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初三《圆》章节知识点复习专题

发布时间:2013-10-17 13:34:22  

《圆》章节知识点复习

一、圆的概念

集合形式的概念: 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;

2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;

3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念:

1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆; (补充)2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫

中垂线);

3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;

4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系

1、点在圆内 ? d?r ? 点C在圆内;

2、点在圆上 ? d?r ? 点B在圆上;

3、点在圆外 ? d?r ? 点A在圆外;

三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离 ? d?r ? 无交点;

2、直线与圆相切 ? d?r ? 有一个交点;

3、直线与圆相交 ? d?r ? 有两个交点; A

四、圆与圆的位置关系

外离(图1)? 无交点 ? d?R?r;

外切(图2)? 有一个交点 ? d?R?r;

相交(图3)? 有两个交点 ? R?r?d?R?r;

- 1 -

内切(图4)? 有一个交点 ? d?R?r; 内含(图5)? 无交点 ? d?R?r;

图1

图2

五、垂径定理

图4

图5

垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;

(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:

①AB是直径 ②AB?CD ③CE?DE ④ 弧BC?弧BD ⑤ 弧AC?弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在⊙O中,∵AB∥CD ∴弧AC?弧BD 六、圆心角定理

圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。 此定理也称1推3定理,即上述四个结论中, 只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论, 即:①?AOB??DOE;②AB?DE;

③OC?OF;④ 弧BA?弧BD

- 2 -

D

B

七、圆周角定理

1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即:∵?AOB和?ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 ∴?AOB?2?ACB 2、圆周角定理的推论:

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧;

即:在⊙O中,∵?C、?D都是所对的圆周角 ∴?C??D

推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。

即:在⊙O中,∵AB是直径 或∵?C?90? ∴?C?90? ∴AB是直径

推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。

即:在△ABC中,∵OC?OA?OB

∴△ABC是直角三角形或?C?90?

注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 八、圆内接四边形

圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。 即:在⊙O中,

∵四边形ABCD是内接四边形

∴?C??BAD?180? ?B??D?180? ?DAE??C 九、切线的性质与判定定理

(1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线; 两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可

B

O

AB

B

A

- 3 -

即:∵MN?OA且MN过半径OA外端 ∴MN是⊙O的切线

(2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图) 推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理:

即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 十、切线长定理 切线长定理:

从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即:∵PA、PB是的两条切线 ∴PA?PB

P

PO平分?BPA

十一、圆幂定理

(1)相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。 即:在⊙O中,∵弦AB、CD相交于点P, ∴PA?PB?PC?PD

B

D

(2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的

B

两条线段的比例中项。

即:在⊙O中,∵直径AB?CD, ∴CE?AE?BE

(3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 即:在⊙O中,∵PA是切线,PB是割线 ∴ PA?PC?PB

22

A

(4)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)。

- 4 -

即:在⊙O中,∵PB、PE是割线 ∴PC?PB?PD?PE 十二、两圆公共弦定理

圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的公共弦。

如图:O1O2垂直平分AB。

即:∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点 ∴O1O2垂直平分AB 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式:

(1)公切线长:Rt?

O1O2C中,AB2?CO12?

(2)外公切线长:CO2是半径之差; 内公切线长:CO2是半径之和 。 十四、圆内正多边形的计算 (1)正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形,有关计算在Rt?

BOD中进行:

OD:BD:OB?2;

(2)正四边形

同理,四边形的有关计算在Rt?

OAE中进行,OE:AE:OA? (3)正六边形

同理,六边形的有关计算在Rt?

OAB中进行,AB:OB:OA?2.

十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形:(1)弧长公式:l?

n?R

; 180

O

l

n?R21

?lR (2)扇形面积公式: S?

