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2013版中考复习方案课件:第三单元函数及其图像(164张ppt)

发布时间:2013-09-18 13:30:50  

第10讲┃平面直角坐标系与函数

第10讲┃ 考点聚焦

考点聚焦
考点1 平面直角坐标系

坐标轴上的 点

x轴、y轴上的点不属于任何象限

对应关系

坐标平面内的点与有序实数对是 ________对应的 一一

第10讲┃ 考点聚焦

(1)各象限内点的坐标的特征 平 x>0 y>0 点P(x, y)在第一象限?__________ 面 点P(x, y)在第二象限?__________ x<0 y>0 内 点P(x, y)在第三象限?__________ x<0 y<0 点 P(x,y) 点P(x, y)在第四象限?__________ x>0 y<0 的 (2)坐标轴上点的坐标的特征 坐 标 点P(x, y)在x轴上?________________ y=0,x为任意实数 的 点P(x, y)在y轴上?________________ x=0,y为任意实数 特 点P(x, y)既在x轴上,又在y轴上?x、y同时 征 为零,即点P的坐标为(0, 0)

第10讲┃ 考点聚焦

考点2

平面直角坐标系内点的坐标特征

平行于 坐标轴 的直线 上的点的 坐标的特 (2)平行于y轴 平行于y轴(或垂直于x轴)的直线上的点的横坐 征 标相同,纵坐标为不相等的实数

(1)平行于x轴 平行于x轴(或垂直于y轴)的直线上的点的纵坐 标相同,横坐标为不相等的实数

第10讲┃ 考点聚焦

各象限 的平分 线上的 点的坐 标特征

(1)第一、三象限的平分线上的点 第一、三象限的平分线上的点的横、纵 坐标________ 相等

(2)第二、四象限的平分线上的点 第二、四象限的平分线上的点的横、纵 坐标________ 互为相反数

第10讲┃ 考点聚焦 考点3 点到坐标轴的距离

到x轴的 距离

点P (a,b)到x轴的距离等于点P 纵坐标的绝对值 ? ? ? 的________________即b? ? ?

到y轴的 距离

点P (a,b)到y轴的距离等于点P 横坐标的绝对值 ? ? 的________________即a? ? ? ?

第10讲┃ 考点聚焦

考点4 平面直角坐标系中的平移与对称点的坐标
在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右(或 向左)平移a个单位长度,可以得到对应点 点的平移 (x+a,y) (x-a,y) ______(或______);将点(x,y)向上(或下) 平移b个单位长度,可以得到对应点 ______或(______) (x,y+b) (x,y-b) 对于一个图形的平移,这个图形上所有点 图形的平 的坐标都要发生相应的变化,反过来,从 移 图形上点的坐标的某种变化也可以看出对 这个图形进行了怎样的平移

用 坐 标 表 示 平 移

第10讲┃ 考点聚焦

某 点 的 对 称 点 的 坐 标

关于 x轴 关于 y轴

点P (x,y)关于x轴 对称的点P1的坐标 (x,-y) 为________ 点P(x,y)关于y轴 对称的点P2的坐标 (-x,y) 为________ 点P(x,y)关于原点 对称的点P3的坐标 (-x,-y) 为________ 规律可简记为:谁 对称谁不变,另一 个变号,原点对称 都变号

关于 原点

第10讲┃ 考点聚焦

考点5

函数的有关概念
在某一变化过程中,始终保持 不变 ________的量叫做常量,数

值发生 ________的量叫做变量 变化 常量和变量是相对的,判断常量和变 量的前提是:“在某一变化过程 中”.同一个量在不同的变化过程中 可以是常量,也可以是变量,这要根 据问题的条件来确定

定义

常量与 变量 关系

第10讲┃ 考点聚焦

一般地,在某个变化过程中,如 果有两个变量x与y,对于x的每一 函数定义 个确定的值,y都有唯一确定的值 与之对应,我们称x是自变量,y 函数的 是x的函数 概念 对于一个函数,如果当自变量x= a 时,因变量y=b,那么b 叫做 自变量的值为a 时的函数值

函数值

第10讲┃ 考点聚焦

确定自变量的取值 范围的依据

(1)使解析式有意义 (2)使实际问题有意义

防错提醒

函数不是数,它是指某一变化 过程中的两个变量之间的关系

第10讲┃ 考点聚焦

考点6

函数的表示方法

表示方法

(1)列表法

(2)图象法

(3)解析法

使用指导

表示函数时,要根据具体情况选择适 当的方法,有时为了全面认识问题, 可同时使用几种方法

第10讲┃ 考点聚焦

考点7

函数图象的概念及画法

概念

一般地,对于一个函数,如果以自变量与 因变量的每对对应值分别作为点的横坐标、 纵坐标,那么平面直角坐标系内由这些点 组成的图形,就是这个函数的图象

画法步骤

(1)列表

(2)描点

(3)连线

第10讲┃ 归类示例

归类示例
? 类型之一 坐标平面内点的坐标特征 命题角度: 1. 四个象限内点的坐标特征; 2. 坐标轴上的点的坐标特征; 3. 平行于x轴,平行于y轴的直线上的点的坐标特征; 4. 第一、三,第二、四象限的平分线上的点的坐标特征. 例1 [2012·扬州] 在平面直角坐标系中,点P(m,m- 2)在第一象限,则m的取值范围是________. m>2 [解析] 由第一象限内点的坐标的特点可得: 得m>2. 解

第10讲┃ 归类示例

此类问题的一般方法是根据点在坐标系中的 符号特征,建立不等式组或者方程(组),把点的 问题转化为不等式组或方程(组)来解决.

第10讲┃ 归类示例 ? 类型之二 关于x轴,y轴及原点对称的点的坐标特征

命题角度: 1. 关于x轴对称的点的坐标特征; 2. 关于y轴对称的点的坐标特征; 3. 关于原点对称的点的坐标特征. 例2[2012·荆门] 已知点M(1-2m,m-1)关于x轴的对称点在 第一象限,则m的取值范围在数轴上表示正确的是( A )

图10-1

第10讲┃ 归类示例

第10讲┃ 归类示例 ? 类型之三 坐标系中的图形的平移与旋转

命题角度: 1.坐标系中的图形平移的坐标变化与作图; 2.坐标系中的图形旋转的坐标变化与作图. 例3 [2012·黄冈] 在平面直角坐标系中,△ABC的三个 顶点的坐标分别为A(-2,3),B(-4,-1),C(2,0),将 △ABC

平移至△A1B1C1的位置,点A、B、C的对应点分 别是A1、B1、C1,若点A1的坐标为(3,1).则点C1的坐标 为________. (7,-2) [解析] 由A(-2,3)平移后点A1的坐标为(3,1),可得A点横 坐标加5,纵坐标减2, 则点C的坐标变化与点A的坐标变化相同,故C1(2+5,0-2), 即(7,-2).

第10讲┃ 归类示例

求一个图形旋转、平移后的图形上对应 点的坐标,一般要把握三点:一是根据图形 变换的性质,二是利用图形的全等关系;三 是确定变换前后点所在的象限.

