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《几何图形的初步认识》单元小结

发布时间:2014-02-07 12:48:50  

第二章几何图形的初步认识单元小结

单元内容概述

本章的主要内容是图形的初步认识,主要介绍了生活中的多姿多彩的图形(立体图形、平面图形),以及最基本的平面图形——点、线、角等,都是从现实生活中熟悉的物体入手,使对物体的形状逐步由模糊的、感性的认识,上升到抽象的数学图形的理性认识. 单元教学重点

重点:线段、射线、直线与角的有关概念和性质

单元教学难点

难点:线段的长短比较,角的大小比较及关于线段、角的有关运算

知识点梳理

1.几何体是从实物中抽象出的数学模型。识别几何体,应以直观观察为主,一般特征以观察者获得的形象感觉加以表述即可,如圆柱:特征如两个底面是相等的圆等。圆锥:特征如象锥子,底面是个圆等。棱柱:特征如底边是多边形,侧面是长方形等。但这类特征并非是要做出严密的、科学的结论,可因观察者的视角变化而变化

例1 如图1所示,是三棱锥的立体图形是( )

图1

分析:解决本题的关键是根据图形特征,区分三棱锥与圆锥、四棱锥、五棱锥,可从底面的形状入手进行判断。B中的底面是圆,故不是棱锥,C的底面是四边形,D的底面是五边形,它们都不是三棱锥,只有A是三棱锥。

解:A

2.生活中的立体图形都是由最基本几何图形组成的,其中线是由点组成的,面是由线构成的,体是由面围成的。用运动的观点看,即“点动成线、线动成面、面动成体”。 例2 将一个直角三角形ABC绕它的一边旋转,试画出旋转后所得到的几何体.

分析:由于题目中没有说明绕哪条边旋转,考虑到直角三角形有三条边,所以必须分三种情况,得到三个不同的几何体.

解:如图2分别沿三条边旋转一周,得到如图3所示的三个几何体:

注:在旋转过程中,若点在“轴”上,则旋转一周后该点的位置不变;若点不在“轴”上,则旋转一周后形成一个圆;与“轴”重合的线段旋转一周后仍然与轴重合;与“轴”垂直的线段旋转一周后得到一个平面(圆);与“轴”不垂直的线段旋转一周后得一个曲面. 3. 线段、射线、直线

(1)线段、射线、直线的定义

①线段:线段可以近似地看成是一条有两个端点的崩直了的线.线段可以量出长度. ②射线:将线段向一个方向无限延伸就形成了射线,射线有一个端点.射线无法量出长度.

③直线:将线段向两个方向无限延伸就形成了直线,直线没有端点.直线无法量出长度.

4. 线段、射线、直线的表示方法

(1)线段的表示方法有两种:一是用两个端点来表示,二是用一个小写的英文字母来表示.

(2)射线的表示方法只有一种:用端点和射线上的另一个点来表示,端点要写在前面.

(3)直线的表示方法有两种:一是用直线上的两个点来表示,二是用一个小写的英文字母来表示.

例3 如图(3),A、B、C、D为平面内每三点都不在同一直线的四点,那么过其中的两点,可画出6条直线,那么A、B、C、D、E为平面内每三点都不在同一直线的五点过其中两点可以画几条直线?若是n个点呢?

析解:对于已知四点A点与其他三点各确定一条直线,共3条直线,过B、C、D也各有三条直线,这样共有12条直线,但每条都重复一次,所以应该是

对于已知五个点,类似地可以得到:

对于n个点,就可以得到1?4?3?6条; 21?5?4?10; 21n(n?1)条。 2

5. 直线公理:过两点有且只有一条直线.简称两点确定一条直线.

例4 怎样使栽种的树在一条直线上,请说明其中的道理。

分析:利用“两点确定一条直线”解答

解:只要确定两个树坑的位置,就能确定同一行树坑所在的直线。

6. 线段的比较(1)叠合比较法;(2)度量比较法.

例5.如图五,有一张三角形纸片,你能准确的比较线段AB与线段BC的长短吗?

析解:把边BC折到AB上,可知点C在线段AB上,所以AB>BC。此题也可以用度量法。

C

A图五B

7. 线段公理:“两点之间,线段最短”.连接两点的线段的长度,叫做这两点的距离.

例6如图1,河流L两旁有两个村庄A、B,现要在河边修一个水泵站,同时向A、B两村供水,问水泵站修在什么地方才能使所铺设的管道最短?试在图中标出水泵站的位置.

分析:把两村庄A、B看作平面内的两个点,连接AB与河流L交于点P(如图1所示),根据线段的性质:两点之间,线段最短.可知在点P处修建水泵站能使铺设的管道最短. 解:连接AB交河流L于点P,则P点即为所求的水泵站的位置。

8. 线段的中点:如果线段上有一点,把线段分成相等的两条线段,这个点叫这条线段的中点.若C是线段AB的中点,则:AC=BC=1AB,或AB=2AC=2BC. 2

例7 如图4,P是线段MN上一点,A为

MP中点,B为MN中点,试探究线段PN与AB的数量关系,并说明理由.

解析:PN=2AB.

理由:因为A为MP中点,所以MA =

-111MP。同理,MB=MN.所以AB=MB-MA=MN222111MP=(MN-MP)=PN,即PN=2AB. 222

9. 角的概念:(1)角可以看成是由两条有共同端点的射线组成的图形。两条射线叫角的边,共同的端点叫角的顶点.(2)角还可以看成是一条射线绕着他的端点旋转所成的图形.

