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人教版九年级上册数学期中复习课件

发布时间:2013-10-22 09:32:32  

思考:
用长8米铁丝折成一个面积为4米的矩形。
(1)该矩形的边长分别为多少? (2)用它能够折成一个面积为16米的矩形吗?

通过复习.掌握一元二次方程的概念.并能够熟 练的解一元二次方程.并且利用一元二次方程解决 实际问题.

一般形式

直接开平方法 ( x ? a) 2 ? b ? b ? 0 ?
一 元 二 次 方 程 配方法 解法 公式法 因式分解法
b? ?b? ? 2 x ? bx ? ? ? ? ? x ? ? ? c ? c ? 0 ? 2? ?2? ?
2 2

ax2+bx+c=0 (a≠0)

?b ? b 2 ? 4ac x? ? ? ? 0? 2a

( x ? a)( x ? b) ? 0

根的判别式: ? ? b2 ? 4ac

b c 根与系数的关系: x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? a a 配方法求最值问题 应用
实际应用

思想方法

转化思想; 配方法、换元法

一元二次方程的概念 下列方程中,是关于x的一元二次方程的是( A ) A.3(x+1)2=2(x+1) B. 1 ? 1 -2=0 x2 x C.x2+xy+y2=0 D.x2+2x=x2-1

等号两边都是整式.只含有一个未知数(一元).并且未 知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程.
特点: ①都是整式方程. ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.

试一试

1.判断下列方程是不是一元二次方程 1 (1)4x- x2 3 =0 是 + (2)3x2 y -1=0 不是 2
(3)ax2 +bx+c=0 不一定
1 (4)x + =0 x

不是

2.关于x的方程(m2 -1)x2 +(m-1)x-2m+1=0.

当m ≠±1 时是一元二次方程
当m= -1 时是一元一次方程.
1 2

当m=

时.x=0.

3.若(m+2)x 2 +(m-2)x-2=0是关于x的一元二次方 程则m ≠-2 。

一元二次方程的一般形式

ax ? bx ? c ? 0
2

(a,b,c为常数,a≠0)

当 a ? 0 时,它是一元二次方程; 当 a ? 0 时,它不是一元二次方程.

方程2ax2 -2bx+a=4x2, (1)在什么条件下此方程为一元二次方程? (2)在什么条件下此方程为一元一次方程?
解: 原方程转化为(2a-4) x2 -2bx+a=0 当a≠2时是一元二次方程; 当a=2,b≠0时是一元一次方程;

试一试

1.判断下面哪些方程是一元二次方程

(1)x -3x+4=x -7 (2) 2X = -4 (3)3 X+5X-1=0 (4) 3x - 1 ? 2 ? 0 x
2 2 2

2

2

(× ) (√) (×) (× ) (√ ) (×)

(5) x ? 1 ? 3
2

(6) ? y ? 0
y 4 2

2.当k ≠2 时,方程 的一元二次方程.

kx ? 3x ? 2 x ? 1 是关于x
2 2

3.方程2x(x-1)=18化成一般形式为 x2-x-9=0 其中常 x2 .一次项为 -x .二次项系数 数项为 -9 .二次项为 为 1 .一次项系数为 -1 .

一元二次方程的根 能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解. 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. -7 1.已知x=-1是方程x2ax+6=0的一个根.则a=___, 另一个根为__. 6
2 2 2.若关于X的一元二次方程 ?a ? 1?x ? x ? a ? 1 ? 0 的一 个根为0.则a的值为( B )

A.1

B.-1

C. 1或 -1

1 D. 4

3、一元二次方程ax2 +bx+c =0, 若x=1是它的一个根,则a+

b+c= 0 . 若a-b+c=0,则方程必有一根为 -1 .

4.一元二次方程3x2=2x的解是

2 x1=0,x2= 3

.

5.一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0有一解为0.则m的 m=-2 值是 . 6.已知m是方程x2-x-2=0的一个根那么代数式m2-m = 2 . 7.一元二次方程ax2+bx+c=0有一根-2,则

4a+c 的值为 2 b

一元二次方程的根的情况 不求根,判别一元二次方程 4 x 2 ? 3x ? 2 ? 0根的情况.
? b 2 ? 4ac ? ?23 ? 0
2

所以此方程没有实根.

一元二次方程ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0)

b 2 ? 4ac ? 0,

方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根

b ? 4ac ? 0,
2

b ? 4ac ? 0,
2

方程没有实数根

试一试

1.已知x=-1是方程x2 -ax+6=0的一 -7 -6 个根,则a=___另一个根为__
2.若关于X的一元二次方程 (a - 1) x 的一个根为0,则 a 的值为(B ) A.1 B.-1 C.1或-1
2

+ x + a - 1= 0
1 D. 2

2

解一元二次方程的方法
一元二次方程的几种解法 (1)直接开平方法 (2)因式分解法 (3)配方法 (4)公式法

一元二次方程的解法:(配方法) 例:(2)

x ? 6x ? 7 ? 0
2

配方时应注意 ①先将二次项系数 转化为1 ②两边都加上一次 项系数一半的平方

解: x2 ? 6 x ? ?7 2 x ? 6 x ? 9 ? ?7 ? 9 — — 2 ? x ? 3? ? 2

x?3? ? 2
x1 ? ?3 ? 2 , x2 ? ?3 ? 2

注:当一元二次方程二次项系数为1且一次项系数
为偶数时常用配方法比较简便。

配方法解一元二次方程的解题过程
1.把方程化成一元二次方程的一般形式.
2.把二次项系数化为1.