3602

n:圆心角 R:扇形多对应的圆的半径 l:扇形弧长 S:扇形面积

- 5 -

2、圆柱:

(1)圆柱侧面展开图

2

S表?S侧?2S底=2?rh?2?r

D1

(2)圆柱的体积:V??rh

(2)圆锥侧面展开图

2

(1)S表?S侧?S底=?Rr??r

2

C1

12

(2)圆锥的体积:V??rh

3

十六、圆与三角形的关系

1、不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 2、三角形的外接圆:经过三角形三个顶点的圆。

3、三角形的外心:三角形三边垂直平分线的交点,即三角形外接圆的圆心。 4、三角形的内切圆:与三角形的三边都相切的圆。

5、三角形的内心:三角形三条角平分线的交点,即三角形内切圆的圆心。

例1 如图,在半径为5cm的⊙O中,圆心O到弦AB的距离为3cm,则弦AB的长是( )

A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm

解题思路:在一个圆中,若知圆的半径为R,弦长为a,圆心到此弦的距离为d,?根据垂径定理,有R2=d2+(

a

)2,所以三个量知道两个,就可求出第三个.答案C 2

例2、如图,A、B、C、D是⊙O上的三点,∠BAC=30°,则∠BOC的大小是( ) A、60° B、45° C、30° D、15° 解题思路:运用圆周角与圆心角的关系定理,答案:A

例3、如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠BOD=160,则∠BCD= ( )

????

8020160100 (A) (B) (C) (D)

?

例4、如图,已知圆心角∠BOC=100,则圆周角∠BAC的度数是 ( ) (A)50 (B)100 (C)130 (D)200

- 6 -

?

?

?

?

?

例5、半径为5厘米的圆中,有一条长为6厘米的弦,则圆心到此弦的距离为 ( )

(A)3厘米 (B)4厘米 (C)5厘米 (D)6厘米

例6、如图,已知点E是圆O上的点, B、C分别是劣弧AD的三等分点, ?BOC?46?,则?AED的度数为 .

例7、如图8,两个同心圆的半径分别为2和1,?AOB?120o,则阴影部分的面积为

例8、如下图,已知正三角形ABC的边长为a,分别为A、B、C为圆心, ???

a以为半径的圆相切于点O1、O2、O3,求O1O2、O2O3、O3O1围成的图形面2积S。(图中阴影部分)

分析:阴影部分面积等于三角形面积减去3个扇形面积。

解:S△ABC32?a2?a2 ?a,3S扇?3×·()?4628

∴S阴2?a223??2?a??a 488

此题可变式为如下图所示,⊙A、⊙B、⊙C两两不相交,且它们的半径都

a为,求图中三个扇形(阴影部分)的面积之和。 2

分析:因三个扇形的半径相等,把三个扇形拼成一个扇形来求,因为∠A+∠B+∠C=180°, 因而三个扇形拼起来正好是一个半圆,故所求图形面积为?

8a2,

原题可在上一题基础上进一步变形:⊙A1、⊙A2、⊙A3…⊙An相外离,它们的半径都是1,顺次连结n个圆心得到的n边形A1A2A3…An,求n个扇形的面积之和。

解题思路同上。

- 7 -

解:(n?2)? 2

例9、(易错题)在直径为50cm的圆中,弦AB为40cm,弦CD为48cm,且AB∥CD,求AB?

与CD之间距离.

解:如图所示,过O作OM⊥AB,

∵AB∥CD,∴ON⊥CD.

在Rt△BMO中,BO=25cm.

由垂径定理得BM=

11AB=×40=20cm, 22 ∴

?

=15cm. 同理可求

?

所以MN=OM-ON=15-7=8cm.

同步练习题: ,

1.如图所示,AB是⊙O的弦,OC⊥AB于C,若

,OC=1cm,则⊙O的

半径长为______cm.

2.一个已知O点到圆周上的点的最大距离为5cm,最小距离为1cm,?则此圆的

半径为____3cm或2cm ____.

3.如图所示⊙O的半径为5,弦AB长为8,点M在线段AB(包括

端点A、B)上移动,则OM的取值范围是( A )

A.3≤OM≤5 B.3≤OM<5

C.4≤OM≤5 D.4≤OM<5

4.如图所示,矩形ABCD与⊙O相交于M、N、F、E,若AM=2,DE=1,

EF=?8,?则MN的长为( )

A.2 B.4 C.6 D.8

答案:C(点拨:过O作OH⊥CD并延长,交AB于P,易得DH=5,

而AM=2,∴MP=3,MN=2MP=2×3=6)

5.(教材变式题)如图所示,⊙O的直径AB垂直于弦CD,AB、CD相交于点E,∠COD=100°,

求∠COE,∠D的度数.

