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人教版九年级24章圆复习课件

发布时间:2013-11-10 10:51:37  

知识体系

基本性质 直线与圆的 位置关系 圆与圆的 位置关系 正多边形 和圆

概 念

对 称 性

圆周角与 圆心角的 关系

垂 径 定 理

圆心角、 弧、弦之 间的关系 定理

圆的定义(运动观点)
?在一个平面内,线段OA绕它固 定的一个端点O旋转一周,另一 个端点A随之旋转所形成的图形 叫做圆。 ?固定的端点O叫做圆心,线段 OA叫做半径,以点O为圆心的圆, 记作☉O,读作“圆O”

圆的定义(集合观点)
? 圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

– 圆上各点到定点(圆心)的距离都等于定长 (半径);
– 到定点的距离等于定长的点都在圆上。
? 一个圆把平面内的所有点 分成了多少类? ? 你能模仿圆的集合定义思 想,说说什么是圆的内部 和圆的外部吗?

圆的定义辨析
? 篮球是圆吗?
– 圆必须在一个平面内

? 以3cm为半径画圆,能画多少个? ? 以点O为圆心画圆,能画多少个? ? 由此,你发现半径和圆心分别有什么作用?
– 半径确定圆的大小;圆心确定圆的位置

? 圆是“圆周”还是“圆面”?
– 圆是一条封闭曲线

? 圆周上的点与圆心有什么关系?

点与圆的位置关系
? 点与圆的位置关系是由什么来决定的 呢? 点到圆心的距离

如果圆的半径为r, 点到圆心的距离为d,则: 点在圆上? d=r 点在圆内? d<r 点在圆外? d>r

? 弦和直径

– 什么是弦?什么是直径? – 直径是弦吗?弦是直径吗?

与圆有关的概念

? 弧与半圆
– 什么是圆弧(弧)?怎样表示? – 弧分成哪几类? – 半圆是弧吗?弧是半圆吗?

? 弓形是什么? ? 同心圆、同圆、等圆和等弧
– 怎样的两个圆叫同心圆? – 怎样的两个圆叫等圆? – 同圆和等圆有什么性质? – 什么叫等弧?

圆的有关性质
过三点的圆

思考:确定一条直线的条件是什么?
类比联想:是否也存在由几个点确定一个圆呢?
讨论:经过一个点,能作出多少个圆?
经过两个点,如何作圆,能作多少个? 经过三个点,如何作圆,能作多少个?

经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆, 外接圆的圆心叫做三角形的外心,
C C C

三角形叫做圆的内接三角形。
A A A O O C O

B B
B

问题1:如何作三角形的外接圆? 如何找三角形的外心?

问题2:三角形的外心一定 ∠C=90°O ▲ABC是锐角三角形 ▲ABC是钝角三角形 A 在三角形内吗?

B

垂直于弦的直径

及其推 论

AO=BO=CO=DO, D 弧AD=弧BC,弧AC ?想一想:将一个圆沿着任一条直径对折,两 O C =弧BD。 侧半圆会有什么关系? AO=BO=CO=DO, 性质:圆是轴对称图形,任何一条直径所在 弧AD=弧BC=弧AC 的直线都是它的对称轴。 D C

=弧BD。 O
A
? ?

A

B

观察右图,有什么等量关系? AO=BO=CO=DO,弧 AD=弧BD,弧AC= 弧BC, AE=BE 。

垂直于B 弦的直A 径
C O E D

B

垂直于弦的直径平分这 条弦,并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理
A

C

O

E

D

B

判断下列图形,能否使用垂径定理?
B O C A D C

B O A D C
O E D C

B O A D

注意:定理中的两个条件 (直径,垂直于弦)缺一不 可!
?

若圆心到弦的距离用d表示, 半径用r表示,弦长用a表示, 这三者之间有怎样的关系?
?

O

A

E

B

?a? r ? d ?? ? ? 2?
2 2

2

变式1:AC、BD有什么关系?
A O D B

C

变式2:AC=BD依然成 立吗?
A C E F O D B

FD FB 变式3:EA=____, EC=_____。
A C O D B

OA=OB 变式4:______ AC=BD.

AC=BD.
A C O D B

OC=OD 变式5:______

? 如图,P为⊙O的弦BA延长线上一点, PA=AB=2,PO=5,求⊙O的半径。
B M O A P

关于弦的问题,常常需 要过圆心作弦的垂线段, 这是一条非常重要的辅 助线。 ?圆心到弦的距离、半径、 弦长构成直角三角形, 便将问题转化为直角三 角形的问题。
?

