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中考基础复习 第26讲 矩形、菱形、正方形(33ppt)

发布时间:2013-10-17 08:03:47  

第26讲┃矩形、菱形、正方形

第26讲┃ 考点聚焦

考点聚焦
考点1
矩形 定义

矩形
直角 有一个角是________的平行四边形叫做矩形
对称性 矩形是一个轴对称图形,它有两条对称 轴 矩形是中心对称图形,它的对称中心就 是对角线的交点 直 (1)矩形的四个角都是______角; (2)矩形的对角线互相平分并且______ 相等 在直角三角形中,斜边上的中线等于 斜边 ________的一半

矩形的 性质

定理 推论

第26讲┃ 考点聚焦

(1)定义法 相等 矩形的判定 (2)对角线______的平行四边形是矩形 (3)有三个角是直角的四边形是矩形 (1)矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的 拓展 的等腰三角形; (2)矩形的面积等于两邻边的积

第26讲┃ 考点聚焦 考点2 菱形 邻边 有一组________相等的平行四边形是菱形

菱形 定义

对称性 菱形的 性质

定理

菱形是轴对称图形,两条对角线所在 的直线是它的对称轴 菱形是中心对称图形,它的对称中心 是两条对角线的交点 (1)菱形的四条边________; 相等 垂直 (2)菱形的两条对角线互相________平 一组对角 分,并且每条对角线平分________

第26讲┃ 考点聚焦

(1)定义法 (2)四条边________的四边形是菱形 相等 垂直 (3)对角线互相________的平行四边形是菱形 (1)由于菱形是平行四边形,所以菱形的面积 =底×高 菱形面 (2)因为菱形的对角线互相垂直平分,所以其 积 对角线将菱形分成4个全等三角形,故菱形的 一半 面积等于两对角线乘积的________. 菱形的 判定

第26讲┃ 考点聚焦 考点3 正方形

正方形的 有一组邻边相等, 且有一个角是直角的平行四边 定义 形叫做正方形 (1)正方形对边________ 平行 相等 (2)正方形四边________ (3)正方形四个角都是________ 直角 正方形的 (4)正方形对角线相等, 互相________, 垂直平分 每条对角 性质 线平分一组对角 (5)正方形既是轴对称图形也是中心对称图形, 对 称轴有四条,对称中心是对角线的交点 正方形的 (1)有一组邻边相等的矩形是正方形 判定 (2)有一个角是直角的菱形是正方形

第26讲┃ 考点聚焦
判定正方形的思路图:

图 26-1

第26讲┃ 考点聚焦 考点4 中点四边形

顺次连结四边形各边中点所得的四边形, 我们称之为中点 定义 四边形 顺次连结四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形 菱形 顺次连结矩形各边中点所得到的四边形是________ 顺次连结菱形各边中点所得到的四边形是________ 矩形 正方形 顺次连结正方形各边中点所得到的四边形是________ 常见 菱形 顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是________ 结论 顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形 菱形 是________ 顺次连结对角线互相垂直

的四边形所得到的四边形是 矩形 ________

第26讲┃ 归类示例

归类示例
? 类型之一 矩形的性质及判定的应用

命题角度: 1. 矩形的性质; 2. 矩形的判定.

第26讲┃ 归类示例

[2013· 铜山] 如图 26-2,已知 E 是?ABCD 中 BC 边 的中点,连结 AE 并延长 AE 交 DC 的延长线于点 F. (1)求证:△ABE≌△FCE; (2)连结 AC、 BF, 若∠AEC=2∠ABC, 求证: 四边形 ABFC 为矩形.

图 26-2

第26讲┃ 归类示例
[解析] (1)利用 AAS 可得出三角形 ABE 与三角形 FCE 全等; (2)利用对角线相等的平行四边形为矩形可得出四边形 ABFC 为矩形.

证明:(1)∵E 是 BC 中点, ∴BE=CE. ∵四边形 ABCD 是平行四边形. ∴ AB∥DF,∴∠BAE=∠CFE . 在△ABE 与△FCE 中, ?∠BAE=∠CFE, ? ?∠AEB=∠FEC, ∴△ABE≌△FCE(AAS). ?BE=CE, ?