解:∵AB是直径,AB⊥CD,又∵∠C=∠D,∠COE=∠DOE,

又∵∠COD=100°,

?

- 8 -

∴∠COE=1×100°=50°,∠D=∠C=90°-∠COE=90°-50°=40°. 2

6.如图24-1-2-9,要把破残的圆片复制完整,已知弧上三点A、B、

C.

图24-1-2-9

(1)用尺规作图法,找出弧BAC所在圆的圆心O;(保留作图痕迹,不写作法)

(2)设△ABC为等腰三角形,底边BC=10 cm,腰AB=6 cm,求圆片的半径R;(结果保留根号)

思路分析:(1)作AB、AC的中垂线即得圆片圆心O;(2)已知BC和AB的长度,所以可以构造直角三角形利用勾股定理可求得半径R;(3)根据半径的值确定m、n的值.

(1)作法:作AB、AC的垂直平分线,标出圆心

O.

(2)解:连结AO交BC于E,再连结BO.∵AB=AC,∴AB=AC.∴AE⊥BC.∴BE=

在Rt△ABE中,AE=1BC=5. 2AB2?BE2=36?25=.

在Rt△OBE中,R2=52+(R-)2,解得R=18

(cm).

7.在图24-1-2-3中,弦AB的长为24 cm,弦心距OC=5 cm,则⊙O的半径R=__________ cm.

思路解析:连结AO,得Rt△AOC,然后由勾股定理得出.

答案:13

8.如图24-1-2-4所示,直径为10 cm的圆中,圆心到弦AB的距离为4 cm.求弦AB的长

.

图24-1-2-4

- 9 -

思路分析:利用“圆的对称性”:垂直于弦的直径平分这条弦.

由OM⊥AB可得OM平分AB,即AM=

定理求解.

解:连结OA.

∵OM⊥AB, 1AB.连结半径OA后可构造Rt△,利用勾股2

1AB. 2

1∵OA=×10=5,OM=4, 2∴AM=

∴AM=OA?OM22=3.∴AB=2AM=6(cm).

9.⊙O的直径为10,弦AB的长为8,P是弦AB上的一个动点,求OP长的取值范围.

思路分析:求出OP长的最小值和最大值即得范围,本题考查垂径定理及勾股定理.该题创新点在于把线段OP看作是一个变量,在动态中确定OP的最大值和最小值.事实上只需作OM⊥AB,求得OM即可

.

解:如图,作OM⊥AB于M,连结OB,则BM=

在Rt△OMB中,OMOB?BM222211AB=×8=4. 22=5?4=3.

当P与M重合时,OP为最短;当P与A(或B)重合时,OP为最长.所以OP的取值范围是3≤OP≤5.

10.如图24-1-2-5,⊙O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交⊙O于B、C,则BC等于( ) A.32 B.33 C.3

32 D. 22

图24-1-2-5 图24-1-2-6

思路解析:连结AB、BO,由题意知:AB=AO=OB,所以△AOB为等边三角形.AO垂

- 10 -

直平分BC,

所以BC=2×

答案:B

11.如图24-1-2-6,AB是⊙O的弦,半径OC⊥AB于点D,且AB=8 cm,OC=5 cm,则OD的长是( )

A.3 cm B.2.5 cm C.2 cm D.1 cm

思路解析:因为AB是⊙O的弦,半径OC⊥AB于点D,且AB=8 cm,OC=5 cm,连结OA,在Rt△ODA中,由勾股定理得OD=3 cm.

答案:A

12.⊙O半径为10,弦AB=12,CD=16,且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.

思路分析:本题目属于“图形不明确型”题目,应分类求解

. 33=3. 2

解:(1)当弦AB与CD在圆心O的两侧时,如图(1)所示.

作OG⊥AB,垂足为G,延长GO交CD于H,连结OA、OC.

∵AB∥CD,GH⊥AB,

∴GH⊥CD.

∵OG⊥AB,AB=12,

1AB=6. 2

1同理,CH=CD=8. 2∴AG=

∴Rt△AOG中,OG=?AG=8.