第10讲┃ 归类示例 ? 类型之四 函数的概念及函数自变量的取值范围

命题角度: 1.常量与变量,函数的概念; 2.函数自变量的取值范围. 例4 [2012·内江 ]函数y= A.第一象限 B.第一、三象限 C.第二象限 D.第二、四象限

的图象在( A )

第10讲┃ 归类示例 ? 类型之五 函数图象

命题角度: 1.画函数图象; 2.函数图象的实际应用. 例5 [2012·兰州 ]在物理实验课上,小明用弹簧秤将铁块 悬于盛有水的水槽中,然后匀速向上提起(不考虑水的阻力), 直到铁块完全露出水面一定高度.下图能反映弹簧秤的度数 y(单位:N)与铁块被提起的高度x(单位:cm)之间的函数关系 的大致图象是( )C

图10-2

图10-3

第10讲┃ 归类示例

[解析] 因为小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的 水槽中,然后匀速向上提起,直至铁块完全露出 水面一定高度.露出水面前读数y不变,出水面后 y逐渐增大,离开水面后y不变.故选C.

第10讲┃ 归类示例

观察图象时,首先弄清横轴和纵轴所表 示的意义.弄清哪是自变量,哪是因变量, 然后分析图象的变化趋势,结合实际问题的 意义进行判断.

第11讲┃一次函数的图象与性质

第11讲┃ 考点聚焦

考点聚焦
考点1 一次函数与正比例函数的概念
一般地,如果y=k x+b (k、b是常数, k≠0),那么y叫做x的一次函数 特别地,当b=0时,一次函数y=k x +b变为y=k x (k为常数,k≠0),这 时y叫做x的正比例函数

一次函数

正比例函数

第11讲┃ 考点聚焦 考点2 一次函数的图象和性质 (1)正比例函数与一次函数的图象
正比例函 数的图象 一次函数 的图象 正比例函数 y=kx(k≠0)的图象是经过点 (0,0)和点(1,k)的一条直线 一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象是经过点
? b ? ? 一条直线 (0,b)和?- ,0?的________ k ? ? ?

一次函数 y=kx+b 的图象可由正比例函数 图象关系 y=kx 的图象平移得到,b>0,向上平移 b ? ? 个单位;b<0,向下平移?b?个单位 ? ? 因为一次函数的图象是一条直线, 由两点确 图象确定 定一条直线可知画一次函数图象时, 只要取 两个点即可

第11讲┃ 考点聚焦 (2)正比例函

数与一次函数的性质

一、三象限

二、四象限

第11讲┃ 考点聚焦

一、二、三象限

一、三、四象限

一、二、四象限

二、三、四象限

第11讲┃ 考点聚焦

考点3

两条直线的位置关系

直线l1:y=k1x+b1 和l2:y=k2x+b2位 置关系

相交

k1≠k2 ________?l1和l2相交

平行

k1=k________?l1和l2平行 2,b1≠b2

第11讲┃ 考点聚焦 考点4 两直线的交点坐标及一次函数的图象与坐标轴 围成的三角形的面积

第11讲┃ 考点聚焦

考点5

由待定系数法求一次函数的解析式
因在一次函数y=kx+b(k≠0)中有两个未知系数k 和b,所以,要确定其关系式,一般需要两个条件 ,常见的是已知两点P1(a1,b1),P2(a2,b2),将其 坐标代入 得 求出k,b的值即可,这种 方法叫做 待定系数法 _____________________________________.

第11讲┃ 考点聚焦

考点6

一次函数与一次方程(组)、一元一次不等式(组)

一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的值 一次函数与一 为0时,相应的自变量的值为方程kx+b=0 次方程 的根 一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的值 一次函数与一 大于(或小于)0,相应的自变量的值为不等 元一次不等式 式kx+b>0(或kx+b<0) 的解集

两直线的交点坐标是两个一次函数解析式y 一次函数与方 =k1x+b1和y=k2x+b2所组成的关于x,y的 程组 方程组 的解

第11讲┃ 归类示例

归类示例
? 类型之一 一次函数的图象与性质

命题角度: 1.一次函数的概念; 2.一次函数的图象与性质. 例1 [2012·山西 ]如图11-1,一次函数y=(m-1)x- 3的图象分别与x轴、y轴的负半轴相交于点A、B,则m的 取值范围是( B ) A.m>1 B.m<1 C.m<0 D.m>0
图11-1

第11讲┃ 归类示例

[解析] 根据函数的图象可知m-1<0,求出m的 取值范围为m<1.故选B.

第11讲┃ 归类示例

k和b的符号作用:k的符号决定函数的增减性, k>0时,y随x的增大而增大,k<0时,y随x的增大 而减小;b的符号决定图象与y轴交点在原点上方
还是下方(上正,下负).

第11讲┃ 归类示例 ? 类型之二 一次函数的图象的平移

命题角度: 1.一次函数的图象的平移规律; 2.求一次函数的图象平移后对应的解析式.

例2 [2012·衡阳 ]如图11-2,一次函数y=kx+b的图象与 正比例函数y=2x的图象平行且经过点A(1,-2),则kb= ________. -8

图11-2

第11讲┃ 归类示例

[解析] ∵y=kx+b的图象与正比例函数y=2x 的图象平行,两平行直线的解析式的k值相等, ∴k=2. ∵y=kx+b的图象经过点A(1,-2),∴2+b =-2, 解得b=-4,∴kb=2×(-4)=-8.

第11讲┃ 归类示例

直线y=kx+b(k≠0)在平移过程中k值不变.平 移的规律是若上下平移,则直接在常数b后加上或减

去平移的单位数;若向左(或向右)平移m个单位,则 直线y=kx+b(k≠0)变为y=k(x+m)+b(或k(x-m)+ b),其口诀是上加下减,左加右减.

第11讲┃ 归类示例 ? 类型之三 求一次函数的解析式

命题角度: 由待定系数法求一次函数的解析式. 例3 [2012·湘潭 ] 已知一次函数y=kx+b(k≠0)图象过 点(0,2),且与两坐标轴围成的三角形面积为2,求此一 次函数的解析式.

[解析] 先根据一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象过点(0,2)可知 b=2,再用 k 表示出函数 图象与 x 轴的交点,利用三角形的面积公式求解即可. 解:将(0,2)代入解析式 y=kx+b(k≠0)中,得 b=2, b 2 k≠0)的图象与 x 轴的交点的横坐标为- =- , 所以一次函数 y=kx+b( k k 1 ? 2? 由题意可得 ×?- ?×2=2,则 k=± 1. 2 ? k? 所以一次函数的解析式为 y=x+2 或 y=-x+2.

第11讲┃ 归类示例

待定系数法求函数解析式,一般是先写出 一次函数的一般式y=kx+b(k≠0),然后将 自变量与对应的函数值代入函数的解析式中 ,得出关于待定系数的方程或方程组,解这 个方程(组),从而写出函数的解析式.

第11讲┃ 归类示例 ? 类型之四 一次函数与一次方程(组),一元一次不等式(组)

命题角度: 1.利用函数图象求二元一次方程组的解; 2.利用函数图象解一元一次不等式(组). 例4 [2012·湖州 ]一次函数y=kx+b(k、b为常数,且 k≠0)的图象如图11-3所示.根据图象信息可求得关于x的 方程kx+b=0的解为______________. x=-1

图11-3

第11讲┃ 归类示例

第11讲┃ 归类示例

(1)两直线的交点坐标是两直线所对应的 二元一次方程组的解.(2)根据在两条直线的 交点的左右两侧,图象在上方或下方来确定 不等式的解集.

