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高数微积分公式大全

发布时间:2013-10-30 09:32:01  

高等数学微积分公式大全

一、基本导数公式

⑴?c???0 ⑵x???x??1 ⑶?sinx???cosx ⑷?cosx????sinx ⑸?tanx???secx ⑹?cotx????cscx

2

2

⑺?secx???secx?tanx ⑻?cscx????cscx?cotx ⑼?ex???ex ⑽?ax???axlna ⑾?lnx???⑿?logax??

?

1xlna

11?x

2

1x

⒀?

arcsinx???

11?x

2

⒁?

arccosx????

⒂?arctanx??? ⒃?arccotx????

⒄?x???

1⒅

?

?

1

二、导数的四则运算法则

??v?u?v???u??v? ?uv???u

?u?v?u?v?u?

?u v ??? 2

v?v?

三、高阶导数的运算法则 (1)??u?x??v?x???(3)??u?ax?b???

?n??n?

?u?x?

n

?n?

?v?x?

?n?

(2)??cu?x???

?n?

?n?

?cu

n

?n?

?x?

?au

?n?

?ax?b? (4)??u?x??v?x???

?

?c

k?0

k

n

u

?n?k?

?x?v(k)?x?

四、基本初等函数的n阶导数公式 (1)?xn?

?n?

?n! (2)?e

?n?

ax?b

?

?n?

?a?e

nax?b

(3)?ax?

?n?

?alna

xn

(4)??sin?ax?b????1?(6)???ax?b?

?n?

?n???????nn

?asin?ax?b?n?? (5) ?cosax?b?acosax?b?n?????? ??

2?2???

???1?

n

a?n!

n

?ax?b?

n?1

(7) ??ln?ax?b???

?n?

???1?

n?1

a??n?1?!

n

?ax?b?

n

五、微分公式与微分运算法则

⑴d?c??0 ⑵d?x????x??1dx ⑶d?sinx??cosxdx ⑷d?cosx???sinxdx ⑸d?tanx??secxdx ⑹d?cotx???cscxdx

2

2

⑺d?secx??secx?tanxdx ⑻d?cscx???cscx?cotxdx ⑼d?ex??exdx ⑽d?ax??axlnadx ⑾d?lnx??

1xdx

⑿d?logax??

1xlna

1

dx ⒀d?

arcsinx??

1 ⒁d?

arccosx???

11?x

2

1

⒂d?arctanx??

1?x

2

dx ⒃d?arccotx???

dx

六、微分运算法则

⑴d?u?v??du?dv ⑵d?cu??cdu ⑶d?uv??vdu?udv ⑷d?七、基本积分公式

⑴?kdx?kx?c ⑵?xdx?

a

x

xx

?c ⑸?edx?e?c ⑹?cosxdx?sinx?c

?u?vdu?udv

??2

v?v?

?

x

??1

??1

?c ⑶?

dxx

?lnx?c

⑷?adx?

x

lna

⑺?sinxdx??cosx?c ⑻?⑼?⑾?

1sinx

2

1cosx11?x

22

dx?

?secxdx?tanx?c

2

?

?cscxdx??cotx?c ⑽?

dx?arcsinx?c

2

dx?arctanx?c

八、补充积分公式

?tanxdx??ln

cosx?c

?c

?cotxdx??cscxdx?

1

2

lnsix?nlncsx?c

c

xo?t c

?secxdx?lnsecx?tanx?a

1

2

?x

2

dx?

1a

arctan

xa

?c

?

x?

?a2

dx?

12a

ln

x?ax?a

?c

?

?arcsin

xa

?c

dx?lnx??c

九、下列常用凑微分公式

十、分部积分法公式

⑴形如

?xneaxdx,令u?xn,dv?eaxdx

形如?xnsinxdx令u?xn,dv?sinxdx

形如?xncosxdx令u?xn,dv?cosxdx ⑵形如?xnarctanxdx,令u?arctanx,dv?xndx

n

形如?xnlnxdx,令u?lnx,dv?xdx

⑶形如?eaxsinxdx,?eaxcosxdx令u?e,sinx,cosx均可。 十一、第二换元积分法中的三角换元公式

x?asint (2)

ax

x?atant x?asect

【特殊角的三角函数值】 (1)sin0?0 (2)sin

?