Rt△COH中,OH=OC?CH=6.

∴GH=OG+OH=14.

(2)当弦AB与CD位于圆心O的同侧时,如图(2)所示.

GH=OG-OH=8-6=2.

- 11 -

2222

13.⊙O的直径为10,弦AB的长为8,P是弦AB上的一个动点,求OP长的取值范围.

思路分析:求出OP长的最小值和最大值即得范围,本题考查垂径定理及勾股定理.该题创新点在于把线段OP看作是一个变量,在动态中确定OP的最大值和最小值.事实上只需作OM⊥AB,求得OM即可

.

解:如图,作OM⊥AB于M,连结OB,则BM=

在Rt△OMB中,OMOB?BM222211AB=×8=4. 22=5?4=3.

当P与M重合时,OP为最短;当P与A(或B)重合时,OP为最长.所以OP的取值范围是3≤OP≤5.

14.如图24-1-4-3,把一个量角器放在∠BAC的上面,请你根据量角器的读数判断∠BAC的度数是( )

A.30° B.60° C.15° D.20°

图24-1-4-3 图24-1-4-4 图24-1-4-5

思路解析:根据圆周角与圆心角的关系解答.

答案:C

15.如图24-1-4-4,A、B、C是⊙O上的三点,∠ACB=30°,则∠AOB等于( )

A.75° B.60° C.45° D.30°

思路解析:根据圆周角和圆心角的关系求得.

答案:B

16.如图24-1-4-5,OB、OC是⊙O的半径,A是⊙O上一点,若已知∠B=20°,∠C=30°,则∠A=__________.

思路解析:连结AO,则AO=OB,OA=OC,所以∠A=∠B+∠C=20°+30°=50°.

答案:50°

17.在半径为1的⊙O中,弦AB、AC分别是3和2,则∠BAC的度数是__________.

- 12 -

思路解析:如图(1)和图(2),分两种情况,作直径AD,连结BD,易知∠BAD=30°,∠CAO=45°,∴∠BAC=15°或75°

.

(1) (2)

答案:15°或75°

18.下列说法中,正确的是( )

A.等弦所对的弧相等 B.等弧所对的弦相等

C.圆心角相等,所对的弦相等 D.弦相等所对的圆心角相等

思路解析:根据弧、弦、圆心角的关系知:等弦所对的弧不一定相等,圆心角相等,所对的弦相等缺少等圆或同圆的条件,所以也不对;弦相等所对的圆心角相等缺少等圆或同圆的条件,弦所对的弧也不一定是同弧,所以不正确;等弧所对的弦相等是成立的. 答案:B

19.如图24-1-3-1,同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D,已知AB=4,CD=2,AB的弦心距等于1,那么两个同心圆的半径之比为(

)

图24-1-3-1

A.3∶2 B.∶2 C.5∶2 D.5∶4 思路解析:作OE⊥CD于E,则CE=DE=1,AE=BE=2,OE=1.

在Rt△ODE中,OD=?1=2.

在Rt△OEB中,OB=BE?OE=4?1=.∴OB∶OD=∶2.

答案:C

20.半径为R的⊙O中,弦AB=2R,弦CD=R,若两弦的弦心距分别为OE、OF,则OE∶OF等于( )

A.2∶1 B.3∶2 C.2∶3 D.0

- 13 -

2222

思路解析:∵AB为直径,∴OE=0.

∴OE∶OF=0.

答案:D

21.如图24-1-3-4,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=6 cm,EB=2 cm,∠CEA=30°,求CD的长

.

图24-1-3-4

思路分析:如何利用∠CEA=30°是解题的关键,若作弦心距OF,构造直角三角形,问题就容易解决.

解:过O作OF⊥CD于F,连结CO.

∵AE=6 cm,EB=2 cm,∴AB=8 cm.∴OA=

在Rt△OEF中,

∵∠CEA=30°,∴OF=1AB=4(cm),OE=AE-AO=2(cm). 21OE=1(cm). 2

22在Rt△CFO中,OF=1 cm,OC=OA=4(cm),∴CF=OC?OF=(cm).

又∵OF⊥CD,

∴DF=CF.