3.把含有未知数的项放在方程的左边,不含未知 数的项放在方程的右边.
4.方程的两边同加上一次项系数一半的平方. 5.方程的左边化成完全平方的形式,方程的右边化 成非负数.

6.利用直接开平方的方法去解.

一元二次方程的解法: (公式法)
例:(3) 2 x ? 3x ? 4 ? 0 解: ? a ? 2, b ? ?3, c ? ?4
2

?b ? 4ac ? ? ?3? ? 4 ? 2 ? ? ?4 ?
2
2

? 9 ? 32 ? 41
?x ? ? ? ?3? ? 41 2? 2

3 ? 41 3 ? 41 ? x1 ? , x2 ? 4 4 注:当一元二次方程二次项系数不为1且 难以用因式分解时常用公式法比较简便。

公式法解一元二次方程的解题过程 1. 把方程化成一元二次方程的一般形式 2. 写出方程各项的系数(系数包括前面符号)
3. 计算出b2-4ac的值,看b2-4ac的值与0的关 系,若b2-4ac的值小于0,则此方程没有实 数根 。 4. 当b2-4ac的值大于、等于0时, 代入求根 公式 计算出方程的解

-b ? b ? 4ac 2 x= (b ? 4ac ? 0) 2a
2

一元二次方程的解法: (因式分解法)
例:(y ? 2) 2

? 3( y ? 2)

解:原方程化为 (y+2) 2﹣3(y+2)=0 (y+2)(y+2-3)=0 把y+2看作一个 (y+2)(y-1)=0 整体,变成 a×b=0形式(即 y+2=0 或 y-1=0 两个因式的积 ∴y1=-2 y2=1

的形式)。
注:在解一元二次方程时, 要先观察方程,选择适当的方法.配 方法、公式法适用于任何一个一元二次方程,但公式法首先 要将方程转化为一般式,而因式分解法只适用于某些一元二 次方程.总之它 的基本思路就是将二次方程转化为一次方程, 即降次.

因式分解法的解题过程 1. 移项,使方程的右边为0。

2. 将方程左边分解因式 。
3. 令每个因式分别为零,得到两个一元 一次方程。 4. 解这两个一元一次方程,它们的解就 是原方程的解。

1、用配方法解方程2x2 +4x +1 =0,配方后得到的方程 2(x+1)2 =1 是 。 2. 若9a
m2 ?4 m? 4

与5a 是同类项,则m ?5或-1
9

3.已知方程:5x2+kx-6=0的一个根是2,则k=_____ -7
它的另一个根______. -3/5
4.方程2 x 2 -mx-m2 =0有一个根为 – 1,则m= 2或-1 ,另一个根

为 2或1/2



5. 已知关于 x 的一元二次方程ax2 ? bx ? c ? 0, 且 满足 b ? a ? c, 则至少可以确定方程的一个根为(B ). A.1 B. ? 1 C. 0 D. 不能确定 6.已知 1 是关于 x 的一元二次方程(2a ? b) x 2 ? (2b ? c ) x ? 2c ? a ? 0的根, 则a, b, c满足的关系是(A ). A. a ? b ? c ? 0 B. a ? b ? c ? 0
2

C. 2a ? b ? 2c ? 0

D. a ? 2b ? 2c ? 0

7. 若关于 x 的一元二次方程 x ? px ? 1 ? 0 的一个 实数根的倒数恰是它本身, 则 p 的值为(C ) A. ? 2 B. 2 C. ? 2 D. ? 1

4 4. 已知 2 是方程 x ? c ? 0 的一个根, 则 c ? _____.
2

5. 关于 x 的一元二次方程 x 2 ? tx ? 2t ? 0 的一个根 6.已知 m 为方程 x ? x ? 6 ? 0 的一个根, 则代数式 m 2 ? m 的值等于 ________ . -6 7.已知 2 ? 3 是关于 x 的一元二次方程x 2 ? 4 x ? c ? 0

8 是 4 , 则 t 的值是 _______. ? 3 2

1 的一个根, 则 c 的值是 ______. 8. 已知: (a2+b2)(a2+b2-3)=10, 求 a2+b2 的值。
分析 : 设x ? a ? b , 则原方程化为: x ? 3 x ? 10 ? 0
2 2 2

