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新人教版八年级上册11.3.2多边形的内角和及外角和

发布时间:2013-09-18 12:27:29  

三角形的内角和是180°,那么四边 形的内角和是多少呢?五边形呢?你 是如何得到这个结论的?

探究
任意四边形的内角和等于多少度 你是怎样得到的?
A D

B

C

D
A B
=360 o

D A B C

D A B
=360 o

P

C

2×180 o

E

C

3×180 o -180o =360 o

4×180 o -360o

四边形的内角和是360o

探究
请你利用分割的方 法探索五边形的内 角是多少?

A E

方法1

B
D

C 5边形内角和=3×180°=540°

方法2

A

180°× 5=900°? 五边形内角和540°?

O

E

B

D

C

180°× 5 – 360°= 540°

方法3 把一个五边形分成几个三角
形,还有其他的分法吗? A
E

B

D

C

F

180° × 4 – 180° = 540°

怎样求多边形内角和的?

多边形

边 数

分成三 角形的 个数

图形

内角和

计算规律

三角形 3 四边形 4 五边形 5

1
2 3 4 5

180° 1 ×180° 360° 2 ×180° 540° 3 ×180° 720° 900°
4 ×180° 5 ×180°

六边形 6 七边形 7

n边形



n



n-2





(n-2) · 180°



(n-2) · 180°



结论:

1.n边形内角和(n-2)×180°(n≥3) 2.已知内角和求几边形:内角和÷180+2

3.n边形从一个顶点出发的对角线有(n-3)条 (n≥3)

n(n ? 3) 4.n边形共有对角线 2

条(n≥3)

……..
三角形 四边形 五边形 六边形
八边形

对角线是解决多边形问题的常用辅助线
多边形问题 (未知) 转化 三角形问题 (已知)

练一练:

(1)求十边形的内角和的度数。

解:(10-2)×180°=8 ×180°=1440°
答:十边形的内角和是1440°
(2)已知一个多边形的内角和为720 ,则这个 6 多边形是______边形 (3)在五边形ABCDE中,若∠A=∠D=90 ,且 o 80 ∠B:∠C:∠E=3:2:4,则∠C的度数为_______
o o

(4)过多边形一个顶点的所有对角线 将这个多边形分成3个三角形,求:
①这个多边形的边数.
② 这个多边形内角和的度数.

5.填空(求边数)

(1)已知一个多边形的内角和为1080°, 8 则它的边数为__。
( 2 ) 已知一个多边形的每一个内角都是 156°,则它的边数为__。 15

8.如果一个正多边形的一个内角等于 A 150°,则这个多边形的边数是_____
A.12 B.9 C. 8 D.7

9.如果一个多边形的每一个外角等于 30°,则这个多边形的边数是_____ 12

能力训练:
1.多边形得边数增加一条时,其内角 和就增加 度
2.下列角度中,不能成为多边形内角和的是 ( ) A 540° B 280° C 1800° D 900° 3.一个九边形的八个内角都是140°,那么, 它的第九个内角为_______度.

4.五边形ABCDE中,若∠A = ∠D = 90°, ∠B:∠C :∠E = 3:8:7,求∠B,∠C ,∠E

5.随着多边形的边数n的增加,它的外角和 ( ) A.增加 B.减小 C.不变 D.不定

6.小明想设计一个内角和为2012°的多边形。 他的想法会实现吗? .

7. 一个六边形如图,已知AB∥DE,BC∥EF, CD∥AF,求∠A

+∠C+∠E的度数。 D E 解:如图所示,连结AD, 1 ∵AB∥DE, CD∥AF(已知) 2 ∴∠1=∠3,∠2=∠4(两 F 直线平行,内错角相等)
4

C

∴∠1+∠2=∠3+∠4, A B 即∠FAB=∠CDE,同理∠B=∠E,∠C=∠F ∵∠FAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F =(6-2)×180°= 720° ∴∠FAB+∠C+∠E= 1/2 ×720°=360°

3

A 1 B 2 7 6

外角:多边形的边与它 的邻边的延长线组成的 角。 5
10

C

8 3

9 4 D

外角

www.yousee123.com

从多边形的一个顶点A点出发,沿多边形的各边走过各点之后回 到点A.最后再转回出发时的方向。在行程中所转的各个角的和, 就是多边形的外角和。

问题
大家清晨跑步吗?小明就有每天坚持 跑步的好习惯,他怎样跑步呢?右图就是 小明清晨沿一个五边形广场周围的小跑, 按逆时针方向跑步的效果图. 请你观察并 思考如下几个问题:

1 A 5 E 4

B
2 C D

3
(1)小明每从一条街道转到下一条街道时,身 体转过的角是哪个角?在图中标出它们.

(2)他每跑完一圈,身体转过的角度之和是多少?
(3)在上图中,你能求出1+∠2+∠3+∠4+∠5 的大小吗?你是怎样得到的?

