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专题八 第三讲

发布时间:2013-10-09 11:32:48  

◆高考二轮专题复习与测试?数学(文科)◆

第一部分 知识复习专题

专题八 思想方法专题

第三讲 分类讨论思想

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分类讨论解决的主要问题 分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割) 成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原 问题的思想策略.对问题实行分类与整合,分类标准等于增加 一个已知条件,实现了有效增设,将大问题(或综合性问题)分

解为小问题(或基础性问题),优化解题思路,降低问题难度.

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分类讨论的多种类型 1.由数学概念引起的分类讨论:有的概念本身是分类的, 如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.

2.由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论:有的数学 定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一致, 如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等. 3.由数学运算要求引起的分类讨论:如除法运算中除数不 为零,偶次方根为非负,对数真数与底数的要求,指数运算中 底数的要求,不等式两边同乘以一个正数、负数,三角函数的 定义域等.
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4.由图形的不确定性引起的分类讨论:有的图形类型、 位置需要分类,如角的终边所在的象限;点、线、面的位置关

系等.
5.由参数的变化引起的分类讨论:某些含有参数的问题, 如含参数的方程、不等式,由于参数的取值不同会导致所得结 果不同,或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法. 6.由实际意义引起的讨论:此类问题在应用题中,特别

是在解决排列、组合中的计数问题时常用.

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1.设常数a>0,椭圆x2-a2+a2y2=0的长轴长是短轴长 的2倍,则a等于( 1 A.2或 2 ) B.2 1 C. 2 2 D. 2或 2

x2 2 解析:方程化为 2+y =1,若焦点在 x 轴上,则有 a=2; a 1 若焦点在 y 轴上,则有 2a=1,a= . 2 答案:A

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2.已知正三角形ABC的边长为3,到这个三角形的三个顶 点距离都等于1的平面的个数是( A.2 B.3 C.5 ) D.8

解析:对三个顶点和平面的位置分类:在平面同一侧有2 个,在平面的两则有6个. ∴共有2+6=8个.

答案:D

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3.已知集

合A={1,3, 则m=( A.0或 3 C.1或 3 )

m },B={1,m},A∪B=A,

B.0或3 D.1或3

解析: 因为 A∪B=A, 所以 B?A, 所以 m=3 或 m= m. 若 m=3, A={1,3, 3}, 则 B={1,3}满足 A∪B=A.若 m= m, 解得 m=0 或 m=1.若 m=0,则 A={1,3,0},B={1,0}满足 A∪B=A.若 m=1,A={1,3,1},B={1,1}显然不成立.综上 m=0 或 m=3,选 B. 答案:B

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4.(2012年天津卷)已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B ={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B={x|-1<x<n},则m= ________,n=________. 解析:∵A={x∈R||x+2|<3}={x|-5<x<1},又∵A∩B

={x|-1<x<n},画数轴可知m=-1,n=1.
答案: -1 1

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突破点1

根据数学的概念分类讨论

设0<x<1,a>0且a≠1,比较|loga(1-x)|与 |loga(1+x)|的大小. 思路点拨:先利用0<x<1确定1-x与1+x的范围,再利 用绝对值及对数函数的概念分类讨论两式差与0的大小关系,

从而比较出大小.

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解析:∵0<x<1, ∴0<1-x<1,1+x>1,0<1-x2<1.

①当0<a<1时,loga(1-x)>0,loga(1+x)<0,
所以|loga(1-x)|-|loga(1+x)| =loga(1-x)-[-loga(1+x)]=loga(1-x2)>0; ②当a>1时,loga(1-x)<0,loga(1+x)>0. 所以|loga(1-x)|-|loga(1+x)| =-loga(1-x)-loga(1+x)=-loga(1-x2)>0. 由①②可知,|loga(1-x)|>|loga(1+x)|. 主干考点梳理 高考热点突破 首页

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规律方法:本题是由对数函数的概念内涵引发的分类讨 论,我们称为概念分类型.由概念内涵分类的还有很多,如绝 对值|a|的定义分a>0,a=0,a<0三种情况;直线的斜率分 倾斜角θ≠90°,斜率k存在,倾斜角θ=90°,斜率不存在;

