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中考基础复习 第27讲 梯形 (29ppt)

发布时间:2013-10-17 08:03:49  

第27讲┃梯形

第27讲┃ 考点聚焦

考点聚焦
考点1 梯形的有关概念
定义 梯形 等腰梯形 直角梯形 一组对边________,另一组对边 平行 不平行 _________的四边形叫梯形 两腰相等的梯形叫等腰梯形 有一个角是直角的梯形叫直角梯形

第27讲┃ 考点聚焦 考点2 等腰梯形

等腰梯形是轴对称图形,它只有一 轴对称性 条对称轴,一底的垂直平分线是它 等腰梯 的对称轴 形 底角 等腰梯形同一底上的两________ 的性质 性质定理 1 相等 相等 性质定理 2 等腰梯形的对角线________

第27讲┃ 考点聚焦

等腰梯 形的判 定

判定 方法 判定 步骤

(1)定义法;(2)同一底上的两个角 ________的梯形是等腰梯形; 相等 (1)先判定它是梯形;(2)再用“两腰相 等”或“同一底上的两个角相等”或 “对角线相等”来判定它是等腰梯形

第27讲┃ 考点聚焦 考点3 梯形中常用的辅助线
辅助线 平移一腰 添加方法及目的 从梯形的一个顶点作一 腰的平行线,把梯形分 成一个平行四边形和一 个三角形 从同一底的两端作另一 底的垂线,把梯形分成 一个矩形和两个直角三 角形 图形

作两高

第27讲┃ 考点聚焦
平移 移动一条对角线,即过底的一端作 对角 对角线的平行线,可以借助所得到 线 的平行四边形来研究梯形 延长梯形的两腰交于一点,得到两 延长 个三角形,如果是等腰梯形,则得 两腰 到两个分别以梯形两底为底的等 腰三角形 连结梯形一顶点与一腰的中点并 连结 延长与另一底的延长线相交,可得 中点 一三角形,将梯形的面积转化为三 并延 角形的面积,将梯形的上下底转移 长 到同一直线上

第27讲┃ 归类示例

归类示例
? 类型之一 梯形的基本概念及性质

命题角度: 1. 梯形的定义及分类; 2. 梯形的中位线及有关计算.

第27讲┃ 归类示例
[2012· 滨州] 我们知道“连结三角形两边中点的线段叫 做三角形的中位线”,“三角形的中位线平行于三角形的第三 边,且等于第三边的一半”.类似地,我们把连结梯形两腰中 点的线段叫做梯形的中位线.如图 27-1,在梯形 ABCD 中, AD∥BC,点 E、F 分别是 AB、CD 的中点,那么 EF 就是梯形 AB、CD 的中位线.通过观察、测量,猜想 EF 和 AD、BC 有 怎样的位置和数量关系?并证明你的结论.

图 27-1

第27讲┃ 归类示例

[解析]连结 AF 并延长交 BC 的延长线于点 G,则 △ADF≌△GCF,可以证得 EF 是△ABG 的中位线,利用 三角形的中位线定理即可证得.

第27讲┃ 归类示例
1 解:结论为:EF∥AD∥BC,EF= (AD+BC). 2 证明:连结 AF 并延长交 BC 的延长线于点 G. ∵AD∥BG,∴∠DAF=∠G, ?∠DAF=∠G, ? ? 在△ADF 和△GCF 中,∠DFA=∠CFG, ?DF

=CF, ? ∴△ADF≌△GCF.∴AF=FG,AD=CG. 1 又∵AE=EB,∴EF∥BG,EF= (BC+CG), 2 1 即 EF∥AD∥BC,EF= (AD+BC). 2

第27讲┃ 归类示例

梯形问题通常通过添加辅助线将其转化为三角形或特 殊四边形来解决.常用添加辅助线的方法有:(1)平移一 腰;(2)过同一底上的两个顶点作高;(3)平移对角线;(4)延 长两腰.

第27讲┃ 归类示例

?

类型之二

等腰梯形的性质

命题角度: 1. 等腰梯形两腰的大小关系,两底的位置关系; 2. 等腰梯形在同一底上的两个角的大小关系; 3. 等腰梯形的对角线相等的关系.

第27讲┃ 归类示例

[2013· 南京] 如图 27-2,四边形 ABCD 是梯形,BD =AC 且 BD⊥AC, AB=2, 若 CD=4, S 梯形 ABCD=________. 则 9

图 27-2

第27讲┃ 归类示例

[解析] 过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E,过点B作 BF⊥DC于点F,

则AC=BE,DE=DC+CE=DC+AB=6, 又∵BD=AC且BD⊥AC, ∴△BDE是等腰直角三角形, 1 ∴BF= DE=3, 2 1 故可得梯形ABCD的面积为 (AB+CD)×BF=9. 2

第27讲┃ 归类示例

[2011· 南充] 如图 27-3,四边形 ABCD 是等腰梯 形,AD∥BC,点 E、F 在 BC 上,且 BE=CF,连结 DE、 AF. 求证:DE=AF.

图 27-3

第27讲┃ 归类示例
[解析] 由四边形ABCD是等腰梯形, 得AB=DC,∠B=∠C,证明△DCE≌△ABF,即可证 得DE=AF. 证明:∵BE=FC, ∴BE+EF=FC+EF,即 BF=CE. ∵四边形 ABCD 是等腰梯形, ∴AB=DC,∠ B=∠C. 在△DCE 和△ABF 中, ?AB=DC, ? ?∠B=∠C, ?BF=CE, ? ∴△ABF≌△DCE(SAS), ∴DE=AF.