解得 : x ? 5, 或x ? ?2 即 : a ? b ? 5, 或a ? b ? ?2(舍去)
2 2 2 2

1.已知a, b, c是?ABC的三条边的长, 若关于x的一元二次方程   ? b) x ? 2(b ? a ) x ? (a ? b) ? 0有两个相等的实数根, 则 (c
2

提高应用

 ?ABC是等腰三角形.
证明: b ? a) ? (c ? b)(a ? b) [( 2 ] 4
2

  (b ? 2ab ? a ) (ac ? ab ? bc ? b ) ?4 ?4
2 2 2

  (a ? ab ? ac ? bc) 4[a(a ? b)? c(a ? b) ?4 ? ] ]
2

  (a ? b)(a ? c) ?4

? 方程有两个相等的实数根  (a ? b)(a ? c) 0 ?4 ? ? a ? b ? 0或a ? c ? 0   a ? b,a ? c(c ? b ? 0) ? ? ?ABC是等腰三角形

2.k为何值时, 二次三项式 x ? (k ? 1) x ? k ? 0
2

 是关于x的完全平方式.
解:若方程 x ? k ? 1 x ? k ? 0有两个相等的实数根,则 ( )
2

  k ?1 ? 4

k ? k ? 2k ? 1 ? 0 ( )
2 2

? k ? 1  当k ? 1时, ?

x

2

? k ? 1 x ? k ? x ? 2 x ? 1 (x ?1 ( ) ? )
2 2

是关于x的完全平方式。

小结:
本节课我们主要复习了一元二次方程的定义和解 法,要求大家掌握以下几点:

1.会判断一个方程是不是一元二次方程,能够熟 练地将一元二次方程化为一般形式,并准确地 写出其各项的系数。 2.能灵活运用一元二次方程的四种基本解法求方 程的解。 3.能根据方程根的定义解决有关问题。

第22章讲练 ┃ 试卷讲练 【针对第6题训练 】 1.一元二次方程x(x-2)=2-x的根是( D ) A.-1 B.2

C.1和2 D.-1和2
2.方程x(x-1)=2的解是( D ) A.x=-1 B.x=-2 C.x1=1,x2=-2 D.x1=-1,x2=2

数学·新课标(RJ)

第22章讲练 ┃ 试卷讲练

2.若关于x的一元二次方程x2 +2x+a=0有实数根,则a的 a≤1 取值范围是________. 3.如果方程ax2 +2x+1=0有两个不相等的实根,则实数a a<1且a≠0 的取值范围是____________________.

第22章讲练 ┃ 试卷讲练

3.已知关于x的一元二次方程x2-x-m=0有两个不相等的
1 m>- 4 实数根,则实数m的取值范围是________.

阶段综合测试一┃ 试卷讲练 【针对第8题训练 】 1.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一 张表示留念,全班共送1035张照片,如果全班有x名同学,根据 题意,列出方程为( B ) A.x(x+1)=1035 B.x(x-1)=1035

C.x(x-1)=103532
D.2x(x+1)=1035

阶段综合测试一┃ 试卷讲练

2.生物兴趣小组的同学将自己收集的标本向本组其他成员

各赠送一件,全组共互赠了182件,如果全组有x名同学,则根 x(x-1)=182 据题意列出的方程是________________.
3.某地举行一次乒乓球比赛,在女子单打的第一轮比赛中, 每一个选手都和其他选手进行一场比赛,优胜者将参加下一轮 比赛. 45 (1)如果第一轮有10名选手参加比赛,则一共要进行________ 场比赛;

阶段综合测试一┃ 试卷讲练
n?n-1? (2)如果第一轮有n名选手参加比赛,则一共要进行________ 2 场比赛;

(3)如果第一轮共进行了300场比赛,则参加这次乒乓球女子 单打比赛的选手共有多少名? 25名

阶段综合测试一┃ 试卷讲练

2.如图JD1-2所示,某幼儿园有一道长为16米的墙,计划

用32米长的围栏靠墙围成一个面积为 120平方米的矩形草坪 ABCD.求该矩形草坪BC边的长.

图JD1-2

阶段综合测试一┃ 试卷讲练
解:设 BC 边的长为 x 米,根据题意,得 32-x x· =120, 2 解得 x1=12,x2=20. ∵20>16, ∴x2=20 不合题意,舍去, ∴x=12. 答:该矩形草坪 BC 边的长为 12 米.

