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新人教版九上课件24.1.3弧、弦、圆心角

发布时间:2013-10-15 08:03:46  

船能过拱桥吗
解:如图,用 AB 表示桥拱, AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB 的中点,CD就是拱高. 由题设得 1

AB ? 7.2, CD ? 2.4, HN ? MN ? 1.5. 2 1 1 AD ? AB ? ? 7.2 ? 3.6, 2 2 OD ? OC ? DC ? R ? 2.4.

在Rt△OAD中,由勾股定理,得

OA2 ? AD2 ? OD 2 , 即R 2 ? 3.62 ? ( R ? 2.4) 2 .
解得 R≈3.9(m). 在Rt△ONH中,由勾股定理,得

OH ? ON 2 ? HN 2 , 即OH ? 3.9 2 ? 1.52 ? 3.6. ?DH ? 3.6 ?1.5 ? 2.1 ? 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥.

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一、思考
圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里? 圆是中心对称图形, 它的对称中心是圆心.
·

1.有关概念:顶点在圆心的角,叫圆心角, 如 ?AOB ,圆心角∠AOB所对

的弧为AB, 所对的弦为AB.
O

B

A

1.判别下列各图中的角是不是圆心角,并 说明理由.






③ ④

弦心距
圆心到弦的距离(即圆心到弦的垂线段的距离).




A B C



A

C

B

三、探究
如图,将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’ 的位置,你能发现哪些等量关系?为什么? A′ A′
B B′ B′
B

O

·

A

O

·

A

根据旋转的性质,将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时,显然 ∠AOB=∠A′OB′,射线OA与OA′重合,OB与OB′重合.而同圆的半径相等, OA=OA′,OB=OB′,从而点A与A′重合,B与B′重合.
因此,弧AB与弧A1B1 重合,AB与A′B′重合.

⌒ AB

⌒ = A1B1 AB ? A ' B '.

定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所 对弧相等,所对的弦也相等.

拓展与升华
在同圆或等圆中,如果轮换下面三组条件: ①两个圆心角,②两条弧,③两条弦, 你能得出什么结论?与同伴交流你的想法和理由.
A A
O′

B



O

B



O



A′

B′

A′

B′

如由条件: ②AB=A′B′





可推出

①∠AOB=∠A′O′B′ ③AB=A′B′

推论
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两 条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相 等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
A A
O′

B



O

B



O



A′

B′ 可推出

A′

B′

如由条件: ③AB=A′B′

①∠AOB=∠A′O′B′ ②AB=A′B′





弧、弦、圆心角定理:
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧 或两条弦或两条弦心距中有一组量相等,那么它 们所对应的其余的各组量都分别相等.

下面的说法正确吗?为什么? 如图,因为 ?AOB ? ?A?OB? 根据圆心角、弧、弦的 关系定理可知:



O

AB ? A?B?
不正确,因为不在同圆或等圆中.





A?
A

B?
B

五、例题
⌒ ⌒

例1 如图在⊙O中,AB=AC ,∠ACB=60°,

⌒ ⌒

求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.
证明:∵AB=AC



AB=AC, △AB

C 等腰三角形.

又∠ACB=60°, ∴ △ABC是等边三角形,AB=BC=CA. ∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC.

练习:1、课本P831、2两题。 2、如图:已知OA,OB是⊙O中的两条半 径,且OA⊥OB,D是弧AB上的一点,AD的延长 线交OB延长线于点C.已知∠C=25°,求圆心 角∠DOB的度数.
A D

∠DOB=40°








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