画图叙述垂径定理,并说出 定理的题设和结论。

题设
①直线CD经过圆心O ②直线CD垂直弦AB 想一想:如果将题设和 ② ① ② ① ③ ③ 结论中的5个条件适当互 ④ ② ③ ③ ④ 换,情况会怎样? ⑤ ⑤ ⑤ ① ④ ④ ⑤ ② ① ② ③ ② ④ ⑤ ③

结论
③直线CD平分弦AB ④直线CD平分弧ACB ⑤直线CD平分弧AB
① ① ④ ② ⑤ ④ ① ③ ⑤
C E O B

A

D

(1)平分弦(不是直径)的直径垂直 于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且 平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂 直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。
C E O B

A

D

圆的两条平行弦所夹的弧相等。

如图,CD为⊙O的直径,AB⊥CD,EF⊥CD, 你能得到什么结论? E
A

弧AE=弧BF
C
O

D
B F

圆心角、弧、弦、 弦心距之间的关系

圆的性质
? 圆是轴对称图形,每一条直径所在的直线都是 对称轴。 ? 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 ? 圆还具有旋转不变性,即圆绕圆心旋转任意一 个角度α,都能与原来的图形重合。

圆心角:顶点在圆心的角。
(如:∠AOB)
A

弦心距:从圆心到弦的距离。
(如:OC)
B

O

C

如图,∠AOB=∠A`OB`,OC⊥AB, OC`⊥A`B`。
猜想:弧AB与弧A`B`,AB与A`B`, OC与OC`之间的关系, 在同圆或等圆中, 定理 相等的圆心角所对的弧相等, 所对的弦相等,所对的弦的 弦心距相等。

A C

O

B C' A'

B'

题设
在 同 圆 前 或 提 等 圆 中 ( 条 件 ) 圆 心 角 相 等

结论
圆心角所对的弧相等, 圆心角所对的弦相等, 圆心角所对弦的弦心距相等。

( )

推论 在同

圆或等圆中, 如果两个圆心角、两条弧、 两条弦或两条弦的弦心距中有 一组量相等,那么它们所对应 的其余各组量都分别相等。

把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的 圆心角是1°的角。1°的圆心角所对的弧叫做 1°的弧。
n°弧
C D

一般地,n°的圆心角 对着n°的弧。

n°圆心角
O A

1°圆心角

B

1°弧

圆心角的度数 和它所对的弧 的度数相等。

圆周角

角的顶点 在圆心
F D C
O

圆心角:如∠BOA
圆内角:如∠BCA 圆外角:如∠BFA 圆周角:如∠BDA
?角的顶点在圆周上 ?是否顶点在圆周上 的角就是圆周角呢?
A

B

B

C

C A
C

A

O

O
O

B

A

B

圆周角:顶点在圆上,并且两边都和圆相 交的角。 圆心角: 顶点在圆心的角.

画图:同一条弧所对的圆周角和圆心角 之间可能出现哪几种不同的位置关系?
C

C

C

O A B

O B

O
A

A B

回顾:圆周角等于它所对的弧的度数的一半。

猜想:圆周角和圆心角都是与圆有关的角, 它们之间有什么关系?

一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半
C
C

C

O B

化 归
A

O A B

化 归

O

A B

分类讨论

完全归纳法

圆周角定理

C

1、已知∠AOB=75°, 求: ∠ACB 2、已知∠AOB=120°, B 求: ∠ACB
O

C

O A B

A

3、已知∠ACD=30°,求: ∠AOB
4、已知∠AOB=110°,求: O B ∠ACB

C O D A

B

A

C

? 定理:一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半。 ? 也可以理解为:一条弧所对的圆心角是 它所对的圆周角的二倍;圆周角的度数 等于它所对的弧的度数的一半。

推论
? 弧相等,圆周角是否相等?反过来呢? ? 什么时候圆周角是直角?反过来呢? ? 直角三角形斜边中线有什么性质?反过 来呢?

C

同弧所对的圆 如图,比较∠ACB、∠ADB、∠AEB 的大小 周角相等
E

D

E

O B

A

A

O B

F D

等弧所对的圆周角相等; 如图,如果弧AB=弧CD,那么∠E 在同圆中,相等的圆周角 和∠F是什么关系?反过来呢?
所对的弧也相等
E O1 C A D O2

C

如图,⊙O1和⊙O2是等圆, 等圆也成立 如果弧AB=弧CD,那么∠E 和∠F是什么关系?反过来 呢?

F

B

推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等; 同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等。
思考: 1、“同圆或等圆”的条件能否去掉? 2、判断正误:在同圆或等圆中,如果两个 圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个 圆周角中有一组量相等,那么它们所对应的 其余各组量也相等。
B

C

E
O A D B

A

O

D
C

F

推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是90°; 90°的圆周角所对的弦是直径。 推论3 如果三角形一边上的中线等于这条边 的一半,那么这个三角形是直角三角形。
C E D A O B

? 什么时候圆周角是

直角? 反过来呢? ? 直角三角形斜边中线有什 么性质?反过来呢?

已知:点O是ΔABC的外心, ∠BOC=130°,求∠A的度数。
C

C

A

O A B

O

B

直线和圆的位置关系
重点内容


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