第11讲┃ 回归教材

回归教材
待定系数法求“已知两点的一次函数的解析式” 教材母题 人教版八上P120T8 一个函数的图象是经过原点的直线,并且这条直线过第 四象限及点(2,-3a)与点(a,-6),求这个函数的解析 式. ?2k=-3a, ?a=2,
解: 根据题目条件, 可设这个函数的解析式为 y=kx.于是有?

?ak=-6,

解得?

?k=-3,

或?

?a=-2, ?k=3.
由于函数图象经过第四象限,所以舍去? 因此所求函数的解析式为 y=-3x.

?a=-2, ?k=3.

第11讲┃ 回归教材

[点析] 仔细审题,清楚题目条件:一个函数 ,其图象是直线且过原点和第四象限,逐渐缩小 函数类型,确定函数为正比例函数.在解出a、k 的对应值后,再验证是否满足条件,作出完全符 合题目要求的结论.如果没有限制条件“这条直 线过第四象限”,则结论有两解.

第11讲┃ 回归教材

中考变式
[2012·聊城]

如图11-4,直线AB与x轴交于点A(1,0),与 y轴交于点B(0,-2). (1)求直线AB的解析式; (2)若直线AB上的点C在第一象限,且S△BOC=2,求点C的 坐标.

图11-4

第11讲┃ 回归教材

第12讲┃ 一次函数的应用

第12讲┃ 考点聚焦

考点聚焦
考点1 一次函数的应用 一次函数在现实生活中有着广泛的应用,在解答 一次函数的应用题时,应从给定的信息中抽象出 一次函数关系,理清哪个是自变量,哪个是自变 量的函数,确定出一次函数,再利用一次函数的 图象与性质求解,同时要注意自变量的取值范围

建模思 想

实际问 题中一 在实际问题中,自变量的取值范围一般受到限制, 次函数 一次函数的图象就由直线变成线段或射线,根据 的最大 函数图象的性质,函数就存在最大值或最小值 (小)值 (1)求一次函数的解析式(2)利用一次函数的图象 常见类 型 与性质解决某些问题,如最值等

第12讲┃ 归类示例

归类示例
? 类型之一 利用一次函数进行方案选择 命题角度: 1. 求一次函数的解析式,利用一次函数的性质求最大或最小值; 2. 利用一次函数进行方案选择. 例1 [2012·连云港 ]我市某医药公司把一批药品运 往外地,现有两种运输方式可供选择. 方式一:使用快递公司的邮车运输,装卸收费400元,另 外每公里再加收4元; 方式二:使用快递公司的火车运输,装卸收费820元,另 外每公里再加收2元;

第12讲┃ 归类示例

(1)请分别写出邮车、火车运输的总费用y1(元 )、y2(元)与运输路程x(公里)之间的函数关系 式; (2)你认为选用哪种运输方式较好,为什么?

第12讲┃ 归类示例

[解析] (1)根据方式一、二的收费标准即可得出y1( 元)、y2(元)与运输路程x(公里)之间的函数关系式. (2)比较两种方式的收费多少与x的变化之间的关系 ,从而根据x的不同选择合适的运输方式. 解:(1)由题意得,y1=4x+400, y2=2x+820. (2)令4x+400=2x+820,解之得x=210, 所以当运输路程小于210 km时,y1<y2,选择邮车 运输较好; 当运输路程等于210 km时,y1=y2,选择两种方式 一样; 当运输路程大于210 km时,y1>y2,选择火车运输 较好

第12讲┃ 归类示例

一次函数的方案决策题,一般都是利用自变 量的取值不同,得出不同方案,并根据自变量的 取值范围确定出最佳方案.

第12讲┃ 归类示例 ? 类型之二 利用一次函数解决资源收费问题

命题角度: 1. 利用一次函数解决个税收取问题; 2. 利用一次函数解决水、电、煤气等资源收费问题. 例2 [2012·遵义]为促进节能减排,倡导节约用电,某市 将实行居民生活用电阶梯电价方案,图12-1中折线反映了 每户居民每月用电电费y(元)与用电

量x(度)间的函数关系.

图12-1

第12讲┃ 归类示例

(1)根据图象,阶梯电价方案分为三个档次,请填写下表: 档次 第一档 第二档 第三档

每月用电量x度 0<x≤140 54 (2)小明家某月用电120度,需要交电费________元; (3)求第二档每月电费y(元)与用电量x(度)之间的函数关系式; (4)在每月用电量超过230度时,每多用1度电要比第二档多付 电费m元,小刚家某月用电290度交纳电费153元,求m的值.

第11讲┃ 归类示例

[解析] (1)利用函数图象可以得出,阶梯电价 方案分为三个档次,利用横坐标可得出:第二档, 第三档中x的取值范围; (2)根据第一档范围是:0<x≤140,利用图象 上点的坐标得出解析式,进而得出x=120时y的 值; (3)设第二档每月电费y(元)与用电量x(度)之间 的函数关系式为:y=kx+b,将(140,63), (230,108)代入求出k,b的值即可; (4)分别求出第二、三档每度电的费用,进而 得出m的值即可.

第12讲┃ 归类示例
解:(1)填表如下: 第一 第二 档 档 第 三 档

档次

每月用 0< 140<x x>2 电量 x x≤1 ≤230 30 度 40 (2)54

第12讲┃ 归类示例
(3)设 y 与 x 的关系式为 y=kx+b, ∵点(140,63)和(230,108)在 y=kx+b 的图象上,
?63=140k+b, ? ∴? ?108=230k+b, ? ?k=0.5, ? 解得? ?b=-7. ?

∴y 与 x 的关系式为 y=0.5x-7. (4)方法一:第三档中 1 度电交电费(153-108)÷ (290-230)= 0.75(元); 第二档 1 度电交电费(108-63)÷ (230-140)=0.5(元), 所以 m=0.75-0.5=0.25. 方法二:根据题意得,
? 108-63 ? ? +m?×(290-230)+108=153,解得 ?230-140 ? ? ?

m=0.25.

第12讲┃ 归类示例

此类问题多以分段函数的形式出现,正确理解分 段函数是解决问题的关键,一般应从如下几方面入 手:(1)寻找分段函数的分段点;(2)针对每一段函 数关系,求解相应的函数解析式;(3)利用条件求未 知问题.

第12讲┃ 归类示例 ? 类型之三 利用一次函数解决其他生活实际问题

命题角度: 函数图象在实际生活中的应用.

例3 [2012·义乌 ]周末,小明骑自行车从家里出 发到野外郊游.从家出发0.5小时后到达甲地,游玩 一段时间后按原速前往乙地.小明离家1小时20分 钟后,妈妈驾车沿相同路线前往乙地,如图12-2 是他们离家的路程y(km)与小明离家时间x(h)的函数 图象.已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3 倍.

第12讲┃ 归类示例 (1)求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间; (2)小明从家出发多少小时后被妈妈追上?此 时离家多远? (3)若妈妈比小明早10分钟到达乙地,求从家 到乙地的路程.