10. 角的表示方法:角用“∠”符号表示.(1)分别用两条边上的两个点和顶点来表示(顶点必须在中间).(2)在角的内部写上阿拉伯数字,然后用这个阿拉伯数字来表示角.(3)在角的内部写上小写的希腊字母,然后用这个希腊字母来表示角.(4)直接用一个大写英文字母来表示.

例8 如图1,下列表示角的方法错误的是( ) ..

A. ∠1与∠AOB表示同一个角

B. ∠AOC也可用∠O来表示

C. 图中共有三个角: ∠AOB,∠AOC,∠BOC

D. ∠β表示的是∠BOC

分析:当以一个点为顶点的角只有一个时,才能用表示这个角的顶点的大写字母表示。另外∠1、∠2、?还有∠α、∠β?等都是为了表示角时方便。这在以后的学习中你会有更深的体会。故本题选B。

解:B

11. 角的度量:会用量角器来度量角的大小.

12. 角的单位:角的单位有度、分、秒,分别用“°、′、″”表示.角的单位是60进制与时间单位是类似的.度、分、秒的换算:1°=60′,1′=60″.

例9.(1)将26.38°化为度、分、秒;(2)将35°40′30″化为度.

分析:把度化成度、分、秒的形式,一般都是把度的小数部分化成分,把分的小数部分化成秒;把度、分、秒的形式化成度,一般地是先把秒化成分,再把分化成度.

解:(1) 26.38°=26°+0.38×60′=26°+22.8′=26°+22′+0.8×60″=

26°+22′+48″=26°22′48″;

?1??1?(2)30″=??×30=0.5′,40.5′=??×40.5=0.675°, ?60??60?

所以35°40′30″=35.675°.

0o'0?1??1?说明:第(2)题也可用1′=??,1″=??直接计算. 603600????

13. 锐角、直角、钝角、平角、周角的概念和大小:(1)平角:角的两边成一条直线时,这个角叫平角.(2)周角:角的一边旋转一周,与另一边重合时,这个角叫周角.(3)0°<锐角<90°,直角=90°,90°<钝角<180°,平角=180°,周角=360°.

14. 画两个角的和,以及画两个角的差:(1)用量角器量出要画的两个角的大小,再用量角器来画.(2)三角板的每个角的度数,30°、60°、90°、45°.

例10. 计算 55°23′+16°35′.

分析:角度相加,应是度与度相加,分与分相加,秒与秒相加. 但要注意度、分、秒之间的进位是60进制,进位时,60″=1′,60′=1°.

解: 55°23′+16°35′

=(55°+16°)+(23′+35′)

=71°+58′=71°58′

说明:本题也可用竖式计算如下:

48°39′40″

+ 67°41′35″ (对齐位)

115°80′75″ (做加法)

即 116°21′15″ (由低位向高位满60进1)

例11 .计算108°28′15″-54°35′30″.

分析:角度相减,度与度相减,分与分相减,秒与秒相减.当分与分相减不够减时,应向度借,当秒与秒相减不够减时,应向分借,借位时,1° = 60′,1′= 60″.

解: 108°28′15″-54°35′30″

=107°87′75″-54°35′30″

=(107°-54°) +(87′-35′)+(75″-30″)

=53°52″45″.

说明:本题也可用竖式计算如下:

108°28′15″

- 54°35′30″ (对齐位,由低位向高位借1做60)

53°52′45″ (做加法

15. 角的平分线:从角的顶点出发将一个角分成两个相等的角的射线叫角的平分线.若BD是∠ABC的平分线,则有:∠ABD=∠CBD=1∠ABC;∠ABC=2∠ABD=2∠CBD. 2

16. 方位角

方位角就是用角度和方向表示位置的角。

例12 如图2,小明有一张地图,其中有A、B、C三地,但地图被墨迹污染了,C地的具体位置看不清楚了。但他知道C地在A地北偏东30°,在B地南偏东45°。你能帮他确定C地的位置吗?

析解:由已知C地在A地北偏东30°方向上,所以在A地位置作出北偏东30°方向的射线AP,则C地一定在AP上。但还不能确定具体位置。再由已知C地在B地南偏东45°方向上,在B地位置作出南偏东45°方向的射线BQ。射线AP与射线BQ的交点就是C地的位置(如图3)。

17.互余,互补及性质

0当两个角的和等于90°时,我们就称这两个角互为余角,简称互余;如图6,∠1+∠2=90,

则∠1与∠2互为余角.

0当两个角的和为180°时,我们就称这两个角互为补角,简称互补。如图7,∠1+∠2=180,

则∠1与∠2互为补角.

00在图6中,如果∠1+∠2=90,∠2+∠3=90,则有∠1=∠3,即同角或等角的余角相等.在图

7中,如果∠1+∠2=180,∠2+∠3=180,则有∠1=∠3,即同角或等角的补角相等.

例13 (黑龙江中考题)已知,∠β与∠α互余,且∠α=40°,则∠β的补角为 度。 析解:根据“互余两角之和等于90°,互补两角之和等于180°”可求解。因为∠β+∠α=90°,∠α=40°,所以∠β=50°,所以∠β的补角为180°-∠β=180°-50°=130°。 00单元学法指导

1.要通过直观感知、具体操作确认等实践活动,区分图形,探索出图形的特征和性质,培养空间想象力.

2.要注意多观察、分析实物,勤动手操作,勤动脑联想,同时又要注意对图形语言的理解和符号语言的运用.

3.要淡化概念识记、套用公式、模式,达到在做中学,在学中做.

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