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12章3节

发布时间:2014-06-15 11:59:46  

第三节 等比数列

基础知识梳理
1.等比数列的概念 如果一个数列从第二项起,每一项与它前 一项的 比 都等于同一个常数,则称该数列为 等比数列.该常数称为 公比 (常用 q 表示).显 然等比数列中不可能有零值项,当 q=1时,数 列是常数列.等比数列的单调性不仅与q的值 有关,还与首项的正负有关. 要证明数列{an}是等比数列,只要证明对 an+1 于任意的自然数n,都有= an =q(q 为常数) 成立.

基础知识梳理
2.等比数列的通项公式与前n项和公式 等比数列的通项公式an= a1qn-1 或an= amqn-m . 等比数列的前n项和公式

在以上两个公式中,有五个量:a1,an,q,n, Sn,只要知道其中任意三个量,就可由通项公式和 前n项和公式,构造方程(方程组)求出其他两个量.

基础知识梳理
求等比数列的前n项和要分两种情 况:当 q=1 时及当 q≠1 时,在解题时,若 公式不确定,要分类求解. 3.等比中项 如果三数a,G,b成等比数列,那么 G就叫做a与b的等比中项,即G= ± ab. .

基础知识梳理
G= ab 是a、G、b成等比数列的什么 条件?
【思考· 提示】 G= ab ?\ a、G、 b 成等比数列,如 G=0,a=0 或 b=0; a、G、b 成等比数列 ?\ G= ab, 有可能 G=- ab. ∴G= ab是 a、G、b 成等比数列的 既不充分也不必要条件.

基础知识梳理
4.等比数列的性质 在等比数列{an}中,公比为 q (1)增减性 ? ? ?a1>0 ?a1<0 ? 或? ?递增数列; ? ? ?q>1 ?0<q<1
? ?a1>0 ? ? ?0<q<1 ? ?a1<0 或? ? ?q>1

?递减数列;

q=1?常数列;q<0?摆动数列.

(2)a1qn=a2qn-1=…=arqn-r+1=…. (3)若m+n=p+q,则aman= apaq ; 若m+n=2p,则aman=
ap2

.

基础知识梳理
(4)任意连续三项an,an+1,an+2,有an a· a 2 +1 = n n+2 . (5)若{an}为等比数列,则an,a2n,a3n 也 成等比数列. (6)若{an}为等比数列,则Sn,S2n-Sn, S3n-S2n 也成等比数列. (7)若{an},{bn}是等比数列,则{kan}(k≠ an 0),{anbn},{bn} 也是等比数列.

三基能力强化
1.(2010年沈阳市高中质检)已知{an} 是正数组成的等比数列,a1= 1 ,a2a4 3 =9,则a5=________.

解析:由等比数列性质易得:a1a5= 1 a2a4? a5=9?a5=27. 3 答案:27

三基能力强化
2.(2010年惠州市调研)在等比数列{an}中, 如果a1+a2=40,a3+a4=60,那么a7+a8=____ ____.
解析:由等比数列的性质知 a1+a2,a3+ a3+a4 a4, ?, a7+a8 仍然成等比数列, 公式 q= a1+a2 60 3 =40=2. 33 4-1 ∴a7+a8=(a1+a2)q =40×( ) =135. 2 答案:135

三基能力强化
3. (2009 年高考浙江卷)设等比数列{an} 1 S4 的公比 q=2, 前 n 项和为 Sn, 则 =________. a4 a1(1-q4) 解析:

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