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高等数学背景下的导数问题

发布时间:2013-10-30 09:32:00  

高等数学背景下的导数问题

戎 钢

随着高中新课程改革的深入,大学高等数学的内容被引入或者介绍了很多,如选修4部分。而实际上在必修部分新增的内容就已足够值得关注,这些内容的变化很有可能是高考试卷今后命题的趋势。导数部分内容就丰富了很多。如指数函数、对数函数及分是函数的求导就使得我们的研究范围不仅仅局限在多项式函数主要是三次函数的系列问题。我们还要指导学生通过类比的手段利用导数研究函数的单调性、极值点,作出函数的示意图,通过直观化解决超越函数的有关问题。另外,随着高考命题自主化的深入,越来越多的省和地区开始尝试自己命题,而在命题组中高校教师占很重要的地位。他们在命题时,会受到自身研究氛围的影响,有关高等数学背景的问题会逐渐增加丰富起来。函数图像的凸凹性,导数中的拐点,拉格朗日中值定理,李普希茨条件??虽然高考考试没有要求学生掌握但是可以利用已有的知识和方法来解决有关背景的问题。

一、函数的拐点问题

例1(2007湖南文21)已知函数f(x)?1312x?ax?bx在区间[?11),,(1,3]内各有一32

个极值点.(I)略;

2(II)当a?4b?8时,设函数y?f(x)在点A(1,f(1))处的切线为l,若l在点A处穿过函数y?f(x)的图象(即动点在点A附近沿曲线y?f(x)运动,经过点A时,从l的一侧进入另一侧),求函数f(x)的表达式.

解析:(II)思路一:由f?(1)?1?a?b知f(x)在点(1,f(1))处的切线l的方程是 y?f(1)?f?(1)(x?1),即y?(1?a?b)x?21?a, 32

因为切线l在点A(1,f(x))处过y?f(x)的图象, 所以g(x)?f(x)?[(1?a?b)x?21?a]在x?1两边附近的函数值异号,则 32

x?1不是g(x)的极值点.

131221而g(x)?x?ax?bx?(1?a?b)x??a,且 3232

g?(x)?x2?ax?b?(1?a?b)?x2?ax?a?1?(x?1)(x?1?a).

若1??1?a,则x?1和x??1?a都是g(x)的极值点.

2所以1??1?a,即a??2,又由a?4b?8,得b??1,故f(x)?13x?x2?x. 3

解法二:同解法一得g(x)?f(x)?[(1?a?b)x?21?a] 32

13a3?(x?1)[x2?(1?)x?(2?a)]. 322

因为切线l在点A(1,f(1))处穿过y?f(x)的图象,所以g(x)在x?1两边附近的函数值异号,于是存在m1,m2(m1?1?m2).

当m1?x?1时,g(x)?0,当1?x?m2时,g(x)?0;

或当m1?x?1时,g(x)?0,当1?x?m2时,g(x)?0. 3a??3a?x?2????,则 2??2?

当m1?x?1时,h(x)?0,当1?x?m2时,h(x)?0; 设h(x)?x2??1???

或当m1?x?1时,h(x)?0,当1?x?m2时,h(x)?0.

由h(1)?0知x?1是h(x)的一个极值点,则h(1)?2?1?1?

2所以a??2,又由a?4b?8,得b??1,故f(x)?3a?0, 213x?x2?x 3

点评 本题中“l在点A处穿过函数y?f(x)的图象”实际上是指点A处是函数的拐点。 有关拐点的问题,在讲解极值点内容时举的最多的例子就是函数y?x3。在x?0处虽然导函数值为0,但不是极值点,左右两边的单调性相同。从数来看,x?0使导函数所对应方程的偶次重根。所以本例中可知x?1是g'(x)?0重根。

二、函数的凸凹性

例2.f(x)?(x?1)ln(x?1)若对所有的x都有f(x)?ax成立,则实数a的取值范围是_____. 解析:,

, 由设F(x)?f(x)?ax?(x?1)ln(x?1)?ax.则F'(x)?ln(x?1)?1?a

F'(x)?0,得x?ea?1。注意到F(0)=0,若在定义域有极值则比在区间(0,+∞)外.