阶段综合测试一┃ 试卷讲练 【针对第23题训练

】 1.某旅游景点三月份共接待游客25万人次,五月份共接待 游客64万人次,设每月的平均增长率为x,则可列方程为( A ) A.25(1+x)2=64 B.25(1-x)2=64 C.64(1+x)2=25 D.64(1-x)2=25

1. 一 元 二 次 方 程 x2+2x+4=0 的 根 的 情 况 是 ( D) A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 2. 方程x2-3x+1=0的根的情况是( A )

A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D.只有一个实数根
3.下列一元一次方程中,有实数根的是 (C ) A.x2-x+1=0 C.x2+x-1=0 B.x2-2x+3=0 D.x2+4=0

例2:在

16x

3

2 ? 、 3 、 ?

a 3 0.5 、 x 、

25

中,最简二次根式的个数是 ____. 1

例9:某公司成立3年以来,积极向国家上交 利税,由第一年的200万元,增长到80 0万元,则平均每年增长的百分数是___ 100% _

2.关于 的一元二次方程 ? k ? 1? x x

k 2 ?1

? 6x ? 8 ? 0

x1 ? 1, x2 ? ?4 的解为_________________。

例10:已知m是方程x2-x-1=0的一个根 ,则代数m2-m的值等于 1

二次根式估算
1:写出一个3到4之间的无理数 。

3:比较

5 ?1 和0.5的大小。 2

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1、下列根式中,属于最简二次根式的是( A. 9 B. 3a C. 3a
2

B)

a D. 3

2、下列各组二次根式中是同类二次根式的是(

c)

1 A. 12与 2 1 C. 3与 3

B. 18与 27

D. 45与 54

1 1 3、在 15 , , 1 , 40 中最简二次根式的个数是( A ) 2 6
A. 1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

4、下列各式正确的是( A.

C



a ?a
2
2

B. a ? ? a
2

C. a

? a

D. a ? a
2

2

5、下列运算中,错误 的是( .. A.

D)
1

2? 3 ? 6

2 ? B. 2 2
2

C. 2 2 ? 3 2 ? 5 2 D. ( 2 ? 3 ) ?

2? 3

7、小明在作业本上做了以下四题,做错的题是( A. 16a 4 ? 4a 2 ;

D)

B. 5a 10 a ? 5 2a ;

1 2 1 ? a ? ? a ; D. 3a ? 2a ? a . C. a a a

10、计算: ( 3 ? 1)( 3 ? 1) =



11、计算

32 ? (2 ? 2)2

12、计算:

?

2 ?1

??

( ) 2 ?1 + 2 ? 1
2

?

(1)你能举出生活中的中心对称图形吗?
(2)下面的扑克牌中,哪些牌的牌面是中心对
称图形?

判断下列图形是中心对称图形还是轴对 称图形?是中心对称图形指明对称中心。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

已知:下列命题中真命题的个数是( B ) ①关于中心对称的两个图形一定不全等 ②关于中心对称的两个图形是全等图形 ③两个全等的图形一定关于中心对称

A 0

B 1

C 2

D 3

1.平面图形的旋转一般情况下改变图形的( A.位置 B.大小 C.形状 D.性质



2. 九点钟时,钟表的时针与分针的夹角是(
A.30° B.45° C.60° D.90°



4.把一

个正方形绕它的中心旋转一周和原来的图形重合______

5.钟表上的时针随时间的变化而转动,这可以看做的数学上的____

6.钟表的分针经过20分钟,旋转了

° .

7.等边三角形至少旋转

°才能与自身重合.

8.如图,△ABC以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转60°,得到
A

的△ABB1是

三角形。
B C1

B1

4:下列四个多边形: ①等边三角形;②正方形;③正五边形; ④正六边形. 其中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) A.①② B.②③ C.②④ D.①④

2.在①线段、 ②角、 ③等腰三角形、 ④等腰梯 形、⑤平行四边形、 ⑥矩形、 ⑦菱形、 ⑧正方形 ①②③④⑥⑦⑧⑨ 和⑨圆中,是轴对称图形的有______________,是 ①⑤⑥⑦⑧⑨ 中心对称图形的有____________,既是轴对称图形 又是中心对称图形的有____________. ①⑥⑦⑧⑨

在26个英文大写正体字母中,哪些字母 是中心对称图形?哪些字母是轴对称图形?

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

1.若关于x的一元二次方程

(m ? 1) x ? 5 x ? m ? m - 2 ? 0
2 2

的常数项为0,则m=______.

解方程:

4(x+1)2 = 9(2x-5)2
(3x ? 2) ? 4(3x ? 2) ? 4 ? 0
2

3x( x ? 1) ? x ? 1 ? 0

2 x ? 5 x ? _________? 2( x ? ___)
2 2

2

3x ? 4 x ? _________? 3( x ? ___)

2

? 课时训练
1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况 是 ( D ) A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 2.方程x2-3x+1=0的根的情况是( A ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D.只有一个实数根 3.下列一元一次方程中,有实数根的是 ( C ) A.x2-x+1=0 C.x2+x-1=0 B.x2-2x+3=0 D.x2+4=0

1.关于x的方程 ?m ? 3? x ? nx ? m ? 0 在什么条件下是一元二次方程? 在什么条件下是一元一次方程?
2

课堂练习

1)已知关于x的一元二次方程 (a ? 1) x ? x ? a ? 1 ? 0,的一根是0
2 2

则a的值为?B?
A.1 B.-1 C.1或-1 D.0

?

