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二次根式单元复习[1]

发布时间:2013-10-22 08:03:40  

第 21 章 二 次 根 式 单元复习

知识结构
三个概念

二次根式
最简二次根式

同类二次根式
1、 ab ? a ? b ?a ? 0, b ? 0?

二 次 根 式

两个公式

a ? 2、 b
(

a b

(a ? 0, b ? 0)

a ? 0 (a? 0)
三个性质

a )2 ? a

a a 2 ? a ? {a ,a ,? 0 0 ? a?

四种运算

加 、减、乘、除

二次根式的概念
1.二次根式的定义: 形如 a(a ? 0)的式子 叫做二次根式

2.二次根式的识别: (1).被开方数

a?0

(2).根指数是2

例.下列各式中那些是二次根式? 那些不是?为什么?


15
a ?b
2 2



3a
?a 2 ? 1



x ? 100







?144



a 2 ? 2a ? 1

⑧ 3

5

二次根式的性质
(1).
(2). (3).

a ? 0 (a? 0)
( a) ? a
2

a ? a ?{
2

a ,a ?0 ? a ,a ?0

题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
1. 当 X ≤3 _____时,

3? x

有意义。

2.(2005.青岛)

a ? 4 + 4 ? a 有意义的条件是 a=4

3.求下列二次根式中字母的取值范围

1 x ?5 ? 3 ?x
解: ?x

? ?3- x ? 0

?5 ? 0





说明:二次根式被开方数 不小于0,所以求二次根 式中字母的取值范围常转 化为不等式(组)

解得

- 5≤x<3

题型2:二次根式的非负性的应用.
4.已知:

x?4

+

2x ? y

=0,求 x-y 的值.

解:由题意,得 解得

x-4=0 且 2x+y=0 x=4,y=-8

x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12 5.(2005.湖北黄冈市)已知x,y为实数,且 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( x ?1 D )

A.3

B.-3

C.1

D.-1

抢答:判断下列二次根式是否是最简二次根式, 并说明理由。

(1) 50 (4) 0.75

(2) a bc (5) (a ? b)(a ? b )
2 2

2

(3) x ? y
2

满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式 (1)被开方数的因数是整数,因式是整式 (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式

1 ( 6) 6 2

例1:把下列各式化成最简二次根式
(1) 54 (2) 4a 2 ? 16a 2
(a≥0)

例2:把下列各式化成最简二次根式
(1 ) 4 1 1 2 (2)x
2

y x

(x>0)

化简二次根式的方法:
(1)如果被开方数是整数或整式时,先因数分解或因 式分解,然后利用积的算术平方根的性质,将式子化简。 (2)如果被开方数是分数或分式时,先利用商的算术平 方根的性质,将其变为二次根式相除的形式,然后利用分 母有理化,将式子化简。

试一试:一个台阶如图,阶梯每一层高 15cm,宽25cm,长60cm.一只蚂蚁从A点 B 爬到B点最短路程是多少?
解:
60 15 25 15 A 60 60 B 25 15 A 15 25 25

60

AB ? 60 ? 80
2

2

? 10000

? 100

探索性练习:
(1)判断下列各式是否成立?你认为成立的,请在括号里 打 “√”,不成立的,请在括号里打 “×”

2 2 2 ? ? 2 ,? 3 3

?

3 3 3? ? 3 ? 8 8

? ?

4 4 4? ?4 ,? 15 15

?

5 5 ? 5? ?5 24 24

(2

)你判断完以上各题之后,能猜想这类式子具有什么 规律?

(3)试用数学知识说明你所提出的猜想是正确的吗?

设a、b为实数,且|?2 -a|+ √ b-2 =0

拓展1

? (1)求a -2 2a+2+b 的值. a ? 2 , b ? 2
2 2

解: ? 2 ? a ? 0, b ? 2 ? 0 ?1 而 2 ?a ? b?2 ? 0

? 2 ?a ? 0 , ?2 ? 0 b ?a ? 2, b ? 2

?原式 ? (a ? 2) ? b ? ( 2 ? 2)2 ? 22
2 2

?4

设a、b为实数,且|?2 -a|+ √ b-2 =0

拓展1

? (1)求a -2 2a+2+b 的值. a ? 2 , b ? 2
2 2

(2)若满足上式的a,b为等腰三角形的两边,求这 个等腰三角形的面积. 解:若a为腰,b为底,此时底边上的高为 ( 1 ? 2 ?1 ? 1 ∴三角形的面积为 2 若a为底,b为腰,此时底边上的高为
? 2? ? 2 ?? ? 2 ? ? ?
2 2

2 2) ? 1 ? 1

?

1 4? ? 2

7 ? 2

14 2

∴三角形的面积为 1 ? 2 ? 14 ?

2

2

7 2


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