指数、对数函数:y=ax(a>0且a≠1)与y=logax(a>0且a≠1),
可分为a>1,0<a<1两种类型;直线的截距式分直线过原点 x y 时为y=kx,不过原点时为 等.? ? 1 a b

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跟踪训练

1 ?x , ? 1.若函数f(x)= ?? ? ?1?x ???3?? , ? 解集为________.

x<0, x≥0,

1 则不等式|f(x)|≥ 的 3

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解析:本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解 法. 属于基础知识、基本运算的考查.

?x<0, 1 ? (1)由|f(x)|≥ ???1? 1 ?-3≤x<0. ? ? 3 ??x?≥3 ?? ? ?x≥0, ?x≥0

, ? 1 ? (2)由|f(x)|≥ ????1?x? 1 ???1?x 1 ?0≤x≤1. ? ? ?? ? ? 3 ≥ ??3? ≥3 ???3? ? 3 ?? ? ??? ? ?
1 ∴不等式|f(x)|≥ 的解集为{x|-3≤x≤1}, 3 ∴应填[-3,1]. 答案:[-3,1].
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突破点2 根据运算的要求或性质、定理、公式的条 件分类讨论

在等差数列{an}中,a1=1,满足a2n=2an,n= 1,2,…

(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=anpan(p>0),求数列{bn}的前n项和Tn. 思路点拨:(1)由a2n=2an,n=1,2,…求出公差d,即得 {an}的通项公式. (2)先求{bn}的通项公式,然后用错位相减可求Tn,但由于

公比q不确定,故用等比数列前n项和公式求Tn时要分类讨论.
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解析:(1)设等差数列{an}的公差为d, 由a2n=2an得a2=2a1=2,所以d=a2-a1=1.

又a2n=an+nd=an+n=2an,
所以,an=n.

(2)由bn=anpan得bn=npn,
所以Tn=p+2p2+3p3+…+(n-1)pn-1+npn.①
n(n+1) 当p=1时,Tn= . 2 当p≠1时,pTn=p2+2p3+…+(n-1)pn+npn+1,②

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①-②得,(1-p)Tn=p+p2+p3+?+pn-npn p(1-pn) + = -npn 1, 1-p p(1-pn) npn 1 ∴Tn= . 2- (1-p) 1-p


+1

n(n+1) ? 2 ,p=1, ? 综上所述,Tn=? + p(1-pn) npn 1 ? (1-p)2 - 1-p ,p≠1. ?

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规律方法:(1)一次函数、二次函数、指数函数、对数函 数的单调性,均值定理,等比数列的求和公式等性质、定理

与公式在不同的条件下有不同的结论,或者在一定的限制条
件下才成立,这时要小心,应根据题目条件确定是否进行分 类讨论.

(2)分类讨论的许多问题有些是由运算的需要引发的.比如
除法运算中分母能否为零的讨论;解方程及不等式两边同乘 以一个数是否为零,是正数,还是负数的讨论;二次方程运

算中对两根大小的讨论;求函数单调性时,导数正负的讨论;
排序问题,差值比较中的差的正负的讨论;有关去绝对值或 根号问题中等价变形引发的讨论等. 主干考点梳理 高考热点突破 首页

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跟踪训练 2.若函数f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,则实数a

的取值范围是________.
解析:设函数y=ax(a>0且a≠1)和函数y=x+a,则函数f(x) =ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,就是函数y=ax(a>0且a≠1) 与函数y=x+a有两个交点,由图象可知当0<a<1时两函数

只 有一个交点,不符合;当a>1时,因为函数y=ax(a>1)的图象

过点(0,1),而直线y=x+a所过的点一定在点(0,1)的上方,所以
一定有两个交点.所以实数a的取值范围是a>1. 答案:a>1 主干考点梳理 高考热点突破 首页

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突破点3 根据字母的取值情况分类讨论

已知函数f(x)=x2eax,其中a≤0,e为自然对数的

底数.
(1)讨论函数f(x)的单调性; (2)求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值. 思路点拨:(1)先对f(x)求导,再由f′(x)在不同区间上的符 号可讨论f(x)的单调性.