1)若a ? b ? c ? 0, 则一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0必有一解为 1 . 2)若a ? b ? c ? 0, 则一元二次方程
2

ax ? bx ? c ? 0必有一解为 .
2

-1

3)若4a ? 2b ? c ? 0, 则一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0必有一解为2 .
2

4)根据下表的对应值, 试判断一元二次 方程ax ? bx ? c ? 0的一解的范围是?C?
2

x
ax 2 ? bx ? c

3.23 -0.06

3.24 -0.02

3.25 0.03

3.26 0.07

A 3<x <3.23 C 3.24<x <3.25

B 3.23<x <3.24

D 3.25<x <3.26

2.用配方法解一元二次方程x2-4x=5的过程中,配 方正确的是( (A)(x+2)2=1 (C)(x+2)2=9 ) (B)(x-2)2=1 (D)(x-2)2=9

【解析】选D.由x2-4x=5,得x2-4x+4=5+4,即(x2)2=9.

4、若关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+k=0的一个

根是-2,则另一个根是______.
【解

析】把x=-2代入方程x2+(k+3)x+k=0得(-

2)2+(k+3)×(-2)+k=0,
解得k=-2,

∴此方程为x2+x-2=0,
解得x1=1,x2=-2, ∴此方程的另一个根为x=1. 答案:1

3.钟表的分针经过40分钟,那么它转过的角度是( (A)120° (B)240° (C)150° (D)160°

)

【解析】选B.分针1分钟旋转6°,那么40分钟就旋转了240°.

(1)(2010· 桂林)一元二次方程 x2+3x-4=0 的解是( A.x1=1,x2=-4 B.x1=-1,x2=4 C.x1=-1,x2=-4 D.x1=1,x2=4

)

(2) 已知方程 x2-5x+2=0 的两个解分别为 x1、x2,则 x1+x2-x1·2 的值为( x A.-7 B.-3 C.7 D.3

)

(3)(2010· 上海)已知一元二次方程 x2+x-1=0,下列判断正确的是( A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定

)

(4)(2009· 深圳)用配方法将代数式 a2+4a-5 变形,结果正确的是( A.(a+2)2-1 B.(a+2)2-5 C.(a+2)2+4 D.(a+2)2-9

)

1.方程(x-1) 2=4 的解是 x1=3,x2=-1.
2.已知 x=1 是关于 x 的一元二次方程 2x2+kx-1=0 的一个根,则实数 k 的值是 k= -1.

3.方程 x(x+1)=5(x+1)的解是 x1=5,x2=-1.
4.将一元二次方程 x2-6x-5=0 化成(x+a)2=b 的形式,则 b=14.

5.已知关于 x 的一元二次方程 x2-2(k+r)x+d2=0 没有实数根,其中 k、r 分别为⊙O1、 ⊙O2 的半径,d 为此两圆的圆心距,则⊙O1 与⊙O2 的位置关系为外离.

4.(2010· 杭州)方程 x2+x-1=0 的一个根是( ) 1- 5 -1+ 5 A.1- 5 B. C.-1+ 5 D. 2 2

-1± 1+4 -1± 5 -1+ 5 -1- 5 【解析】x2+x-1=0,x= = ,即 x1= ,x2= . 2 2 2 2

【答案】D

18.(2011 中考预测题)已知 x=-1 是方程 x2+mx-5=0 的一个根,则 m=________, 方程的另一根为________. 【解析】把 x=-1 代入方程,得(-1)2-m-5=0,∴m=1-5=-4,∴原方程为 x2- 4x-5=0,(x-5)(x+1)=0,∴x-5=0 或 x+1=0,∴x1=5,x2=-1,即另一根为 x=5.

【答案】-4 x=5

(2010· 济南)如图所示,某幼儿园有一道长为 16 米的墙,计划用 32 米长的围栏靠 墙围成一个面积为 120 平方米的矩形草坪 ABCD.求该矩形草坪 BC 边的长.

【点拨】列一元二次方程解决实际问题时,要善于读取题中信息,找出表示题目全部意 义的等量关系. 【解答】设该矩形草坪 BC 边的长为 x 米,根据题意,得 32-x x· =120. 2 解得 x1=12,x2=20. ∵20>16,∴x=20 不合题意,舍去. 答:该矩形草坪 BC 边的长为 12 米.

一、选择题(每小题6分,共30分) 1.(20102常州中考)下列运算错误的是( )

【解析】选A.在该题中 2 和 3 是不能合并的,所以A是错的.

2.(20102山西中考)估算 31 -2的值( (A)在1和2之间 (B)在2和3之



)

(C)在3和4之间

(D)在4和5之间

【解析】选C.∵25<( 31)2=31<36,∴5< 31<6,∴3< 31

-2<4,所以答案选C.