图12-2

第12讲┃ 归类示例

[解析] (1)用路程除以时间即可得到速度 ;在甲地游

玩的时间是1-0.5=0.5 (h). (2)如图,求得线段 BC 所在直线的解析式和 DE 所在直线的解析式后求得交点坐标即可求得被 妈妈追上的时间. (3)可以设从妈妈追上小明的地点到乙地的路 程为n km,根据妈妈比小明早到10分钟列出有 关n的方程,求得n值即可

第12讲┃ 归类示例

解:(1)小明骑车速度:10÷ 0.5=20(km/h); 在甲地游玩的时间是 1-0.5=0.5(h). (2)设各交点字母如图所标.妈妈驾车速度:20×3=60(km/h). 设直线 BC 解析式为 y=20x+b1, 把点 B(1,10)的坐标代入,得 b1=-10, ∴y=20x-10. ?4 ? 设直线 DE 解析式为 y=60x+b2,把点 D?3,0?的坐标代入,得 b2=-80, ? ? ∴y=60x-80. ?y=20x-10, 两解析式联立得? ?y=60x-80, ?x=1.75, 解得? ?y=25.

∴交点 F(1.75,25). 答:小明出发 1.75 h 后被妈妈追上,此时离家 25 km.

第12讲┃ 归类示例

(3)方法一:设从家到乙地的路程为 m km, 则将点 E(x1,m),点 C(x2,m)的坐标分别代入 y=60x-80,y=20x-10, m+80 m+10 得 x1= ,x2= . 60 20 m+10 m+80 1 10 1 ∵x2-x1= = ,∴ - = ,∴m=30. 60 6 20 60 6 ∴从家到乙地的路程为 30 km. 方法二:设从妈妈追上小明的地点到乙地的路程为 n km, n n 10 由题意得 - = , 20 60 60 ∴n=5,∴从家到乙地的路程为 5+25=30(km).

第12讲┃ 归类示例

结合函数图象及性质,弄清图象上的一 些特殊点的实际意义及作用,寻找解决问题 的突破口,这是解决一次函数应用题常见的 思路.“图形信息”题是近几年的中考热点 考题,解此类问题应做到三个方面:(1)看图 找点,(2)见形想式,(3)建模求解.

第12讲┃ 回归教材

回归教材
“分段函数”模型应用广 教材母题 人教版八上P129T10 一个有进水管与出水管的容器,从某时刻开始的4分内 只进水不出水,在随后的8分内既进水又出水,每分的 进水量和出水量是两个常数,容器内的水量y(单位:升) 与时间x(单位:分)之间的关系如图12-3所示. (1)求0≤x≤4时y随x变化的函数关系式; (2)求4<x≤12时y随x变化的函数关系式; (3)每分进水、出水各多少升?

图12-3

第12讲┃ 回归教材
解:(1)y=5x(0≤x≤4). 5 (2)y= x+15(4<x≤12). 4 (3)由 y=5x 知,每分进水 5 升, ?30-20? 15 15 由 5-? ?= (升),知每分出水 升. 12-4 ? 4 4 ?

[点析] (1)分段函数中,自变量在不同的取值 范围内的解析式也不相同.在解决实际问题时, 要特别注意相应自变量的变化范围.(2)数形结 合寻找有用信息是求分段函数的关键.待定系数 法是求函数关系式的常用方法.

第12讲┃ 回归教材

中考变式
[2012·天津 ]某电视台“走基层”栏目的一位记者乘 汽车赴

360 km外的农村采访,全程的前一部分为高速公路 ,后一部分为乡村公路.若汽车在高速公路和乡村公路上 分别以某一速度匀速行驶,汽车行驶的路程y(单位:km) 与时间x(单位:h)之间的关系如图12-4所示,则下列结 论正确的是( C ) A.汽车在高速公路上行驶速度为100 km/h B.乡村公路总长为90 km C.汽车在乡村公路上行驶速度为60 km/h D.该记者在出发后4.5 h到达采访地 图12-4

第12讲┃ 回归教材

[解析] A项,汽车在高速公路上的行驶速度为 180÷2=90(km/h),故本选项错误; B项,乡村公路总长为360-180=180(km),故 本选项错误; C项,汽车在乡村公路上的行驶速度为(270- 180)÷(3.5-2)=60(km/h),故本选项正确; D项,该记者在出发后5 h到达采访地,故本选 项错误. 故选C.

第13讲┃

反比例函数

第13讲┃ 考点聚焦

考点聚焦
考点1 反比例函数的概念
k y= 形如________(k≠0,k 为常数) x 的函数叫做反比例函数,其中 x 是________,y 是 x 的函数,k 是 自变量 ________ 比例系数

定义

关系式 防错提醒

k y= 或 y=kx-1 或 xy=k(k≠0) x
(1)k≠0;(2)自变量 x≠0;(3) 函数值 y≠0

第13讲┃ 考点聚焦

考点2

反比例函数的图象与性质

(1) 反比例函数的图象 呈现形式 反比例函数y= (k≠0)的图象是 双曲线 ________
k x

对称性

原点 关于________对称

第13讲┃ 考点聚焦 (2)反比例函数的性质

函数

图象

k>0 k y= x
(k≠0)

k<0

所在象 限 一、 三 象限 (x,y 同 号) 二、 四 象限 (x,y 异 号)

性质 在每个象限内 y 随 x 增大而减小

在每个象限内,y 随 x 增大而增大

第13讲┃ 考点聚焦 (3)反比例函数比例系数k的几何意义
k 的 反比例函数图象上的点(x,y)具有两数之积(xy=k)为常数
几何 这一特点,即过双曲线上任意一点,向两坐标轴作垂线,两 意义 条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数|k|

推导 如图,过双曲线上任一点 P 作 x 轴,y 轴的垂线段 PM、PN, 所得的矩形 PMON 的面积 S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|. ∵y= ,∴xy=k,∴S=|k| 过双曲线上任意一点,向两坐标轴作垂线,一条垂线与坐标 拓展 |k| 轴、原点所围成的三角形的面积为常数 2

k x

第13讲┃ 考点聚焦 考点3 反比例函数的应用
利用待定系数法确定反比例函数: ①根 求函数 关系式 方法 步骤

k 据两变量之间的反比例关系, y= ; 设 x
②代入图象上一个点的坐标,即 x、y 的一对对应值,求出 k 的值; ③写出关系式 求直线 y=k1x+b( k≠0)和双曲线 y=

反比例函数与一 k2 次函数的图象的 的交点坐标就是解这两个函数关系 x 交点的求法 式组成的方程组

第13讲┃ 归类示例

归类示例
? 类型之一 反比例函数的概念 命题角度:

1. 反比例函数的概念; 2. 求反比例函数的解析式. [2012·益阳 ]反比例函数y= 的图象与一次函

例1

数y=2x+1的图象的一个交点是(1,k),则反比例函数的 解析式是________. [解析] 将(1,k)代入一次函数y=2x+1得,k=2+1=3, 则反比例函数的解析式为y= ,故答案为y= .

第13讲┃ 归类示例 ? 类型之二 反比例函数的图象与性质

命题角度: 1. 反比例函数的图象与性质; 2. 反比例函数中k的几何意义.

例2 已知反比例函数y= 的图象上三个点的坐标分别 是A(-2,y1)、B(-1,y2)、C(2,y3),能正确反映y1、y2、 y3的大小关系的是( C ) A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y2>y1>y3 D.y2>y3>y1

第13讲┃ 归类示例

7 [解析] 反比例函数 y=- 的图象在第二,四象限,在每一个象限内,y 随 x 的

x

增大而增大.A(-2,y1)、B(-1,y2)在第二象限,因为-2<-1,所以 0<y1<y2.又 C(2, y3)在第四象限,所以 y3<0.