∴CD=2CF=2( cm).

22.如图24-1-3-10,AB为⊙O的弦,P是AB上一点,AB=10 cm,OP=5 cm,PA=4 cm,求⊙O的半径

.

图24-1-3-10

思路分析:圆中的有关计算,大多都是通过构造由半径、弦心距、弦的一半组成的直角三角形,再利用勾股定理来解决.

解:过O作OC⊥AB于C,连结OA,则AB=2AC=2BC.

- 14 -

在Rt△OCA和△OCP中,OC2=OA2-AC2,OC2=OP2-CP2,

∴OA2-AC2=OP2-CP2.

∵AB=10,PA=4,AB=2AC=2BC,∴CP=AB-PA-BC=1,AC=5.

∴OA2-52=52-1.∴OA=7,

即⊙O的半径为7 cm.

23.⊙O的直径为50 cm,弦AB∥CD,且AB=40 cm,CD=48 cm,求弦AB和CD之间的距离.

思路分析:(1)图形的位置关系是几何的一个重要方面,应逐步加强位置感的培养.(2)本题往往会遗忘或疏漏其中的一种情况

.

(1)

解:(1)当弦AB和CD在圆心同侧时,如图(1),作OG⊥AB于G,交CD于E,连结OB、OD.

∵AB∥CD,OG⊥AB,∴OE⊥CD.∴EG即为AB、CD之间的距离.

∵OE⊥CD,OG⊥AB,

11AB=×40=20(cm), 22

11DE=CD=×48=24(cm). 22∴BG=

在Rt△DEO中,OE=OD?DE=25?24=7(cm).

在Rt△BGO中,OG=?BG=25?20=15(cm).

∴EG=OG-OE=15-7=8(cm)

. 22222222

(2)

(2)当AB、CD在圆心两侧时,如图(2),同理可以求出OG=15 cm,OE=7 cm,∴GE=OG+OE=15+7=22(cm).

- 15 -

综上所述,弦AB和CD间的距离为22 cm或7 cm.

24.如图3-3-22,AB是⊙O的直径,∠AOD是圆心角,∠BCD是圆周角.若∠BCD=25°,则∠AOD= .

答案:130° 解:∠BOD=2∠BCD=2×25°=50°,∴∠AOD=180°-∠BOD=180°-50°=130°.

25.如图3-3-23,⊙O直径MN⊥AB于P,∠BMN=30°,则∠

答案:60° 解:∵ON⊥AB,∴AN=BN.∵∠M=30°,∴BN的度数为60°.∴∠AON=60°.

⌒⌒⌒

26.如图3-3-24,AB是⊙O的直径,BC=BD,∠A=25°,则∠⌒⌒⌒

答案:50° 解:连CO.∵∠A=25°,∴∠COB=2∠A=50°.∵BC=BD,∴∠BOD=∠COB=50°.

点拨:本题考查等弧所对的圆心角相等及一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的一半.

27.如图3-3-25,A、B、C是⊙O上三点,∠BAC的平分线AM交BC于点D,交⊙O于点M.若∠BAC=60°,∠ABC=50°,则∠,∠.

答案:30°;70° 点拨:利用△ABC内角和定理求得∠C=70°,最后根据同弧所对的圆周角相等得∠AMB=∠ACB=70°,∠CBM=∠CAM=30°.

28.⊙O中,若弦AB长22cm,弦心距为2cm,则此弦所对的圆周角等于 答案:45°或135° 点拨:一条弦所对的圆周角相等或互补(两个).

29.如图3-3-26,⊙O中,两条弦AB⊥BC,AB=6,BC=8,求⊙O的半径.

答案:解:连接AC.∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°.∴AC为⊙O直径.在Rt△ABC中,AB2+BC2=AC2,∴AC=10,故⊙O半径是5.

点拨:根据90°的圆周角所对的弦是直径.

练习题二:

- 16 -

1.在⊙O中,∠AOB=84°,则弦AB所对的圆周角是___________. [ ]

A.42°;B.138°;C.84°;D.42°或138°.

2.如图,圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD把四边形的四个角分成八个角,这八个角中相等的角的对数至少有___________. [ ]

A.1对;B.2对;C.3对;D.4对.