3. (-3) 2 的值为( (A)3 (B)-3

) (C)±3 (D)-9

【解析】选B. - (-3) 2 =-|-3|=-3,答案选B.

4.(20102中山中考)下列式子运算正确的是(

)

【解析】选D. 2 和 3是不能合并的,所以A是错的; 8 =2 2 , 所以B是错的; ,所以C是错的.答案选D.

二、填空题(每小题6分,共24分) 6.(20102青岛中考)化简: 48- 3 =_____. 【解析】 答案:

7.若实数x,y满足 x+2 +(y- 3 )2=0,则xy的值是_____. 【解析】由题意可得x+2=0,y- 3 =0. ∴x=-2,y= 3 ,∴xy=-2 3 . 答案:-2 3

8.化简:(2+ 5 )2

011(2-

5)

2 010=_____. 010(2- 010

【解析】原式=(2+ 5 )(2+ 5 )2 =(2+ 5 )[(2+ 5 )(2- 5)]2 =(2+ 5 )(4- 5)2 答案:2+ 5
010=2+

5)

2 010

5.

13.(12分)观察下列分母有理化的计算:

从计算结果中找出规律,并利用这一规律计算:

【解析】

类型三 二次根式的运算
a2b (1)化简: a( a+2)- . b 1- (2)计算:( ) 1-( 5-2)0+ 18-(-2)2· 2. 3 1 1 (3)计算:(3 18+ 50-4 )÷ 32. 5 2

【点拨】二次根式的加减实质是合并同类二次根式,因而应先对式子中的每个二次根式 进行化简,然后对同类二次根式进行合并;二次根式的乘除实质是二次根式 ab = a · b a a (a≥0,b≥0)和 = (a≥0,b>0)的逆运用. b b

【解答】(1)原式=a+2 a-a=2 a. (2)原式=3-1+3 2-4 2=2- 2. 1 2 (3)原式=(333 2+ 35 2-43 )÷ 2=(9 2+ 2-2 2)÷ 2=8 2÷ 2=2. 4 4 4 5 2

要使 3-x+

1 2x-1

有意义,则x应满足(

)

1 1 A. ≤x≤3 B.x≤3且x≠ 2 2 1 1 C. <x<3 D. <x≤3 2 2

?3-x≥0, 【解析】要使原式有意义,需满足? ?2x-1>0,
1 解得 <x≤3. 2

1. 9的值等于( ) A.3 B.-3 C.±3 D. 3
答案:A

a+2 2.要使式子 有意义,a的取值范围是( a A.a≠0 B.a>-2且a≠0 C.a>-2或a≠0 D.a≥-2且a≠0
答案:D
3.估算 31-2的值( ) A.在1和2之间 B.在2和3之间 C.在3和4之间 D.在4和5之间

)

答案:C

4.下列运算错误的是( ) A. 2+ 3= 5 B. 2· 3= 6 C. 6÷ 2= 3 D.(- 2)2=2

答案:A
5.化简 3- 3(1- 3)的结果是( A.3 B.-3 C. 3 D.- 3 )

答案:A 6.2的平方根是________.
答案:± 2
7.若x、y为实数,且|x+2|+ y-3=0,则(x+y) 2 010的值为________.

答案:1

8.化简: 48- 3=________. 答案:3 3
9.化简: 1-x+ x-1=________.

答案:0
10.计算: 83 2=________; 8- 2=________. 答案:4 2

11.已知x= 2-1,求x2+3x-1的值.
解:方法一:当x= 2 -1时,x2+3x-1=( 2 -1)2+3( 2-1)-1=2-2 2 +1+3 2 -3-1= 2-1 方法二:∵x= 2-1,∴x+1= 2,∴(x+1) 2=( 2)2=2. 即x2+2x+1=2,∴x2+2x=1. ∴x2+3x-1=x2

+2x+x-1=1+x-1=x= 2-1.

一、选择题 a+2 有意义,a的取值范围是( a A.a≠0 B.a>-2且a≠0 C.a>-2或a≠0 D.a≥-2且a≠0 1.要使式子
解析:要使

)

a+2 ?a+2≥0 有意义,则? ,∴a≥-2且a≠0. a a≠0 ?

答案:D
2.若a<1,化简 ?a-1? 2-1=________.( A.a-2 B.2-a C.a D.-a )

解析:考查 a2=|a|的性质,原式=|a-1|-1=1-a-1=-a.

答案:D

3.下列计算正确的是( ) A. 20=2 10 B. 2· 3= 6 C. 4- 2= 2 D. ?-3?2=-3

解析:考查二次根式的性质: 2· 3= 233= 6.

答案:B
4.若a、b为实数,且满足|a-2|+ -b2=0,则b-a的值为( A.2 B.0 C.-2 D.以上都不对 )

解析:考查 a≥0,|a|≥0.∵|a-2|+ -b2=0,∴a=2,b=0,∴b-a=-2.
答案:C

7.下列运算正确的是( ) -1 A.3 ÷ 3=1 B. a2=a 1 1 C.|3.14-π|=3.14-π D.( a3b)2= a6b2 2 4 1 - 解析:A项3 1÷ 3= ,A错; a2=|a|,B错;|3.14-π|=π-3.14,C错;利用积的乘方法 9 则可知D正确.