6?12

(3)sin

?

3

?

2

(4)sin

?

2

?1) (5)sin??0

(1)cos0?1 (2)cos

?

6

?

23

(3)cos

?

3

?

12

(4)cos

?

2

?0) (5)cos???1

(1)tan0?0 (2)tan

?

6

?(3)tan

?

3

?(4)tan

?

2

不存在 (5)tan??0

(1)cot0不存在 (2

)cot十二、重要公式 (1)lim

sinxx

x?0

?

6

?(3

)cot

?

3

?

3

(4)cot

?

2

?0(5)cot?不存在

?1 (2)lim?1?x?x?e (3

)lim

x?0

1

n??

a?o)?1

(4

)lim

n??

?1 (5)limarctanx?

x??

?

2

(6)limarctanx??

x???

?

2

(7)limarccotx?0 (8)limarccotx?? (9)lime?0

x??

x???

x

x???

(10)lime?? (11)lim?x?1

x???

x?0

xx

(12)lim

a0x?a1xb0x?b1x

m

nn?1m?1

???an???bm

x??

?a0?b0????0?????

n?m

n?m (系数不为0的情况) n?m

十三、下列常用等价无穷小关系(x?0)

sinx?x tanx?x arcsixn?x arctaxn?x 1?coxs?

12

x

2

ln?1?x??x ex?1?x ax?1?xlna ?1?x??1??x

?

十四、三角函数公式 1.两角和公式

sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB sinA(?B?)cos(A?B)?cosAcosB?sinAsinB cosA(?B?)tan(A?B)?

tanA?tanB

(?B?) tanA

siAncoAstanA?

cBo?scBo?staBn

cAos BAsin B

1?tanAtaBn

cotA?coBt?1

cot(A?B)?(?B?) cotA

cotB?cotAcotB?coAt

1?tanAtanBcotA?cotB?1

2.二倍角公式

sin2A?2sinAcosA cosA2?tan2A?

2tanA1?tanA

2

coAs?

22

siAn??1

2

2Asi?n

2

2Ac? os1

3.半角公式

sin

A2A2?

A

co?

2

sinA

tan??

A

co?

1?cosA2

?

siAn?1

cAos

4.和差化积公式

sina?sinb?2sin

a?b22?cos

a?b22

sina? cosa?

sibn?cobs??

a?b

2?

2

a?b2?

2

a?b 2a?b 2

cosa?cosb?2cos

a?b

?cos

a?b

tana?tanb?

sin?a?b?cosa?cosb

5.积化和差公式

sinasinb??sina

cobs?

1212??

??cos?a?b??cos?a?b???s?ian??b?

sibn?

12

cosacosb???

12

??cos?a?b??cos?a?b???

?

sian???b cosa?

s?ian??b??

sian???b ?

6.万能公式

2tan

sina?

1?tan

a2

2

1?tan

a2

2

a

tana?

a2

cosa?

1?tan

2

a

2ta1?tan

2

a2

7.平方关系

sinx?cosx?1 secx?tanx?1 cscx?cotx?1

2

2

2

2

2

2

8.倒数关系

tanx?cotx?1 secx?coxs? 1?sinx? 1 cscx

9.商数关系

tanx?

sinxcosx

cotx?

cosxsinx

十五、几种常见的微分方程 1.可分离变量的微分方程:

dy

dydx

?f

?x?g?y? , f1?x?g1?y?dx?f2?x?g2?y?dy?0

2.齐次微分方程:

?y?

?f?? dx?x?

dydx

?p?x?y?Q?x? 解为:

3.一阶线性非齐次微分方程:

?p?x?dx??p?x?dxdx?c?y?e?Qxe ???????

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