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九年级圆基础知识点

发布时间:2013-10-06 10:03:13  

圆知识点复习

一、圆的概念

1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;

2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(中垂线); 3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;

4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系

1、点在圆内 ? d?r ? 点C在圆内; 2、点在圆上 ? d?r ? 点B在圆上; 3、点在圆外 ? d?r ? 点A在圆外; 三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离 ? d?r ? 无交点; 2、直线与圆相切 ? d?r ? 有一个交点; 3、直线与圆相交 ? d?r ? 有两个交点;

A

四、圆与圆的位置关系

外离(图1)? 无交点 ? d?R?r; 外切(图2)? 有一个交点 ? d?R?r; 相交(图3)? 有两个交点 ? R?r?d?R?r; 内切(图4)? 有一个交点 ? d?R?r; 内含(图5)? 无交点 ? d?R?r;

图2

图1

- 1 -

五、垂径定理

垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;

(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:

①AB是直径 ②AB?CD ③CE?DE ④ 弧BC?弧BD ⑤ 弧AC?弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

图4

图5

推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在⊙O中,∵AB∥CD ∴弧AC?弧BD 六、圆心角定理

圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。 此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论, 即:①?AOB??DOE;②AB?DE;

③OC?OF;④ 弧BA?弧BD 七、圆周角定理

1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即:∵?AOB和?ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角

∴?AOB?2?ACB 2、圆周角定理的推论:

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆

B

D

B

- 2 -

周角所对的弧是等弧;

即:在⊙O中,∵?C、?D都是所对的圆周角 ∴?C??D

推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。 即:在⊙O中,∵AB是直径 或∵?C?90? ∴?C?90? ∴AB是直径

B

推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。

即:在△ABC中,∵OC?OA?OB

∴△ABC是直角三角形或?C?90? 注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 八、圆内接四边形

圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。 即:在⊙O中,∵四边形ABCD是内接四边形 ∴?C??BAD?180? ?B??D?180? ?DAE??C 九、切线的性质与判定定理

(1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线; 两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即:∵MN?OA且MN过半径OA外端 ∴MN是⊙O的切线 (2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图) 推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理: 即:①过圆心;

②过切点; ③垂直切线,

A

B

A

- 3 -

三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 十、切线长定理 切线长定理:

从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即:∵PA、PB是的两条切线

∴PA?PB PO平分?BPA 十一、圆幂定理

(1)相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。 即:在⊙O中,∵弦AB、CD相交于点P, ∴PA?PB?PC?PD

(2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

即:在⊙O中,∵直径AB?CD, ∴CE?AE?BE

(3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 即:在⊙O中,∵PA是切线,PB是割线 ∴ PA?PC?PB

2

B

D

A

2

(4)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)。

即:在⊙O中,∵PB、PE是割线 ∴PC?PB?PD?PE 十二、两圆公共弦定理

圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。

如图:O1O2垂直平分AB。

- 4 -

即:∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点 ∴O1O2垂直平分AB 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式:

(1)公切线长:Rt?

O1O2C中,AB2?CO12?

(2)外公切线长:CO2是半径之差; 内公切线长:CO2是半径之和 。 十四、圆内正多边形的计算 (1)正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形,有关计算在Rt?

BOD中进行:

OD:BD:OB?2;

(2)正四边形

同理,四边形的有关计算在Rt?

OAE中进行,OE:AE:OA? (3)正六边形

同理,六边形的有关计算在Rt?

OAB中进行,AB:OB:OA?2.

十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形:(1)弧长公式:l?

n?R

; 180

O

l

n?R21

?lR (2)扇形面积公式: S?

3602

n:圆心角 R:扇形多对应的圆的半径 l:扇形弧长 S:扇形面积

2、圆柱:

(1)圆柱侧面展开图

2

S表?S侧?2S底=2?rh?2?r

D1

C1

(2)圆柱的体积:V??rh

2

(2)圆锥侧面展开图

2

(1)S表?S侧?S底=?Rr??r

- 5 -

(2)圆锥的体积:V?

12?rh 3

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