

即 Y 服从[19,21]上的均匀分布.



设球的半径X的概率密度为

?6 x(1 ? x), x ? (0,1) 试求体积的概率密度。 f ( x) ? ? 其它 ?0, 4 解 体积 Y ? ? X 3的分布函数为 3 ? ? ? 3y ? 3 y ? ? ?4 ? 3 3 FY ( y ) ? P ? ? X ? y ? ? P ? X ? 3 ? ? ? FX ? ? ? 4 ? 4 ? ?3 ? ? ? ? ? ? ?
所以体积的 概率密度为

? ? 3y ? ? 3y ? 3 3 fY ( y ) ? f X ? ? ? ? ? 4? ? ? 4? ? ? ? ? ? ?

? 3 y ? 1 ? 3 y ??2 3 3 3 ? fX ? ? ? ? ? ? ? ? 4? ? 3 ? 4? ? 4? ? ?

所以体积的

概率密度为

? 3 y ? ? 3 y ?? 3 3 fY ( y ) ? f X ? ? ? ? ? 4? ? ? 4? ? ? ? ? ? ?
? 3y ? 1 ? 3y ? 3 ? fX ? ? ? ? ? ? 4? ? 3 ? ? 4? ? ? ?
?2 3

3 ? 4?



? 3 ? fY ( y ) ? ? 2? ? ?0,

? 4? ? ? 4 ? 3 ? 1 , y ? 0, ? ? ? ?

? ? 3y ? ? 3 ? ? ? 其它

练习

设圆的半径X服从区间(1,2)上的均匀分布,

求圆面积的概率密度函数。

答案:

? 1 , ? ? y ? 4? ? fY ( y ) ? ? 2 ? y ?0, 其它 ?

课后练习
P48 习题二 24--26

作业
25

第二章小结
本章重点掌握: (1) 随机变量的概念(离散型和连续型); (2) 分布函数和密度函数(连续型)的定义 及计算;

(3) 二项分布、柏松分布; 正态分布、指数 分布和均匀分布; (4) 一维随机变量的函数的分布

标准正态分布的概率计算

P (a ? X ? b) ? ?(b) ? ?(a) P (X ? b) ? ?(b) P (X ? a) ? 1 ? ?( a )

x ? 0 时,?( x)的值可以查表

x ? 0 时, ?(? x) ? 1 ? ?( x)

一般正态分布的概率计算
X ~ N (? ,? )
2

?( x)为标准正态分布函数
b?? a??

?。 P(a ? X ? b) ? F (b) ? F (a)

? ?(
? 。P( X

?

) ? ?(

? b) ? F (b) ? ? (

b??

?

)

?

) a?? )

?。

P( X ? a ) ? 1 ? F ( a ) ? 1 ? ? (

?

? 定理

正态分布的线性函数仍服从正态分布
2

设X ~ N ( ? , ? ), Y ? aX ? b(a ? 0), 则 Y ~ N (a ? ? b, a ? )
2 2

? 推论
若X ~ N ( ? , ? ), 则
2

X ??

?

~ N (0, 1)

正态分布的标准化

本章作业
3,5,10,14,20,25


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