第13讲┃ 归类示例

比较反比例函数值的大小,在同一个象限内根据 反比例函数的性质比较,在不同象限内,不能按其 性质比较,函数值的大小只能根据特征确定.

第13讲┃ 归类示例

例3 [2012·扬州] 如图13-1,双曲线y=经过Rt△OMN 的斜边ON上的点A,与直角边MN相交于点B. 已知OA= 12 2AN,△OAB的面积为5,则k的值是________.

图13-1

第13讲┃ 归类示例

第13讲┃ 归类示例

第13讲┃ 归类示例

k 过反比例函数 y= 的图象上的某点向两坐标轴作垂线, 两垂线与坐标轴围成 x
的矩形的面积就等于|k|,故而常过图象上某点向坐标轴作一条或两条垂线,引 出三角形或矩形的面积来解决问题.

第13讲┃ 归类示例 ? 类型之三 反比例函数的应用

命题角度: 1. 反比例函数在实际生活中的应用; 2. 反比例函数与一次函数的综合运用. 例4 [2012·重庆 ] 已知:如图 13-2,在平面直角坐标系中,一次函数 y=ax
+b(a≠0)的图象与反比例函数 y= 的图象交于一、三象限内的 A、B 两点,与 x 轴 2 交于 C 点,点 A 的坐标为(2,m),点 B 的坐标为(n,-2),tan∠BOC= . 5 (1)求该反比例函数和一次函数的解析式; (2)在 x 轴上有一点 E(O 点除外), 使得△BCE 与△BCO 的面积相等, 求出点 E 的坐标.

k x

第13讲┃ 归类示例

图13-2

第13讲┃ 归类示例

[解析] (1)过B点作BD⊥x轴,垂足为D, 由B(n,-2)得BD=2,由tan∠BOC=0.4,解 直角三角形求OD,确定B点坐标,得出反比例 函数关系式,再由A、B两点横坐标与纵坐标的 积相等求m的值,由“两点法”求直线AB的解 析式; (2)点E为x轴上的点,要使得△BCE与△BCO的 面积相等,只需要CE=CO即可,根据直线AB的 解析式求CO的长,再确定E点坐标.

第13讲┃ 归类示例

第13讲┃ 回归教材

回归教材
反比例系数k的确定 教材母题 人教版八下P60T5 在反比例函数y=的图象的每一条曲线上,y都随x 的增大而减小,求k的取值范围.
解:依题意,反比例函数的图象在第一、三象限,所以 k-1>0,∴k>1. [点析] 根据反比例函数的增减性或图象的位置确定比 例系数的符号,是中考常见题型,体现了数形结合思想 .

第13讲┃ 回归教材

中考变式
1. [2010·三明 ]在反比例函数y= 的图象的每一条 曲线上,y都随x的增大而增大,则k的值可能是( D ) A.-1 B.0 C.1 D.2 2.[2010·毕节] 函数y= 的图象与直线y=x没有交点 ,那么k的取值范围是( A ) A.k>1 B.k<1 C.k>-1 D.k<- 1

第13讲┃ 回归教材

n+7 的图象的一支. x (1)这个反比例函数的图象的另一支位于哪个象限?常数 n 的取值范围是什么?
3.[2011·绵阳] 图 13-3 中的曲线是反比例函数 y= 2 4 (2)若一次函数 y=- x+ 的图象与反比例函数图象交于点 A, x 轴交于点 B, AOB 与 △ 3 3 的面积为 2,求 n 的值.

图13-3

第13讲┃ 回归教材

3.解:(1)第四象限,n<-7; 2 4 (2)∵y=- x+ 的图象与 x 轴的交点的纵坐标是 0, 3 3 2 4 - x+ =0,∴x=2,∴B 点坐标为(2,0). 3 3 又∵△AOB 的面积是 2 , 2 4 ∴A 点纵坐标是 2,代入 y=- x+ , 3 3 可得 A 点横坐标是-1,所以 n+7=-2,n=-9.

第14讲┃

二次函数的图象与性质(一)

第14讲┃ 考点聚焦

考点聚焦
考点1 二次函数的概念 一般地,如果____________ (a,b, y=ax2+bx+c c是常数,a≠0),那么y叫做x的二 次函数 ①等号左边是函数,右边是关于自 变量x的二次式,x的最高次数是2; ②二次项系数a≠0

定义

二次函数 y=ax2+bx+c 的结构特征

第14讲┃ 考点聚焦

考点2

二次函数的图象及画法 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是 2 ?- b ,4ac-b ? ? 2a 以____________为顶点,以直线 4a ? ? ? ______________为对称轴的抛物线 y=a(x-h)2+k (1)用配方法化成________________的形 式; (2)确定图象的开口方向、对称轴及顶点 坐标; (3)在对称轴两侧利用对称性描点画图

图象

用描点法画 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的步骤

第14讲┃ 考点聚焦 考点3 二次函数的性质

函数

二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数, a≠0)

a>0
图象

a<0

开口 方向

抛物线开口向上,并向上 抛物线开口向下, 无限延伸 并向下无限延伸

第14讲┃ 考点聚焦
b 直线x=- 2a
? b 4ac-b2? ?- , ? 4a ? ? 2a

对称轴 顶点坐标

b 直线x=- 2a
? b 4ac-b2? ?- , ? 4a ? ? 2a

在对称轴的左侧,即当

在对称轴的左侧,即当

增减性

b x<- 时,y随x的增大 b 2a x<- 时,y随x

的增大 2a 而增大;在对称轴的右 而减小;在对称轴的右 b 侧,即当x>- 时,y b 2a 侧,即当x>- 时,y 2a 随x的增大而减小,简 随x的增大而增大,简 记左增右减 记左减右增

第14讲┃ 考点聚焦
函数 二次函数y=ax2+bx+c( a、b、c为常数, a≠0)

a>0

a<0
抛物线有最高点,当x

最值

b 抛物线有最低点,当x=- 时, y b 2a =- 时, y有最大 2a 2 4ac- b 有最小值,y最小值= 4ac- b2 4a 值,y最大值 = 4a
越小,?a ?越小,抛物线的开口越大 ? ?

二次项系数 ?a ?的大小决定抛物线的开口大小;?a ?越大,抛物线的开口 ? ? ? ?

a的特性
常数项c 的 意义

c是抛物线与y轴交点的纵坐标,即x=0时,y=c

第14讲┃ 考点聚焦 考点3 用待定系数法求二次函数的解析式 方法 适用条件及求法 若已知条件是图象上的三个点,则设所 求二次函数为y=ax2+bx+c,将已知三 个点的坐标代入,求出a、b、c的值 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称 轴方程与最大值(或最小值),设所求二次 函数为y=a(x-h)2+k,将已知条件代入, 求出待定系数,最后将解析式化为一般 形式

1.一般式

2.顶点式

第14讲┃ 考点聚焦

若已知二次函数图象与x轴的两个交点 的坐标为(x1,0),(x2,0),设所求二 次函数为y=a(x-x1)(x-x2),将第三 3.交点式 点(m,n)的坐标(其中m、n为已知数) 或其他已知条件代入,求出待定系数a, 最后将解析式化为一般形式

第14讲┃ 归类示例

归类示例
? 类型之一 二次函数的定义 命题角度: 二次函数的概念.

例1

若y=(m+1)xm2-6m-5是二次函数,则m=( A ) A.7 B.-1 C.-1或7 D.以上都不对 [解析] 让x的次数为2,系数不为0,列出方程与不等式解 答即可. 由题意得:m2-6m-5=2,且m+1≠0. 解得m=7或-1,且m≠-1, ∴m=7,故选A.