3.如图,AC是⊙O的直径,AB,CD是⊙O的两条弦,且AB∥CD.如果∠BAC=32°,则∠AOD=___________. [ ]

A.16°;B.32°;C.48°;D.64°.

二、计算题

4.如图,AD是△ABC外接圆的直径,AD=6cm,∠DAC=∠ABC.求AC的长.

5.已知:△DBC和等边△ABC都内接于⊙O,∠BCD=75°(如图).求∠ABD、∠DBC的度数.

6.如图,圆内接△ABC的外角∠MAB的平分线交圆于E,EC=8cm.求BE的长.

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7.如图,等腰三角形ABC的顶角为50°,AB=AC,以AB为直径的圆交AC、

BD与点E、D,连接DE,1、求角EDC的度数 2、证明:BD=BC

8.如图,AB是⊙O的直径,AB=2cm,点C在圆周上,且∠BAC=30°,∠

ABD=120°,CD⊥BD于D.求BD的长.

9.如图,△ABC中,∠B=60°,AC=3cm,⊙O为△ABC的外接圆.求⊙

O的半径.

10.已知等腰三角形的腰长为13cm,底边长为10cm,求它的外接圆半径.

- 18 -

22.如图,△ABC中,AD是∠BAC的平分线,延长AD交△ABC的外接圆于E,已知AB=a,BD=b,BE=c.求AE的长.

23.如图,△ABC中,AD是∠BAC的平分线,延长AD交△ABC的外接圆于E,已知AB=6cm,BD=2cm,BE=2.4cm.求DE的长.

24.如图,梯形ABCD内接于⊙O,AB∥CD,

⊙O的半径为6cm.求BC的长.

的度数为60°,∠B=105°,

25.已知:如图,AB是⊙O的直径,AB=4cm,E为OB的中点,弦CD⊥AB于E.求CD的长.

- 19 -

26.如图,AB为⊙O的直径,E为OB的中点,CD为过E点并垂直AB的弦.求∠ACE的度数.

27.已知:如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=38°,以C为圆心,BC为半径作圆,交AB于D,求的度数.

28.如图,△ABC内接于圆O,AD为BC边上的高.若AB=4cm,AC=3cm,AD=2.5cm,求⊙O的半径.

29.设⊙O的半径为1,直径AB⊥直径CD,E是OB的中点,弦CF过E点(如图),求EF的长.

30.如图,在⊙O中直径AB,CD互相垂直,弦CH交AB于K,且AB=10cm,CH=8cm.求BK∶AK的值.

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31.如图,⊙O的半径为40cm,CD是弦,A为的中点,弦AB交CD于F.若AF=20cm,BF=40cm,求O点到弦CD的弦心距.

32.如图,四边形ABCD内接于以AD为直径的圆O,且AD=4cm,AB=CB=1cm,求CD的长.

参考答案

一、选择题

1.D 2.D 3.D 4.D

二、计算题

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DE⊥直线OB于E,∠DOE=30°,应用勾股定理求出BD的长.

8.9 cm或4 cm.提示:连接 AC,BC.由 AB为直径可知∠ACB=90°.又 CD⊥AB于 D,所以 CD2=AD·BD,即CD2=AD·(AB-AD).又 AB=13,CD=6,所以 36=AD(13-AD),AD2-13AD+36=0,解出AD=9(cm)或AD=4(cm).

11.50°.提示:延长DF,DG分别交⊙O于C',E',因为∠CFA=∠DFB,∠DGA=∠EGB,所以∠CFA=∠C'FA,∠EGB=∠E'GB.因为AB为⊙O的直径,所以根据轴对称图形的性质可知

为100°,就有∠FDG=50°.

又因为∠DAB=∠ABC=90°.所以AC和BD为⊙O的直径.所以△APC与△BPD为直角三角形.所以 PA2+ PC2= AC2, PB2+PD2=BD2,就有

PA2+PB2+PC2+PD2=AC2+BD2=4.

