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人教新课标九年级下----解直角三角形

发布时间:2013-10-08 08:03:38  

§28.2 解直角三角形

复习
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表:

锐角a 30° 三角函数 sin a cos a tan a
1 2 3 2
3 3

45°
2 2

60°
3 2

2 2

1 2

1

3

对于sinα与tanα,角度越大,函数值也越大; 对于cosα,角度越大,函数值越小。 (锐角范围内)

探究
在图中的Rt△ABC中, (1)根据∠A=75°,斜边AB=6,你能求出这个直角三角形的其他元素吗?

能 6

B

?A ? ?B ? 90 ? ?B ? 90 ? ?A ? 90 ? 75
? ? ?

BC sin A ? ? BC ? AB? A ? 6 ? sin 75? sin AB AC cos A ? ? AC ? AB?cos A ? 6 ? cos 75? AB

α =75° A C

?

探究
在图中的Rt△ABC中,
(2)根据AC=2.4,斜边AB=6,你能求出这个直角三角形的其他元素吗? B 6



AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? BC ? AB2 ? AC 2 ? 62 ? 2.42 ? 5.5

α A 2.4

C

AC 2.4 cos A ? ? cos A ? ? 0.4 ? ?A ? 66? AB 6

A ? B ? 90? ? B ? 90? ? A ? 90? ? 66? ? 24?

解直角三角形
解直角三角形:在直角三角形中,由 已知元素求未知元素的过程.
事实上,在直角三角形的六个元素中,
除直角外,如果再知道两个元素(其 中至少有一个是边),这个三角形就 可以确定下来,这样就可以由已知的 两个元素求出其余的三个元素.
C
a A c

b

B

在解直角三角形的过程中,一般要用到下面一些关系:
(1)三边之间的关系

a ?b ? c
2 2

2(勾股定理)

A c

(2)两锐角之间的关系 (3)边角之间的关系

∠A+∠B=90°

b

C

a

B

?A的对边 a sin A ? ? 斜边 c

?B的对边 b sin B ? ? 斜边 c

cos A ?

?A的邻边 b ? 斜边 c

?B的邻边 a cos B ? ? 斜边 c

?A的对边 a tan A ? ? ?A的邻边 b

?B的对边 b tan B ? ? ?B的邻边 a

例1 、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, ? 2 , BC ? 6 AC
解这个直角三角形。
A
解:

BC 6 ? tan A ? ? ? 3 AC 2

2
C
6

? ?A ? 60

B

?

?B ? 90? ? ?A ? 90? ? 60? ? 30?

AB ? 2 AC ? 2 2

例2、 如图,在Rt△ABC中,∠B=35°,b=20,解这个直角三角 形(精确到0.1) 解:∠A=90°-∠B=90°-35°=55° A c B 35° a b 20 C

b ? tan B ? a
b 20 20 ?a ? ? ? ? 28.6 ? tan B tan 35 0.70

b ? sin B ? c
b 20 20 ?c ? ? ? ? 35.1 ? sin B sin 35 0.57
你还有其他 方法求出c吗?

练习
1、在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三角形; a = 30 , b = 20 ;

解:根据勾股定理

B
c

C ? a 2 ? b2 ? 302 ? 202 ? 10 13

a=30

a 30 3 tan A ? ? ? ? 1.5 b 20 2

A

b=20 C

?A ? 56.3

?

?B ? 90? ? ?A ? 90? ? 56.3? ? 33.7?

2、在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三角形; ∠B=72°,c = 14.

解:

A

b sin B ? c

c=14
?

b a C

b ? c? B ? 14 ? sin 72 ? 13.3

sin
a cos B ? c

B

a ? c?cos B ? 14 ? cos 72 ? 4.34
?

?A ? 90 ? 72 ? 18
? ?

?

3 、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6, ∠BAC 的平分线 AD ? 4 3 ,解这个直角三角形。
AC 6 3 ? ? 解:cos ?CAD ? AD 4 3 2
A

??CAD ? 30?
因为AD平分∠BAC

6

4 3
B

??CAB ? 60?, ?B ? 30?
? AB ? 12, BC ? 6 3

C

D

例3: 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变 轨后,就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地 球表面上P点的正上方时,从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置? 这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400km,结果精确到 0.1km)

分析:从飞船上能最远直接

看到的地球上的点,应是视 线与地球相切时的切点.
如图,⊙O表示地球,点F是飞船的位置,

F P

Q

FQ是⊙O的切线,切点Q是从飞船观测
地球时的最远点.PQ 的长就是地面 上P、Q两点间的距离,为计算PQ 的 长需先求出∠POQ(即a)

α O·

解:在图中,FQ是⊙O的切线,△FOQ是直角三角形.
OQ
OF



COS a =

=

6400
6400+350
?



0.9481

F P α O· Q

?a ? 18.54
∴ PQ的长为

18.54? ? 6400 ? 2071 180
当飞船在P点正上方时,从飞船观测地球时的最远点距离P点约2071Km

例4: 热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°,看这栋高楼底部的俯 角为60°,热气球与高楼的水平距 离为120m,这栋高楼有多高(结果精确到0.1m) 分析:我们知道,在视线与水平线所 成的角中,视线在水平线上方的是仰 角,视线在水平线下方的是俯角,因 此,在图中,a=30°,β=60°
A 仰角 水平线

B
α β D

Rt△ABC中,a =30°,AD=120,
所以利用解直角三角形的知识求出
俯角 C

BD;类似地可以求出CD,进而求出BC.

解:如图,a = 30°,β= 60°, AD=120.