第14讲┃ 归类示例

利用二次函数的定义,二次函数中自变量的最高 次数是2,且二次项的系数不为0.

第14讲┃ 归类示例 ? 类型之二 二次函数的图象与性质

命题角度: 1. 二次函数的图象及画法; 2. 二次函数的性质. 例2 (1)用配方法把二次函数y=x2-4x+3变成y=(x- h)2+k的形式; (2)在直角坐标系中画出y=x2-4x+3的图象; (3)若A(x1,y1),B(x2,y2)是函数y=x2-4x+3图象上的两点 ,且x1<x2<1,请比较y1、y2的大小关系(直接写结果); (4)把方程x2-4x+3=2的根在函数y=x2-4x+3的图象上表 示出来.

第14讲┃ 归类示例

[解析] (1)根据配方法的步骤进行计算. (2)由(1)得出抛物线的对称轴,顶点坐标列表 ,注意抛物线与x轴、y轴的交点及对称点等特 殊点的坐标,不要弄错. (3)开口向上,在抛物线的左边,y随x的增大 而减

小. (4)抛物线y=x2-4x+3与直线y=2的交点的 横坐标即为方程x2-4x+3=2的两根.

第14讲┃ 归类示例 解:(1)y=x2-4x+3=(x2-4x+4)+3 -4=(x-2)2-1. (2)由(1)知图象的对称轴为直线x=2, 顶点坐标为(2,-1),列表: x ? 0 y ? 3 1 2 3

0 -1 0

4 ? 3 ?

描点作图如下图. (3)y1>y2. (4)如图,点C,D的横坐标x3,x4即为方程x2-4x+ 3=2的根.

第14讲┃ 归类示例

(1)求二次函数的图象的顶点坐标有两种方法:①
? b 4ac -b2? ? 配方法;②顶点公式法,顶点坐标为?- , ? ?. 4a ? ? 2a

(2)画抛物线y=ax +bx+c的草图,要确定五个方 面,即①开口方向;②对称轴;③顶点;④与y轴交 点;⑤与x轴交点.

2

第14讲┃ 归类示例 ? 类型之三 二次函数的解析式的求法

命题角度: 1. 一般式,顶点式,交点式; 2. 用待定系数法求二次函数的解析式. 例3 已知抛物线经过点A(-5,0),B(1,0),且 顶点的纵坐标为 ,求二次函数的解析式. [解析] 根据题目要求,本题可选用多种方法求关系式.

第14讲┃ 归类示例
解:解法一:∵抛物线与x轴的两个交点为A(-5,0),B(1,0),由对 称性可知,它的对称轴为直线x= -5+1 2 =-2,∴抛物线的顶点为

? ? 9? 9? P ?-2, ? ,已知抛物线上的三点A(-5,0),B(1,0),P ?-2, ? ,设一般 2? 2? ? ? ? 9? ?-2, ?的坐标代入,得 式,设y=ax +bx+c,把A(-5,0),B(1,0),P 2? ?
2

?a=-1, ?a+b+c=0, ? 2 ?25a-5b+c=0, ? ∴? 解得?b=-2, ? 5 ?4a-2b+c=9, 2 ? ? c=2, ?

1 5 ∴ 所求抛物线的关系式为y=- x2-2x+ . 2 2

第14讲┃ 归类示例
? 9? ? -2, ? ? 2? ? ?

解法二 :∵由解法一知抛物线的顶点为P 式,

,可设顶点

9 设y=a(x+2) + ,把x=1,y=0代入,得 2
2

9 0=a(1+2) + , 2
2

1 1 9 2 ∴a=- .∴y=- (x+2) + , 2 2 2 1 2 5 即y=- x -2x+ . 2 2

第14讲┃ 归类示例
? 9? ? -2, ? ? 2? ? ?

解法三:由解法一知抛物线过点P

,∵A(-5,0),

B(1,0)是抛物线与x轴的交点,设交点式,设y=a(x+5)(x- 9 1),把x=-2,y= 代入, 2 9 1 得a(-2+5)(-2-1)= ,∴a=- . 2 2 1 1 2 5 ∴y=- (x+5)(x-1),即y=- x -2x+ . 2 2 2

第14讲┃ 归类示例

(1)当已知抛物线上三点求二次函数的解析式时, 一般采用一般式y=ax2+bx+c(a≠0);(2)当已知抛 物线顶点坐标(或对称轴及最大或最小值)求解析式时 ,一般采用顶点式y=a(x-h)2+k;(3)当已知抛物线 与x轴的交点坐标求二次函数的解析式时,一般采用 交点式y=a(x-x1)(x-x2).

第14讲┃ 回归教材

回归教材
一题多法提能力 教材母

题 人教版九下P20T4
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-1,0),(3, 0),求这条抛物线的对称轴.

第14讲┃ 回归教材

第14讲┃ 回归教材

第14讲┃ 回归教材

中考变式
1.抛物线y=(x+3)(x-1)的对称轴是直线( B ) A.x=1 B.x=-1 C.x=-3 D.x=3

图14-1

第14讲┃ 回归教材

2.[2011·威海] 二次函数y=x2-2x-3的图象 如图14-1所示.当y<0时,自变量x的取值范 围是( A ) A.-1<x<3 B.x<-1 C.x>3 D.x<-1或x>3

第14讲┃ 回归教材

3.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点是A(-1,0)、 B(3,0),与y轴的交点是C,顶点是D.若四边形ABDC的 面积是18,求抛物线的解析式.

第14讲┃ 回归教材

第14讲┃ 回归教材

第15讲┃ 二次函数的图象与性质(二)

第15讲┃ 考点聚焦

考点聚焦
考点1 二次函数与一元二次方程的关系

抛物线y=ax2 +bx+c与x轴 的交点个数

判别式Δ=b2- 4ac 的符号

方程ax2+bx+c =0有实根 的个数 不相等 两个________实根 两个________实根 相等 ________实根 没有

2个
1个 没有

Δ>0
Δ=0 Δ<0

第15讲┃ 考点聚焦

考点2 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特征与a、 b、c及判别式b2-4ac的符号之间的关系
项目 字母 字母的符号 图象的特 征 开口向上 开口向下 对称轴为y 轴 对称轴在y 轴左侧 对称轴在y 轴右侧

a

a>0 a<0 b=0

b

ab>0(b与a同号) ab<0(b与a异号)

第15讲┃ 考点聚焦

c

b- 4ac

2

特殊 关系

经过原点 与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交 与x轴有惟一交点 2 b -4ac=0 (顶点) 与x轴有两个不 2 b -4ac>0 同交点 2 b -4ac<0 与x轴没有交点 当x=1时,y=a+b+c 当x=-1时,y=a-b+c 若a+b+c>0,即x=1时,y>0 若a-b+c>0,即x=-1时,y>0

c=0 c>0 c<0

第15讲┃ 考点聚焦

考点3

二次函数图象的平移

将抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)用配方法化成y=a(x- h)2+k(a≠0)的形式,而任意抛物线y=a(x-h)2+k均 可由抛物线y=ax2平移得到,具体平移方法如图15-1 :

图15-1

第15讲┃ 考点聚焦

[注意] 确定抛物线平移后的解析式最好利用 顶点式,利用顶点的平移来研究图象的平移.