答案:D
8.下列二次根式中,与 3是同类二次根式的是( 2 3 A. 18 B. 27 C. D. 3 2 )

解析:考查同类二次根式的概念. 答案:B

二、填空题 11.16的算术平方根是________.
解析: 16=4.

答案:4
12.计算: 8- 1 =________. 2

1 3 解析:原式=2 2- 2= 2. 2 2
3 答案: 2 2

13.计算: 33 6- 2=________. 解析:原式=3 2- 2=2 2. 答案:2 2

一、选择题(每小题6分,共30分) 1.(20102常州中考)下列运算错误的是( )

【解析】选A.在该题中 2 和 3 是不能合并的,所以A是错的.

2.(20102山西中考)估算 31 -2的值( (A)在1和2之间 (B)在2和3之间

)

(C)在3和4之间

(D)在4和5之间

【解析】选C.∵25<( 31)2=31<36,∴5< 31<6,∴3< 31

-2<4,所以答案选C.

3. (-3) 2 的值为( (A)3 (B)-3

) (C)±3 (D)-9

【解析】选B. - (-3) 2 =-|-3|=-3,答案选B.

4.(20102中山中考)下列式子运算正确的是(

)

【解析】选D. 2 和 3是不能合并的,所以A是错的; 8 =2 2 , 所以B是错的; ,所以C是错的.答案选D.

明辨是非
判断下列方程是不是一元二次方程,若不是一元二 次方程,请说明理由? 1、(x-1)2=4 √ 3 3 2、x2-2x=8 4、x2=y+1 6、ax2 + bx + c=1 √ 3 3

3、x2+

1 =1 x

5、x3-2x2=1

?m ? 2?x 2 ? ?m ? 2?x ? 2 ? 0 是关于x的一元二次 1、若
方程则m ≠- 2 。
m2 ?2

2、若方程 (m ? 2) x

? (m ? 1) x ? 2 ? 0

是关于x的一元二次方程,则m的值为
3.若x=2是方程x2+ax-8=0的解,则a= 2 ;

2



4、写出一个根为2,另一个根为5的一元二次方 程 。

1、已知一元二次方程(x+1)(2x-1)=0的解是( D ) (A)-1 (B)1/2 (C)-1或-2 (D)-1或1/2

2、已知一元二次方程x2=2x 的解

是( D )
(A)0 (B)2 (C)0或-2 (D)0或2

用适当的方法解下列方程

?1? x

2

? 3x ? 0

? 2 ? (2 x ? 1)

2

?9 ? 0

? 3? x

2

? 4x ? 1

? 4? x

2

? 3x ? 1 ? 0

选择适当的方法解下列方程
16 2 (1) x ? 1 25
2

(2) 5x ? 2x (3)(x - 2) ? 9x
2
2

2

(4) 3x ? 1 ? 4x (5)x(2x-7)=2x (6)x2 +4x=3
(7)x2-5x=-4 (8)2x2-3x-1=0
(9) (x-1)(x+1)=x

(10) x (2x+5)=2 (2x+5) (11) (2x-1)2=4(x+3)2 (12) 3(x-2)2-9=0

已知方程x2+kx = - 3 k=

的一个根是-1,则

4 , 另一根为______ x=-3

若a为方程 x ? x ? 5 ? 0 的解,则 a ? a ? 1 的值
2

2



6

解方程:

? y ? 2? ? ?3 y ? 1?
2

2

解方程:

3 x? x ? 2 ? ? x ? 2

下列各式中,是二次根式的有几个?
(1) 4 , (2) 6, (3)
(5)
4

? 18 , -ab (a,b 异号) 6

(4) - 2x (x﹥0), (6) a ?2 ,
2

(7)

?

x取何值时,下列各式有意义?

√ √

a-1

a2+4



a+1 +√ 3-a

已知a.b为实数,且满足 a ? 2b ? 1 ? 1 ? 2b ? 1 求a与b 的值.

随堂练习:
已知 a+2 +|3b-9|+(4-c)2=0, 求 2a-b+c 的值。
解:∵ a+2 ≥0、|3b-9|≥0、(4-c) 2≥0, 又∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) =0, ∴a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。 ∴a= -2 , b= 3 ,c= 4。 ∴2a-b+c=23(-2) -3+4 = -3。
2

(

4)

2

?4

( 0.01 ) 2 ? 0.01

1 2 ( ) 3

1 ?3

( 0 )2 ? 0

观察上述等式的两边, 你有什么结论?