另解:

f(x)的示意图如图,由图可知直线y=ax在区间(0,+∞)上恒在

y=f(x)图像下方,所以a≤

1.

点评:本题注意f(x)的图像过定点(0,0)考虑数形结合就会带来一个问题:虽然可以证明函数是单调递增函数,但是递增的形式是类似y?x3还是类似y?lnx即函数的凸凹性。我们也可以通过再求导,探讨切线斜率的增减性来确定函数图像递增的趋势即凸凹性。

三、拉格朗日中值定理

例3.(南通2008第二次调研考试.19) 已知函数f(x)?12x?2x,g(x)?logax(a?0,a?1).如果h(x)?f(x)?g(x)是增函2

数,且h'(x)存在零点(h'(x)为h(x)的导函数。

(1)求a的值; (2)设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1?x2)是函数y?g(x)的图像上两点,g'(x0)?y2?y1的导函数。证明:x1?x0?x2. x2?x1

y?y1lnx2?lnx111,?g'(x0)??2? xx0x2?x1x2?x1解析:(1)略。a=e。 (2)由(1)得g(x)?lnx,g'(x)?

即x0?x2?x1. lnx2?lnx1

x2?x0?x2?x2?x1x(lnx2?lnx1)?(x2?x1)x2lnx2?x2lnx1?x2?x1?2?lnx2?lnx1lnx2?lnx1lnx2?lnx1将x2换成x构造函数H(x)?xlnx?xlnx1?x?x1,定义域为x?(x1,x2)

则H'(x)?lnx?lnx1,?x?(x1,x2)?H'(x)?0即H(x)在定义域(x1,x2)上单调增, ?H(x)?H(x1)?0。即x2?x0.同理可证x1?x0.

点评:本道题目背景是拉格朗日中值定理中值定理:若函数f(x)是在闭区间[a,b]上连续

不断的函数,且在区间(a,b)内导数都存在,则(a,b)至少存在一点x0,使得f'(x0)?f(b)?f(a)。而我们解决这一问题的手段是通过构造函数,利用导数证明单调b?a

性,从而求证不等式。我们学过的指数、对数函数,正弦、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理。仿照例3,请尝试证明下面题目。

1、 证明:当0<a<b时,b?abb?a?ln?. baa

2、 已知函数f(x)?mx3?nx2,m,n?R,m?0的图像(2,f(2))处的切线与a轴平

行。

(1) 求m,n的关系式并求f(x)单调递减区间;

(2) 证明对于任意实数0?x1?x2?1,关于x的方程f(x)?f(x2)?f(x1)在x2?x1

(x1,x2)恒有实数解。

例4.函数f(x)?x3?x?2,x?R.a=0时,曲线f(x)的切线斜率范围记为集合A,曲线f(x)上不同两点P(x1,y1),Q(x2,y2),连线斜取值率范围记为集合B,你认为集合A、B之间有怎样的关系,并证明你的结论。

解析:B?A

?f(x)?x3?x?2有f'(x)?3x2?1?1故A?[1,??)

3f(x1)?f(x2)(x13?x2)?(x1?x2)设PQ斜率为k,则k? ?x1?x2x1?x2

22=x1?x1x2?x2?1=(x1?x2232)?x2?1 24

x2xx?x1?0.若x1?2?0,有x1??2?0,得222?x1?x2故若x2?0,有x1?

x2?0?(x1?

?B?A x2232)?x2?1?1,即k>1.?B?(1,??). 24

点评:注意到割线k的表示形式k?f(x1)?f(x2)?f'(x0), x1?x2

x0?(x1,x2)?定义域D,联系拉格朗日定理,易证若k?B?k?A.可将本题推广到任意曲线割线斜率的范围组成的集合B是切线范围组成集合A 的子集这一结论。 下面一题就很容易了。

已知函数f(x)??x3?ax2?b,求证:若y?f(x)图像上任意不同两点连线的斜率都不大于1,则??a?3.

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