知BC//AD.所以AC=BD.又AD为直径,所以∠ABD=90°.在Rt△ABD中,AD=2R,AB=a,所以

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15.提示:根据圆周角度量定理有:(∠A+∠B)的度数=m°,(∠B+∠

C)的度数=n°,(∠C+∠A)的度数=p°.由前面三个等式得:

16.75°.提示:由BC,DF分别为⊙O的直径,可得∠A=∠DEF=90°.又AB=AC,所以∠ABC=45°.在 Rt△DEF中,由 EF

=

是240°,∠DBE=120°.所以∠ABD+∠CBE=120°-45°=75°. 17.50°,50°,80°.提示:连接 AD,则 AD平分∠A.

于D,则AD=CD,∠AOD=DOC.由∠B=60°可得∠OAD=30°.所

解法二 过A作直径AD,连接CD,则∠ACD=90°,∠ADC=∠ABC=60°;又知AC=3,这就容易求出AD.

=90°,所以BE2=AB2-AE2=82-22=60.又因为BF∶FC=5∶1,故设BF=5x,FC=x,则BC=6x.因为EF⊥BC,所以BE2=BF·BC,

- 23 -

解法二 连接BE,则BE⊥AC,所以BE2=82-22=60.在直角三角形BCE中

ABC外接圆于E,连接CE,则AD⊥BC,BD=CD=5.由垂径定理知:AE为△ABC外接圆的直径,所以∠ACE=90°.在Rt△ADC中,AD

=

23.0.8 cm.提示:只需证明△ABE∽△BDE.

CE.

26.60°.

提示:连接OC,BC.只需证明△OCB为等边三角形,则∠ABC=60°,而∠ACB=90°,所以∠CAB=30°,即可求出∠ACE=60°.

27.76°.提示:延长BC交⊙C于E,连接DE,只需证明∠

- 24 -

28.2.4 cm.提示:连接AO并延长交⊙O于E,则AE为⊙O

4.8.所以⊙O的半径为2.4(cm).

30.7∶1.提示:连接HD.只需证明△CKO∽△CDH.所以

31.25 cm.提示:连接 AO并延长交⊙O于 E,则 AE为⊙O

CD,OM就是CD的弦心距.只需证明△AMF∽△ABE,由此得

32.3.5cm.提示:解法一 连接OB交弦AC于G.连接BD.只需证明△ABG∽△DAB.由此求出AG,进而求出OG,而CD=2OG.

解法二 设AB的延长线与DC的延长线相交于点E,在△BCE和△OAB中,

∠BCE=∠OAB,∠EBC=∠D=2∠ADB=∠BOA.

所以△BCE∽△OAB,从而 BC∶CE=OA∶AB.所以CE

=

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33、AB是⊙O的直径,PA切⊙O于A,OP交⊙O于C,连BC.若?P?30,求?B的度数.

解题思路:运用切线的性质 .

?

P

?PA切⊙O于A,AB是⊙O的直径, ∴?PAO?90?.

1

??P?30,∴?AOP?60.∴?B??AOP?30?

2

?

?

34.(2010福建泉州市惠安县)已知圆锥的底面半径是3,母线长是4,则圆锥的侧面积是 . 【关键词】圆锥侧面积 【答案】12?

35.(2010年山东聊城)将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放,重叠部分(阴影)的

⌒ )量角器弧(AB对应的圆心角(∠AOB)为120°,AO的长为4cm ,OC的长为2cm ,

则图中阴影部分的面积为()

16π8πA.(2)cm2 B.2)cm2

3316π8π

C.(+23)cm2 D.(+23)cm2

33【关键词】阴影面积

16π

【答案】C BC=23,图中阴影部分的面积=扇形AOB+三角形BOC的面积=+3

3(cm2 )

AC上任一点(不与A、C重合),则36.如图1,等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上,D是?

∠ADC的度数是___120_____.

(1) (2) (3)

37.已知,如图3,∠BAC的对角∠BAD=100°,则∠BOC=__160_____度. 38.如图4,A、B、C为⊙O上三点,若∠OAB=46°,则∠ACB=__44_____度.

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A

BA

(4) (5) (6)

??BD?,∠A=25°39.如图5,AB是⊙O的直径, BC,则∠BOD的度数为____50____.

40.如图6,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=___根号2___.

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