第15讲┃ 归类示例

归类示例
? 类型之一 二次函数与一元二次方程 命题角度: 1.二次函数与一元二次方程之间的关系; 2.图象法解一元二次方程; 3.二次函数与不等式(组).

例1 抛物线y=x2-4x+m与x轴的一个交点的坐标为(1, (3,0) 0),则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是________.
[解析] 把(1,0)代入y=x2-4x+m中,得m=3, 所以原方程为y=x2-4x+3, 令y=0,解方程x2-4x+3=0,得x1=1,x2=3, ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3,0).

第15讲┃ 归类示例 ? 类型之二

二次函数的图象的平移 命题角度: 1. 二次函数的图象的平移规律; 2. 利用平移求二次函数的图象的解析式. 例2 [2012·泰安] 将抛物线y=3x2向上平移3个单位,再向 左平移2个单位,那么得到的抛物线的解析式为( A ) A.y=3(x+2)2+3 B.y=3(x-2)2+3 C.y=3(x+2)2-3 D.y=3(x-2)2-3

图15-2

第15讲┃ 归类示例

[解析] 由“上加下减”的原则可知,将抛 物线y=3x2向上平移3个单位所得抛物线的解析 式为:y=3x2+3; 由“左加右减”的原则可知,将抛物线y=3x2 +3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为:y =3(x+2)2+3. 故选A.

第15讲┃ 归类示例

例3 [2012·广安]如图15-2,把抛物线y=0.5x2平移得到 抛物线m. 抛物线m经过点A(-6,0)和原点(0,0),它的顶点为 P,它的对称轴与抛物线y=0.5x2交于点Q,则图中阴影部分 27 的面积为________. 2

图15-2

第15讲┃ 归类示例
[解析] 过点P作PM⊥y轴于点M. ∵抛物线平移后经过原点O和点A(-6,0), ∴平移后的抛物线的对称轴为直线x=-3, 1 得出二次函数的关系式为:y= (x+3)2+h, 2 将(-6,0)代入,得 1 9 2 0= (-6+3) +h,解得h=- , 2 2
? 9? ? ∴点P的坐标是?-3,- ?, 2? ? ?

根据抛物线的对称性可知,阴影部分的面积等于矩形
? 9 ? 27 NPMO的面积,∴S=3×?- ?= . ? ? 2 ? 2?

第15讲┃ 归类示例

变式题 [2011·绵阳改编]已知抛物线:y=x2-2x+m-1 与x轴只有一个交点,且与y轴交于A点,如图15-3,设它 的顶点为B. (1)求m的值; (2)过A作x轴的平行线,交抛物线于点C,求证:△ABC是 等腰直角三角形; (3)将此抛物线向下平移4个单位后,得到抛物线C′,且 与x轴的左半轴交于E点,与y轴交于F点,求抛物线C′的关 系式和直线EF的关系式.

图15-3

第15讲┃ 归类示例

解:(1)抛物线与x轴只有一个交点,说明Δ=0,∴m=2. (2)证明:∵抛物线的关系式是y=x2-2x+1,∴A(0,1), B(1,0), ∴△AOB是等腰直角三角形,又AC∥OB,∴∠BAC= ∠OBA=45°,A,C是关于对称轴x=1的对称点,∴AB=BC ,∴△ABC是等腰直角三角形.

第15讲┃ 归类示例 ? 类型之三 二次函数的图象特征与a,b,c之间的关系

命题角度: 1. 二次函数的图象的开口方向,对称轴,顶点坐标, 与坐标轴的交点情况与a,b,c的关系; 2. 图象上的特殊点与a,b,c的关系. 例4 [2012·重庆] 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图 象如图15-4所示, 对称轴x=- .下列结论中,正确的 是( D )

A.abc>0 B.a+b=0

C.2b+c>0 D.4a+c<2b

图15-4

第15讲┃ 归类示例

[解析]

A项,∵开口向上,∴a>0.∵与y轴交于负半轴,∴c<0.∵对称

b 轴在y轴左侧,∴- <0

,∴b>0,∴abc<0,故本选项错误;B项,∵对称轴 2a b 1 x=- =- ,∴a=b,故本选项错误;C项,当x=1时,a+b+c=2b+c< 2a 2
1 0,故本选项错误;D项,∵对称轴为直线x=- ,图象与x轴的一个交点的横坐 2 标x1的取值范围为x1>1,∴与x轴的另一个交点的横坐标x2的取值范围为x 2<- 2, ∴当x=-2时,4a-2b+c<0,即4a +c<2b,故本选项正确. 故选D.

第15讲┃ 归类示例

二次函数的图象特征主要从开口方向、与x轴有无 交点,与y轴的交点及对称轴的位置,确定a,b,c及 b2-4ac的符号,有时也可把x的值代入,根据图象确 定y的符号.

第15讲┃ 归类示例 ? 类型之四 二次函数的图象与性质的综合运用

命题角度: 二次函数的图象与性质的综合运用. 例5 [2012·连云港] 如图15-5,抛物线y=-x2+ bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点D为 抛物线的顶点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边 形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3. (1)求该抛物线所对应的函数关系式;

第15讲┃ 归类示例 (2)求△ABD的面积;

(3)将三角形AOC绕点C逆时针旋转90°,点A对应点为点G, 问点G是否在该抛物线上?请说明理由.

图15-5

第15讲┃ 归类示例

[解析] (1)在矩形OCEF中,已知OF、EF的长, 先表示出C、E的坐标,然后利用待定系数法确定该 函数的关系式. (2)根据(1)的函数关系式求出A、B、D三点的坐标 ,以AB为底、D点纵坐标的绝对值为高,可求出 △ABD的面积. (3)首先根据旋转条件求出G点的坐标,然后将点G 的坐标代入抛物线对应的函数关系式中直接进行判断 即可.

第15讲┃ 归类示例

第15讲┃ 归类示例

(1)二次函数的图象是抛物线,是轴对称图形,充 分利用抛物线的轴对称性,是研究利用二次函数的性 质解决问题的关键. (2)已知二次函数图象上几个点的坐标,一般用待 定系数法直接列方程(组)求二次函数的解析式. (3)已知二次函数图象上的点(除顶点外)和对称轴 ,便能确定与此点关于对称轴对称的另一点的坐标.

第16讲┃ 二次函数的应用

第16讲┃ 考点聚焦

考点聚焦
考点1 二次函数的应用

二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型, 这就需要认真审题,理解题意,利用二次函数解决实际 问题,应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润 、最节省方案等问题.

第16讲┃ 考点聚焦

考点2 建立平面直角坐标系,用二次函数的图象解决实际问题

建立平面直角坐标系,把代数问题与几何问题进行互 相转化,充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等 、圆等知识解决问题,求二次函数的解析式是解题关键.

第16讲┃ 归类示例

归类示例
?

类型之一 利用二次函数解决抛物线形问题 命题角度: 1. 利用二次函数解决导弹、铅球、喷水池、抛球、 跳水等抛物线形问题; 2. 利用二次函数解决拱桥、护栏等问题. [2012·安徽] 如图16-1,排球运动员站在点O处练

例1

习发球,将球从O点正上方2 m的A处发出,把球看成点, 其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y= a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9 m,高度为2.43 m,球场的边界距O点的水平距离为18 m.

第16讲┃ 归类示例 (1)当h=2.6时,求y与x的关系式(不要求写出自 变量x的取值范围);

(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界? 请说明理由;
(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值 范围.