由于在这个运动过程中走了一周,也就是说所 转的各个角的和等于一个周角。 即:多边形的外角和等于360o

多边形的外角和
多边形 三角形
2
1

图形
1 3

多边形的外角和

3×180 -1×180 =360 4×180 -2×180 =360 5×180 -3×180 =360
6 5

o

o

o

四边形
五边形 六边形 n边形

2 3

4

o

o

o

2 3

1 5 4
1

o

o

o

2 3 4

6×180 -4×180 =360
o o

o

o

o o

n×180 -(n-2)×180 =360

从上表中得到了什么结论?

结论:任何多边形的外角和为360°

练习
(1)八边形的内角和为______,外角和为 _____ (2)已知一个多边形的每一个外角都是 72 ,求这个边形的边数为______
o

例1:一个多边形的内角和等 于它的外 角和的3倍,它 是几边形?
解:设它是n边形,则 (n-2).180=3×360 解得:n=8

答:它是8边形

例2:一个正多边形的每个内角比相邻外 角大36°求这个多边形的边数。 解:设一个外角为x°, 则内角为(x+36)° 根据题意得: x+x+36=180 x=72 360÷72=5 答:这个正多边形为正五边形。
www.czsx.com.cn

例3 一个六边形如图,已知AB∥DE,BC∥EF,

CD∥AF,求∠A+∠C+∠E的度数。
如图所示:可向两个方向分别延长AB, CD,EF三条边,构成△PQR。

P 1 D C

解:∵ DE∥AB
∴∠1=∠R,同理∠2=∠R ∴∠1=∠2, ∴∠CDE=∠FAB

E

F
Q 2 B

同理∠AFE=∠BCD,∠ABC=∠DEF A

R

∵∠FAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF+∠AFE= (6-2)×180°=720°

1×720°=360° ∴∠FAB+∠BCD+∠DEF= 2

(1)一个多边形的每一个外角都是600,这个多 边形是几边形?它的内角和等于多少度?

(2)有没有这样的多边形,它的

内角和是外角和 的3倍?
(3)一个多边形的每一个外角都相等,且每 一个内角都比外角大900,求这个多边形的边数 和每个内角的度数。

4、一个多边形的内角和是外角和的4倍,这是几边形。 5、四边形的四个内角的比是8:6:3:7,求它的四个内角。

6、一个多边形的每个内角都比相邻的外 角3倍多20度,求这个多边形的边数。 7、两个多边形的边数比是1:2,两个多边形的 内角和为1440度,求这两个多边形的边数。

拓展:一个六边形如图,已知 BA∥DE ,∠B= ∠ E,∠C=∠F

(1)求证:CD∥AF
(2)求∠A+∠C+∠E的度数.
E
1 2

D C

F
4

3

A

B

1. 三角形三个内角的度数分别是(x+y)o,

(x-y)o,xo,且x>y>0,则该三角形有一个 C 内角为 ( ) A、30O B、45O C、60O D、90O
2.一个正多边形每一个内角都是120o,这 C 个多边形是( ) A、 正四边形 B、正五边形 C、正六边形 D、正七边形

3.一个多边形木板,截去一个三角形后(截线不 经过顶点),得到新多边形内角和为2160o,则 原多边形的边数为( A ) A、13条 B、14条 C、15条 D、16条 4. 下列说法中,错误的是( D ) A、一个三角形中至少有一个角不大于60O; B、有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形; C、三角形的外角中必有两个角是钝角; D、锐角三角形中两锐角的和必然小于60O;

5.小明绕五边形各边走一圈,他共转了_ 360 __度。 6.下列正多边形(1)正三角形(2)正方形(3)正 五边形(4)正六边形,其中用一种正多边形能 镶嵌成平面图案的是 (1)、(2)、(4) ;

7.如下图,AD是BC边上的高,BE是 △ ABD 的角平分线,∠1=40°,∠2=30°,则 65° ∠C=_ 60° __∠BED= 。
A 1 2 E B D C

2、有一六边形,截去一三角形,内角和会发生 怎样变化?请画图说明。

内角和减少180O 内角和不变

内角和增加180O

把一个五边形切取一个角,将得到几边形? 此时多边形的内角与外角有什么变化?

8、两个多边形的边数比是1:2,两个多边形 的内角和为1440度,求这两个多边形的边数,

探究活动:











如图, ∠A=45°, ∠B=25 ° ∠C=30 ° ,则 ∠D= 100 ° 。

探究活动:




G E





C G

如图, ∠A+∠B+∠C+∠E+∠F = 180 ° 。

探究活动:
5 E


A 1
F 2

D B
3 C

如图, ∠A+∠B+∠C+∠E+∠F 180 ° = 。

G A F

B E

C

D

巩固一下: 求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数。
7×180O-2×360O=540O

(4)求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。

F H A B G

E M

D C

n边形从一个顶点出发的对角线有(n-3)条(n≥3) n边形共有对角线 n(n - 3) 条(n≥3)
2

n边形的内角和为(n-2) ×180°(n≥3)

任何多边形的外角和为360°


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