(2)f(x)在[0,1]上的最大值在[0,1]上的端点处或极值点处取
得,需讨论f′(x)=0的零点是否是在该区间上. 主干考点梳理 高考热点突破 首页

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解析:(1)f′(x)=x(ax+2)eax. ①当a=0时,令f′(x)=0,得x=0.

若x>0,则f′(x)>0,从而f(x)在(0,+∞)上单调递增;
若x<0,则f′(x)<0,从而f(x)在(-∞,0)上单调递减. ②当a<0时,令f′(x)=0,得x(ax+2)=0, 2 故x=0或x=- . a 若x<0,则f′(x)<0,从而f(x)在(-∞,0)上单调递 减; ? 2? 2 ? 若0<x<- ,则f′(x)>0,从而f(x)在 ?0,-a? 上单调 ? a ? ? 递增; 主干考点梳理 高考热点突破 首页

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? 2 ? 2 ? 若x>- ,则f′(x)<0,从而f(x)在 ?-a,+∞? 上单调 ? a ? ?

递减. (2)①当a=0时,f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(1)=1. ②当-2<a<0时, f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(1)=ea.
? 2? 4 ③当a≤-2时,f(x)在区间[0,1]上的最大值是f?-a?=a2e2. ? ?

综上所述,当a=0时,f(x)max=1;当-2<a<0时, 4 a f(x)max=e ;当a≤-2时,f(x)max= 2 2. ae
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规律方法:题目中含有参数的问题(含参型),主要包括: 含有参数的不等式的求解;含有参数的方程的求解;对于解析

式系数是参数的函数,求最值与单调性问题;二元二次方程表
示曲线类型的判定等.求解这类问题的一般思路是:结合参数 的意义及对结果的影响而进行分类讨论.讨论时,应全面分析 参数变化引起结论的变化情况,参数有几何意义时还要考虑适 当地运用数形结合思想.

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跟踪训练

3.数列{an}的通项an=n cos S n.

2

2 nπ

3

-sin

2 nπ

3

,其前n项和为

(1)求Sn; S3n (2)bn= n,求数列{bn}的前n项和Tn. n· 4 2nπ 2nπ 2nπ 解析: (1)由于 cos -sin =cos , 3 3 3
故 S3k=(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+?+(a3k-2)+a3k-1+a3k

? 12+22 ? 42+52 2 =? - +32?+(- 2 +6 )+?+ ? ? 2 ? ?

(3k-2)2+(3k-1)2 [- +(3k)2] 2
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18k-5 k(9k+4) 13 31 = + +?+ = , 2 2 2 2 k(4-9k) S3k-1=S3k-a3k= , 2 S3k-2=S3k-1-a3k-1 k(4-9k) (3k-1)2 1 3k-2 1 = + = -k=- - , 2 2 2 3 6 n 1 ?-3-6, ? n=3k-2, (k∈N*),

?(n+1)(1-3n) ,n=3k-1, 故 Sn=? 6 ?n(3n+4) ? 6 , n=3k. ?
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S3n 9n+4 (2)bn= n= n , n· 4 2· 4 9n+4? 1?13 22 ? Tn= ? + 2 +?+ n ?, 2? 4 4 4 ? ? 9n+4? 22 1? 4Tn= ?13+ 4 +?+ n-1 ?, ? 2? 4 ? ? 9n+4 1 9 9 两式相减得 3Tn= 13+ +?+ n-1- n 2 4 4 4 9 9 ? 4-4n 9n+4? 1? 1 ?=8- 2n-3- 9n 1, - n = 13+ + 1 4 ? 2? 2 22n ? 1-4 ? 8 1 3n 故 Tn= - 2n-3- 2n+1. 3 3· 2 2
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突破点4 根据图形位置或形状变动分类讨论

长方形ABCD中,|AB|=4,|BC|=8,在BC边上 取一点P,使|BP|=t,线段AP的垂直平分线与长方形的边的交 点为Q,R时,用t表示|QR|. 思路点拨:建立平面直角坐标系,设法求出点Q,R的坐 标,利用两点间的距离公式建模.