? tan a ?

BD CD , tan ? ? AD AD
B α A β D

? BD ? AD ? tan a ? 120 ? tan 30?

3 ? 120 ? ? 40 3 3
CD ? AD ? tan ? ? 120 ? tan 60 ?

? 120 ? 3 ? 120 3
? BC ? BD ? CD ? 40 3 ? 120 3

? 160 3 ? 277 .1
答:这栋楼高约为277.1m

C

练习
1. 建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC40m的D 处观察旗杆顶部A的仰角54°,观察底部B的 仰角为45°,求旗杆的高度(精确到0.1m)
解:在等腰三角形BCD中∠ACD=90° BC=DC=40m 在Rt△ACD中 45° 54° 40m A B

AC ∵ tan ?ADC ? DC
∴AC=DC×tan∠ADC
?

D

C

? tan 54 ? 40 ? 1.38 ? 40 ? 55.2
所以AB=AC-BC=55.2-40=15.2 答:棋杆的高度为15.2m.

2、 如图,沿AC方向开山修路.为了加快施工进度,要在小山的另一边 同时施工,从AC上的一点B取∠ABD = 140°,BD = 520m,∠D=50°, 那么开挖点E离D多远正好能使A,C,E成一直线(精确

到0.1m)

解:要使A、C、E在同一直线上, 则 ∠ABD是 △BDE 的一个外角 ∴∠BED=∠ABD-∠D=90°
在Rt△BED中

A

B 140°

C

E

DE cos ?BDE ? BD

50° D

? DE ? cos ?BDE?BD
? cos50 ? 520 ? 0.64 ? 520 ? 332.8
?

答:开挖点E离点D 332.8m正好能使A,C,E成一直线.

例5、 如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向, 距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后, 到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处,这时,海 轮所在的B处距离灯塔P有多远? (精确到0.01海里)

65° P

A C

34°

B

解:如图 ,在Rt△APC中, PC=PA· cos(90°-65°) =80×cos25° ≈80×0.91 =72.505 在Rt△BPC中,∠B=34° 34° P C 65° A

PC ? sin B ? PB

PC 72.505 ? PB ? ? ? 129.7 ? sin B sin 34

B

当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时,它距离灯塔P大约129.7海里.

练习:海中有一个小岛A,它的周围8海里范围内有暗 礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B点测得小岛A在 北偏东60°方向上,航行12海里到达D点,这时测得小 岛A在北偏东30°方向上,如果渔船不改变航线继续向 东航行,有没有触礁的危险?

A
30° 60°

B

12

D

F

解:由点A作BD的垂线
交BD的延长线于点F,垂足为F, ∠AFD=90° 由题意图示可知∠DAF=30°
设DF= x , AD=2x 则在Rt△ADF中,根据勾股定理
AF ? AD ? DF ?
2 2

A

60°
B D F 30°

? 2x ?

2

? x 2 ? 3x

在Rt△ABF中,

3x AF ? tan 30 ? tan ?ABF ? BF 12 ? x
解得x=6

AF ? 6 x ? 6 3 ? 10.4

10.4 > 8没有触礁危险

修路、挖河、开渠和筑坝时,设计图纸上都要 注明斜坡的倾斜程度.

坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比 h 叫做坡面坡度(或坡比). 记作i , 即 i = . l 坡度通常写成1∶m的形式,如 i=1∶6.坡面与 水平面的夹角叫做坡角,记作a,有
i= h = tan a. 显然,坡度越大,坡角a就越大,坡面就越陡.
l

铅垂 高度

h

i
坡角

i 坡度或坡比

?

l l水平长度

i ? h:l

例6. 如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD(图中i=1:3是指坡面的铅直 高度DE与水平宽度CE的比),根据图中数据求:
(1)坡角a和β; (2)斜坡AB的长(精确到0.1m) 解:(1)在Rt△AFB中,∠AFB=90° A D i=1:3 β F E C

AF tan ? ? ? i ? 11.5 : BF

i=1:1.5 B

6m

α

? ? 33.7?
在Rt△CDE中,∠CED=90°
DE tan ? ? ? i ? 1: 3 CE

? ? 18.4?

化整为零,积零为整,化曲为直,以直代曲的解决问题的策略
解直角三角形有广泛的应用,解决问题时,要根据实际情况灵活运用 相关知识,例如,当我们要测量如图所示大坝的高度h时,只要测出仰 角a和大坝的坡面长度l,就能算出h=lsina,但是,当我们要测量如图所 示的山高h时,问题就不那么简单了,这是由于不能很方

便地得到仰角a 和山坡长度l l h α

l

h

α

与测坝高相比,测山高的困难在于:坝坡是“直”的,而山坡是“曲” 的,怎样解决这样的问题呢?

我们设法“化曲为直,以直代曲”. 我们可以把山坡“化 整为零”地划分为一些小段,图表示其中一部分小段,划分小 段时,注意使每一小段上的山坡近似是“直”的,可以量出这 段坡长l1,测出相应的仰角a1,这样就可以算出这段山坡的高度 h1=l1sina1. l α h

在每小段上,我们都构造出直角三角形,利用上面的方法分别算 出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”,把 h1,h2,…,hn相加,于是得到山高h. 以上解决问题中所用的“化整为零,积零为整”“化曲为直,以直代曲” 的做法,就是高等数学中微积分的基本思想,它在数学中有重要地位,在 今后的学习中,你会更多地了解这方面的内容.

利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角 三角形的问题); (2)根据条件的特点,适当选用锐角三角形函数等去解直角三角 形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案.


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