图16-1

第16讲┃ 归类示例

[解析] (1)根据h=2.6和函数图象经过点(0,2),可用待定 系数法确定二次函数的关系式;(2)要判断球是否过球网, 就是求x=9时对应的函数值,若函数值大于或等于网高2.43 ,则球能过网,反之则不能;要判断球是否出界,就是求抛 物线与x轴的交点坐标,若该交点坐标小于或等于18,则球 不出界,反之就会出界;要判断球是否出界,也可以求出x =18时对应的函数值,并与0相比较.(3)先根据函数图象过 点(0,2),建立h与a之间的关系,从而把二次函数化为只含 有字母系数h的形式,要求球一定能越过球网,又不出边界 时h的取值范围,结合函数的图象,就是要同时考虑当x=9 时对应的函数y的值大于2.43,且当x=18时对应的函数y的 值小于或等于0,进而确定h的取值范围.

第16讲┃ 归类示例

解:(1)∵h=2.6,球从O点正上方2 m的A处发出, ∴y=a(x-6)2+h过点(0,2), ∴2=a(0-6)2+2.6, 1 解得a=- , 60 1 故y与x的关系式为:y=- (x-6) 2+2.6. 60

第16讲┃ 归类示例

第16讲┃ 归类示例

第16讲┃ 归类示例

利用二次函数解决抛物线形问题,一般是先根据 实际问题的特点建立直角坐标系,设出合适的二次 函数的解析式,把实际问题中已知条件转化为点的 坐标,代入解析式求解,最后要把求出的结果转化 为实际问题的答案.

第16讲┃ 归类示例 ? 类型之二 二次函数在营销问题方面的应用

命题角度: 二次函数在销售问题方面的应用.

例2 [2011· 盐城] 利民商店经销甲、乙两种商品.现有 如下信息:

图16-2

第16讲┃ 归类示例

请根据以上信息,解答下列问题: (1)甲、乙两种商品的进货单价各多少元? (2)该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300 件.经调查发现,甲、乙两种商品零售单价分别每 降0.1元,这两种商品每天可各多销售100件.为了 使每天获取更大的利润,商店决定把甲、乙两种商

品的零售单价都下降m元.在不考虑其他因素的条 件下,当m定为多少时,才能使商店每天销售甲、 乙两种商品获取的利润最大?每天的最大利润是多 少?

第16讲┃ 归类示例

[解析] (1)相等关系:甲、乙两种商品的进货单价之和是5 元;按零售价买甲商品3件和乙商品2件,共付了19元. (2)利润=(售价-进价)×件数.

第16讲┃ 归类示例

第16讲┃ 归类示例

二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇 到的问题,这类问题通常是根据实际条件建立二 次函数关系式,然后利用二次函数的最值或自变 量在实际问题中的取值解决利润最大问题.

第16讲┃ 归类示例 ? 类型之三 二次函数在几何图形中的应用

命题角度: 1. 二次函数与三角形、圆等几何知识结合往往是涉及 最大面积,最小距离等; 2. 在写函数解析式时,要注意自变量的取值范围. 例3 [2012· 无锡] 如图16-3,在边长为24 cm的正方形纸 片ABCD上,剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三 角形,再沿图中的虚线折起,折成一个长方体形状的包装 盒(A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点).已 知E、F在AB边上,是被剪去的一个等腰直角三角形斜边 的两个端点,设AE=BF=x cm.

第16讲┃ 归类示例

(1)若折成的包装盒恰好是个正方体,试求这个包装盒 的体积V; (2)某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)积S最大 ,试问x应取何值?

图16-3

第16讲┃ 归类示例
[解析] (1)根据已知得出这个正方体的底面边长a= 2x cm,EF= 2a= 2x(cm),再利用AB=24 cm,求出x进而可得出这个包装盒的体积V; (2)利用已知表示出包装盒的表面积,进而利用函数最值求出即可. 解:(1)根据题意,知这个正方体的底面边长a= 2 x cm,EF= 2 a=2x (cm), ∴x+2x+x=24 ,x=6,a=6 2 cm, V =a3=(6 2)3=432 2(cm3 ). (2)设包装盒的底面边长为y cm,高为h cm, 则y= 2x,h= 24-2x 2 ∴S=4yh+y2 =4 2x· 2(12-x)+( 2x)2=-6x2+96x= -6(x-8)2+ 384. ∵0<x<12,∴当x=8时,S取得最大值384 cm2. = 2(12-x),

第16讲┃ 归类示例

二次函数在几何图形中的应用,实际上是数形结 合思想的运用,融代数与几何为一体,把代数问题与 几何问题进行互相转化,充分运用三角函数解直角三 角形,相似、全等、圆等来解决问题,充分运用几何 知识求解析式是关键.二次函数与三角形、圆等几何 知识结合时,往往涉及最大面积,最小距离等问题, 解决的过程中需要建立函数关系,运用函数的性质求 解.

第16讲┃ 回归教材

回归教材
如何定价利润最大 教材母题 人教版九下P23探究1
某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件. 市场调查反映

:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖 出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的 进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?

第16讲┃ 回归教材
解:(1)设每件涨价x元,每星期售出商品的利润y随x变化 的关系式为y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x),自变量x 的取值范围是0≤x≤30. ∴y=-10x2+100x+6000 =-10(x-5)2+6250, 因此当x=5时,y取得最大值为6250元. (2)设每件降价x元,每星期售出商品的利润y随x变化的关 系式为y=(60-x-40)(300+20x),自变量x的取值范围是 0≤x≤20, ∴y=-20x2+100x+6000 =-20(x-2.5)2+6125, 因此当x=2.5时,y取得最大值为6125元.

第16讲┃ 回归教材

(3)每件售价60元(即不涨不降)时,每星期可卖 出300件,其利润y=(60-40)×300=6000(元). 综上所述,当商品售价定为65元时,一周能获 得最大利润6250元. [点析] 本题是一道较复杂的市场营销问题,需要分情 况讨论,建立函数关系式,在每种不同情况下,必须 注意自变量的取值范围,以便在这个取值范围内,利 用函数最值解决问题.

第16讲┃ 回归教材

中考变式
[2012·嘉兴] 某汽车租赁公司拥有20辆汽车.据统计,当 每辆车的日租金为400元时,可全部租出;当每辆车的日租 金每增加50元,未租出的车将增加1辆;公司平均每日的各 项支出共4800元.设公司每日租出x辆时,日收益为y元.(日 收益=日租金收入-平均每日各项支出) (1)公司每日租出x辆 (1400-50x) 时,每辆车的日租金为__________元(用含x的代数式表示); (2)当每日租出多少辆时,租赁公司日收益最大?最大是多 少元? (3)当每日租出多少辆时,租赁公司日收益不盈也不亏?

第16讲┃ 回归教材

解:(1) (1400-50x) (2)y=x(-50x+1400)-4800=-50x2+1400x-4800=-50(x -14)2+5000. 当x=14时,在0≤x≤20范围内,y有最大值5000. ∴当每日租出14辆时,租赁公司日收益最大,最大值为5000 元. (3)要使租赁公司日收益不盈也不亏,即y=0. 即-50(x-14)2+5000=0,解得x1=24,x2=4. ∵x=24不合题意,舍去. ∴当每日租出4辆时,租赁公司日收益不盈也不亏


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