第26讲┃ 归类示例

(2)∵∠AEC=∠ABE+∠BAE, 又∵∠AEC=2∠ABC, ∴∠ABE=∠BAE, ∴AE=BE.由(1)△ABE≌△FCE,得AE=EF. ∴CE=FE, ∴AE=EF=BE=CE,则 AF=BC, 故四边形ABFC为矩形(对角线相等且平分的四边形是矩形).

第26讲┃ 归类示例

矩形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有 性质,同时也具有特殊的性质;同时,判定矩形的方法也 是多样的,可以先判定这个四边形是平行四边形,然后判 断是矩形.

第26讲┃ 归类示例

?

类型之二

菱形的性质及判定的应用

命题角度: 1. 菱形的性质; 2. 菱形的判定.

第26讲┃ 归类示例

[2012· 重庆] 已知:如图 26-3,在菱形 ABCD 中, F 为边 BC 的中点,DF 与对角线 AC 交于点 M,过 M 作 ME⊥CD 于点 E,∠1=∠2. (1)若 CE=1,求 BC 的长; (2)求证:AM=DF+ME.

图 26-3

第26讲┃ 归类示例

[解析] (1)根据菱形的对边平行可得 AB∥CD,可得∠1= ∠ACD,所以∠ACD=∠2,得 CM=DM,根据等腰三角形“三 线合一”的性质可得 CE=DE;(2)证明△CEM 和△CFM 全等, 得 ME=MF,延长 AB、DF 交于点 N,然后证明∠1=∠N,得 AM=NM, 再利用“角角边”证明△CDF 和△BNF 全等, NF 得 =DF,最后结合图形 NM=NF+MF 即可得证.

第26讲┃ 归类示例

解:(1)∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AB∥CD,BC=CD. ∴∠1=∠ACD, 又∵∠1=∠2, ∴∠ACD=∠2, ∴MC=MD. 又∵ME⊥CD, 1 ∴CE=ED= CD, 2 ∴BC=CD=2CE=2.

第26讲┃ 归类示例
(2)证明: 延长DF、AB交于点N, ∵四边形ABCD是菱形,∴∠FCM=∠ECM. 1 又∵F为边BC的中点,∴CF=BF= BC. 2 1 由(1) 可知CE=ED= CD, 2 ∴CF=CE.∴△CMF≌△CME,∴MF=ME. ∵AB∥CD,∴∠2=∠N,∠NBF=∠DCF. 又∵BF=CF,∴△CDF≌△BNF.∴NF=DF. 又∵∠1=∠2,∴∠N=∠1. ∴AM=MN=NF+MF=DF+ME.

第26讲┃ 归类示例

在证明一个四边

形是菱形时,要注意判别条件是平行四 边形还是任意四边形.若是任意四边形,则需证四条边都相 等;若是平行四边形,则需利用对角线互相垂直或一组邻边 相等来证明.

第26讲┃ 归类示例 ? 类型之三 正方形的性质及判定的应用 命题角度: 1. 正方形的性质的应用; 2. 正方形的判定.
[2012· 黄冈] 如图 26-4,在正方形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,E、F 分别在 OD、OC 上,且 DE=CF, 连结 DF、AE,AE 的延长线交 DF 于点 M.求证:AM⊥DF.

图 26-4

第26讲┃ 归类示例

[解析] 根据 DE=CF,可得出 OE=OF,继而证明 △AOE≌△DOF,得出∠OAE=∠ODF,然后利用等角代 换可得出∠DME=90°,即可得出结论. 证明:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴OD=OC.又∵DE=CF, ∴OD-DE=OC-CF,即 OF=OE, ?AO=DO, ? 在 Rt△AOE 和 Rt△DOF 中,?∠AOD=∠DOF, ?OE=OF, ? ∴△AOE≌△DOF,∴∠OAE=∠ODF. ∵∠OAE+∠AEO=90°,∠AEO=∠DEM, ∴∠ODF+∠DEM=90°,即可得 AM⊥DF.

第26讲┃ 归类示例

正方形是特殊的平行四边形,还是特殊的矩形,特殊的菱 形,因此正方形具有这些图形的所有性质;正方形的判定方法 有两条道路:(1)先判定四边形是矩形,再判定这个矩形是菱 形;(2)先判定四边形是菱形,再判定这个菱形是矩形.