? a? ? a
2

(a≥0)

说出下列各式的结果

3 (1)( 3) ? ___
2

1 1 2 3 (2)( 3 ) ? ____ 2 2

5 (3)( ? 5) ? ____
2

3 2 6 (4)( ?2 ) ? ____ 2

在实数范围内因式分解:4 x - 3
解: ∴ ∵ 3?
2

2

? 3?
2

2

4 x ? 3 ? ( 2 x) ? 3

? ?

2

? (2 x ? 3)(2 x ? 3)

?

再来算一算:
1 (1) ( ?1) ? ____
2

(2) (-5)2 = √

5

1 2 1 2 (3) ( ?2 ) ? ____ 3
3

讨论与思考
将下列各式化简:

?1?

?1 ? 2 ?
2

2

?

?2? ?? x ? 1?

?
2

(x>0 )

?3?

x ? 2 xy ? y ?
2

(x﹤y)

12 ? n为一个整数, 求自然数n的值.

( 2005年· 河南省)实数p在数轴上的位

置如图所示,化简 (1 ? p ) ?
2

?

2? p

?

2

? 1 ? p ? (2 ? p) ? p ?1 ? 2 ? p ?1

( 2)已知a, b, c为△ ABC的三边长, 化简 ( a ? b ? c) ? (b ? a ? c )
2 2

某百货大楼服装柜在销售中发现:“宝乐” 牌 童 装 平 均 每 天 可 售 出 20 件 , 每 件 盈 利 40 元.为了迎接“十一”国庆节,商场决定采取 适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,尽 快减少库存.经市场调查发现:如果每件童装 降价4元,那么平均每天就可多售出8件.要想 平均每天在销售这种童装上盈利1200元,那么 每件童装应降价多少?

第22章讲练 ┃ 试卷讲练
? x? ? 20+83 ?=1200, x 元,则(40-x)· ? 4? ? ?

解:设每件童装应降价 解得 x1=20,x2=10.

因为要尽快减少库存,所以 x

=20. 答:每件童装应降价 20 元.

如图22-2,在宽为20米、长为30米的矩形地 面上修建两条同样宽的道路,余下部分作为耕 地.若耕地面积需要551米 2 ,则修建的路宽应 为多少米?

图22-2

数学·新课标(RJ)

第22章讲练 ┃ 试卷讲练
解:图形可以转化为如图 22-3 所示: 设道路的宽为 x 米,依题意,得 (20-x)(30-x)=551, 解得 x1=1,x2=49. 由于 x=49 不符合题意,应舍去. 因此,修建的路宽应为 1 米.(此题还有其他解法)

? 1 下列方程中是关于x的一元二次方程的 是( )

1 ? A x ? x2 ? 0 2 ? B ax ? bx ? c ? 0
2

? C ( x ?1)( x ? 2) ? 1 2 2 ? D 3x ? 2 xy ? 5 y ? 0

? 4 x ? 2 ? 0 是关于x的 2.已知 (m ? 1) x 一元二次方程,则m =_______________.

m2 ?1

3.将方程 3x(x-1)=5(x+2) 化为一元二次 方程的一般式是 _________________________.

? ? ? ?

4 一元二次方程 x2=2x的根是 ( ) A.x=2 B. x=0 C.x1=0,x2=2 D. x1=0,x2= -2 5 已知方程x2+bx+a=0有一个根是- a(a≠0),则是a - b的值为( ) ? A.-1 B. 0 C.1 D.2 ? 6 已知关于x的方程x2+mx-6=0的一个根 为2,则m=_____,另一个根是______.

用合适的方法解下列方程
? ? ? ? (1) (2x+1)2-25=0 (2) 2x2-7x-2=0 (3)(x+2)2=3(x+2) (4) x2+x-6=0

? ? 考点三 一元二次方程根的情况 ? 一元二次方程ax2+bx+c(a≠0)根的情况与 b2-4ac的值有关. 两个不相等 ? 1.b2-4ac>0?方程有___________的实数 根. 两个相等 ? 2.b2-4ac=0?方程有___________的实 数根. 没有 ? 3.b2-4ac<0?方程____________实数 根.
[注意] b2-4ac≥0时一元二次方程有实数根.

? 1 下列关于x的一元二次方程中,有两个不 相等的实数根的方程是( ) A.x2+1=0 B.9x2-6x+1=0 C.x2-x+2=0 D.x2-2x-1=0

1.(2011?扬州)某公司4月份的利润为160万元, 要使6月份的利润达到250万元,则平均每月增 长的百分率是_______.

4. (2011?宿迁)如图,邻边不等的矩形花圃 ABCD,它的一边AD利用已有的围墙,另外三边 所围的栅栏的总长度是6m.若矩形的面积为4m2, 则AB的长度是 ____m(可利用的围墙长度超过 6m).

5.(2011?芜湖)如图,用两段等长的铁丝恰好可 以分别围成一个正五边形和一个正六边形,其中正 五边形的边长为(x2+17)cm,正六边形的边长 为(x2+2x)cm (其中x>0).求这两段铁丝的 总长.


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