第27讲┃ 归类示例

利用等腰梯形的性质不仅可证明两直线平行,而且可 证明两边相等或两个角相等.

第27讲┃ 归类示例

? 类型之三

等腰梯形的判定

命题角度: 1. 定义法; 2. 从同一底上的两个角的大小关系来判定梯形是等腰梯形; 3. 从两条对角线的大小关系来判定梯形是等腰梯形.

第27讲┃ 归类示例

[2011· 茂名] 如图27-4,在等腰△ABC中,点D、E 分别是两腰AC、BC上的点,连结AE、BD相交于点O,∠1= ∠2. (1)求证:OD=OE; (2)求证:四边形ABED是等腰梯形; (3)若AB=3DE,△DCE的面积为2,求四边形ABED的面 积.

图27-4

第27讲┃ 归类示例

[解析] (1)证明△ABD≌△BAE(ASA).(2)由(1)得 AD= BE,再证 DE∥AB 即可.(3)△DCE∽△ACB,利用相似三角 形面积比等于相似比的平方求得.
解:(1)证明:∵△ABC 是等腰三角形,∴AC=BC, ∴∠BAD=∠ABE, 又∵AB=BA,∠2=∠1,∴△ABD≌△BAE(ASA), ∴BD=AE.又∵∠1=∠2,∴OA=OB, ∴BD-OB=AE-OA,即 OD=OE.

第27讲┃ 归类示例

(2) 证明:由(1)知:OD=OE,∴∠OED=∠ODE, 1 ∴∠OED= (180°-∠DOE), 2 1 同理:∠1= (180°-∠AOB)

, 2 又∵∠DOE=∠AOB,∴∠1=∠OED,∴DE∥AB. ∵AD、BE是等腰三角形两腰所在的线段, ∴AD与BE不平行, ∴四边形ABED是梯形, 又由(1)知△ABD≌△BAE,∴AD=BE. ∴梯形ABED是等腰梯形.

第27讲┃ 归类示例

(3)由(2)可知:DE∥AB, ∴△DCE∽△ACB, △DCE的面积 ?DE?2 ∴ =? ? , △ACB的面积 ?AB ?
? DE ?2 1 2 ? = , 即 =? △ACB的面积 ?3DE ? 9 ∴△ACB的面积=18. ∴四边形ABED的面积=△ACB的面积-△DCE的面积= 18-2=16 .

第27讲┃ 归类示例

证明等腰梯形首先要满足提醒的定义,再证明两腰相等, 或同一底上的两角相等,或对角线相等即可.

第27讲┃ 归类示例

? 类型之四

梯形的综合应用

命题角度: 1. 常用辅助线; 2. 动态几何问题; 3. 梯形与全等、相似、解直角三角形等知识的综合运用.

第27讲┃ 归类示例
[2012· 苏州] 如图 27-5①, 在梯形 ABCD 中, AD∥BC, ∠A=60°,动点 P 从 A 点出发,以 1 cm/s 的速度沿着 A→B→C→D 的方向不停移动, 直到点 P 到达点 D 后才停止. 已 知△PAD 的面积 S (单位:cm2)与点 P 移动的时间 t(单位:s)的 函数关系如图②所示,则点 P 从开始移动到停止移动一共用了 (4+2 3) ________s(结果保留根号).

图 27-5

第27讲┃ 归类示例

[解析] 根据图②判断出AB、BC的长度,过点B作BE⊥AD 于点E,然后求出梯形ABCD的高BE,再根据t=2时△PAD的 面积求出AD的长度,过点C作CF⊥AD于点F,然后求出DF的 长度,利用勾股定理求出CD的长度,然后求出AB、BC、CD 的和,再求时间. 由图②可知,t在2 s到4 s时,△PAD的面积不发生变化, ∴在AB上运动的时间是2 s,在BC上运动的时间是4-2= 2(s). ∵动点P的运动速度是1 cm/s, ∴AB=2 cm,BC=2 cm.

第27讲┃ 归类示例
过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD于点F,

则四边形BCFE是矩形, ∴BE=CF,BC=EF=2 cm. 3 ∵∠A=60°,∴BE=AB·sin60°=2× = 3(cm). 2 1 AE=AB· cos60°=2× =1(cm), 2 1 1 ∵ ×AD×BE=3 3,即 ×AD× 3=3 3, 2 2

第27讲┃ 归类示例

解得AD=6 cm, ∴DF=AD-AE-EF=6-1-2=3(cm). 在Rt△CDF中,CD= CF2+DF2 = 32+( 3)2 =2 3 (cm), ∴动点P运动的总路程为AB+BC+CD=2+2+2 3=(4+ 2 3)(cm). ∵动点P的运动速度是1 cm/s, ∴点P从开始移动到停止移动一共用了(4+2 2 3)( s).

3 )÷ 1=(4+

第27讲┃ 归类示例

动态几何开放性数学问题是近几年兴起的一种新颖题 型,一般是某一个点在某一个图形上的运动,难度相对较 大,对考生综合分析问题的能力要求较高.主要形式有开放 前提、开放结论两大类.解答此类问题要注意全面、整体地 把握题目的意思,尤其不能漏掉某些情况.


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