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解析:如图所示,分别以BC,AB所在的边为x,y轴建立 平面直角坐标系.

4 t ∵kAP=- ,∴kQR= . t 4
?t ? ? 又AP的中点的坐标为?2,2?, ? ? ?

t? t? ? ∴QR所在的直线方程为y-2= ?x-2?.① ? 4? ? 由于t的取值范围的不同会导致Q,R落在长方形ABCD的 不同边上,故需分类讨论: 当|PD|=|AD|=8时,易知|PC|= |PD|2-|DC|2=4 3.

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∴当0≤t≤8-4 3 时,Q,R两点分别在AB,CD上,对 方程①,分别令x=0和x=8,
? ? t2? t2? 可得Q?0,2- 8 ?,R?8,2+2t- 8 ?, ? ? ? ? ? ? ? ?

这时|QR|=2 16+t2. 当8-4 3 <t≤4时,Q,R两点分别在AB,AD上,对方 程①,分别令x=0和y=4,
? ?8 t ? t2? ? ? ? 可得Q?0,2- 8 ?,R? t +2,4?, ? ? ? ? ?

这时|QR|=

?8 t ?2 ? t2?2 ? + ? +?2+ ? , ? t 2? ? 8? ? ? ? ?

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当4<t≤8时,Q,R两点分别在BC,AD上, 对方程①分别令y=0和y=4,
?t 8 ? ?8 t ? ? ? ? 可得Q?2- t

,0?,R? t +2,4?, ? ? ? ? ?

4 t2+16 这时|QR|= . t 综上所述:当0≤t≤8-4 3时,|QR|=2 16+t2; 当8-4 3<t≤4时,|QR|= 4 t2+16 当4<t≤8时,|QR|= . t
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?8 t ?2 ? t2?2 ? + ? +?2+ ? ; ? t 2? ? 8? ? ? ? ?

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规律方法:一般由图形的位置或形状变动引发的讨论包 括:二次函数对称轴位置的变动;函数问题中区间的变动;函 数图象形状的变动;直线由斜率引起的位置变动;圆锥曲线由 焦点引起的位置变动或由离心率引起的形状变动;立体几何中 点、线、面的位置变动等.

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跟踪训练

4.四面体的四个顶点到平面M的距离之比为1∶1∶1∶3,
求满足条件的平面M的个数. 解析:①4 个顶点都在 M 同侧,则有:C1· 4 1=4 个平面;

②距离比为 3 的顶点与其他 3 个顶点不同侧, 则有: 1· C4 1 =4 个平面; ③距离比为 3 的顶点与其他 3 个顶点中的 1 个同侧,则 有:C1· 1· 4 C3 1=12 个平面; ④距离比为 3 的顶点与其他 3 个顶点中的 2 个同侧,则 有:C1· 2· 4 C3 1=12 个平面, ∴共有 4+4+12+12=32 个平面.
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1.分类讨论的思想方法的步骤:(1)确定标准;(2)合理 分类;(3)逐类讨论;(4)归纳总结. 2.简化分类讨论的策略:(1)消去参数;(2)整体换元; (3)变更主元;(4)考虑反面;(5)整体变形;(6)数形结合;(7)缩

小范围等.
3.进行分类讨论时,我们要遵循的原则是:分类的对象 是确定的,标准是统一的,不遗漏、不重复,科学地划分, 分清主次,不越级讨论.其中最重要的一条是“不漏不 重”. 主干考点梳理 高考热点突破 首页

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4.解题时把好“四关”. (1)要深刻理解基本知识与基本原理,把好“基础关”; (2)要找准划分标准,把好“分类关”; (3)要保证条理分明,层次清晰,把好“逻辑关”; (4)要注意对照题中的限制条件或隐含信息,合理取舍, 把好“检验关”.

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