第26讲┃ 归类示例

? 类型之四

特殊平行四边形的综合应用

命题角度: 1. 矩形、菱形、正方形的性质的综合应用; 2. 矩形、菱形、正方形的关系转化.

第26讲┃ 归类示例

[2012· 娄底] 如图 26-5,在矩形 ABCD 中,M、N 分 别是 AD、BC 的中点,P、Q 分别是 BM、DN 的中点. (1)求证:△MBA≌△NDC; (2)四边形 MPNQ 是什么样的特殊四边形?请说明理由.

图 26-5

第26讲┃ 归类示例
解:(1)证明:在矩形 ABCD 中, AB=CD,AD=BC,∠A=∠C=90°. ∵M、N 分别是 AD、BC 的中点, ∴AM=CN. ∴△MBA≌△NDC. (2)四边形 MPNQ 是菱形. 理由:∵△MBA≌△NDC,∴BM=DN. 连结 MN,则 MN∥AB∥CD, 得∠BNM=∠DMN=90°. ∵P、Q 分别是 BM、DN 的中点, 1 1 ∴PN=MP= BM,MQ=QN= DN, 2 2 ∴PN=MP= MQ=QN. ∴四边形 MPNQ 是菱形.

第26讲┃ 归类示例

? 类型之五

中点四边形

命题角度: 1. 对角线相等的四边形的中点四边形; 2. 对角线互相垂直的四边形的中点四边形.

第26讲┃ 归类示例

[2011· 邵阳] 在四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分 别是 AB、BC、CD、DA 的中点,顺次连接 EF、FG、GH、 HE. (1)请判断四边形 EFGH 的形状,并给予证明; (2)试添加一个条件,使四边形 EFGH 是菱形(写出你所 添加的条件,不要求证明).

图 26-6

第26讲┃ 归类示例

[解析] 连接四边形对角线,利用三角形中

位线定理证 明.

解:(1)四边形 EFGH 是平行四边形.证明如下:

连接 AC、BD,由 E、F、G、H 分别是所在边的中点,知 1 1 EF∥AC,且 EF= AC,GH∥AC,且 GH= AC, 2 2 ∴GH∥EF,且 GH=EF,故四边形 EFGH 是平行四边形. (2)AC=BD.

第26讲┃ 归类示例

依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与原 四边形对角线的关系(相等、垂直、相等且垂直)有关.

第26讲┃ 回归教材

回归教材
全等三角形在正方形问题中的重要作用

教材母题 北师大版八上P117数学理解第3题 如图26-7,在正方形ABCD中,E,F,G,H分别在它 的四条边上,且AE=BF=CG=DH.四边形EFGH是什么特殊 四边形,你是如何判断的?

图26-7

第26讲┃ 回归教材
解:四边形EFGH是正方形. 理由为:∵四边形ABCD是正方形, ∴DA=AB=BC=CD, ∠A=∠B. ∵AE=BF=HD,∴BE=AH, ∴△HAE≌△EBF,∴HE=EF, ∠HEA=∠EFB. ∵∠EFB+∠FEB=90°, ∴∠HEA+∠FEB=90°, ∴∠HEF=90°. 同理可得HE=EF=FG=GH, ∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°, ∴四边形EFGH是正方形. [点析] 正方形含有很多相等的边和角,这些是证明全等 的有力工具.

第26讲┃ 回归教材

中考变式
如图26-8,四边形ABCD是边长为2的正方形,点G是BC 延长线上一点,连接AG,点E、F分别在AG上,连接BE、 DF,∠1=∠2,∠3=∠4. (1)证明:△ABE≌△DAF; (2)若∠AGB=30°,求EF的长.

图26-8

第26讲┃ 回归教材
解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AB=AD.在△ABE 和△DAF 中, ?∠2=∠1, ? ?AB=DA, ∴△ABE≌△DAF. ?∠4=∠3, ? (2)∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠1+∠4=90°. ∵∠3=∠4,∴∠1+∠3=90°,∴∠AFD=90°. 在正方形 ABCD 中, AD∥BC, ∴∠1=∠AGB=30°. 在 Rt△ADF 中,∠AFD=90°,AD=2, ∴AF= 3,DF =1.由(1)得△ABE≌△DAF, ∴AE=DF=1,∴EF=AF-AE= 3-1 .


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