haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 初中历政地初中历政地

新人教版九年级切线长定理复习课件省优质

发布时间:2013-11-15 12:56:49  

直线和圆的位置关系
位置关系 相交 相切

有且仅有 相离

公共点个数 d与r的关系 公共点名称
直线名称

2个 d<r 交点 割线

1个 d=r 切点 切线

无 d>r

注意:“?”, 即“等价于”

如何判断一条直线是否是圆的切线? 1、经过半径的外端点(或 d=r) 2、垂直于这条半径(或90度)。 切线的判定定理 经过半径的外端点且 垂直于这条半径的直线 是圆的切线
推理 格式

.O l

∵OA⊥l

A

切点

∴L是⊙ O 的切线

例1

直线AB经过圆O上的C,并且 OA=OB,AC=BC,

求证:直线AB是圆O 的切线

O

A

B

C

练习1

AB=AC,∠C=45°,

以AB为直径作⊙O ,
求证:AC是⊙O的切线
B

O

C

A

切线的性质定理

圆的切线垂直于经过 切点的半径
推理 格式
.O l

∵L是⊙ O 的切线

∴OA⊥l

A

切点

练习2
AC是直径,AB和CD 是切线,判断AB和CD 的位置关系 A

B

O

C

D

已知AB是直径,BC是切线,AC交圆 O于点D,点E是BC的中点。 求证:DE是圆O 的切线 C D E
4

1
A


2 3

B

O

如图,在气象站台A的正西方向的B处有一 台风中心,该台风中心以每小时24km的速 度沿北偏东600的BD方向移动,在距离台 风中心100km内的地方都要受到其影响。 且AB=160KM


⑵台风中心在移动过 D C 程中,气象台将受台 60 风的影响,求台风影 东 A 响气象台的时间会持 B 续多长? ⑴台风中心在移动过程中,气象台A是否会
o

? 证明一条直线是圆的切线,常常需要作辅助线。 – 若直线过圆上某一点,则连结圆心和公共点, 再证明直线与半径垂直 – 若直线与圆的公共点没有确定,则过圆心向直 线作垂线,再证明圆心到直线的距离等于半径。

如图, O的半径为8厘米,圆 ⊙ 内弦AB=8 3厘米, 以O为圆心,4厘米为 半径作小圆,求证:小 圆与 直线AB相切。
O

A

B

切线判定与性质典型例题
? 已知:AB是⊙O的直径, BC是⊙O的切线,切点为 B,OC平行于弦AD。 A 求证:DC是⊙O的切线。 ? 如图,在以O为圆心的两个 同心圆中,大圆的弦AB和CD 相等,且AB与小圆相切于点 E,求证:CD与小圆相切。 B
C

D
B

O

A E O

C F D

已知:如图,在△ABC中,AB=AC ,以AB为直径的⊙O交于点D,过点 D作DE⊥AC于点E.求证:DE是⊙O 的切线
C D B O A

E

如图所示, △ABC是直角三角形, ∠ABC =90° ,以AB为直径的⊙O交AC于点E,点 D是BC边的中点,连结DE. (1)求证:DE与⊙O相切; (2)若的半径为 3 ,DE=3,求AE.
A

E
O

B

D

C

在Rt△ABC中,BC=9, CA=12,∠ABC 的平分线BD交AC与点D, DE⊥DB交AB 于点E.1)设⊙O是△BDE的外接圆, 求证:AC是⊙O的切线; . (2)设⊙O交BC于点F, 连结EF,求的值

切线的性质
重点内容

? 切线判定:直线l:①过半径外端②

垂直于半径 ? 切线性质:切线l,A为切点:OA⊥l 切线的性质定理:圆的切线垂 直于经过切点的半径。

推论: 1、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 2、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

切线性质定理的推广
? 性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径 ? 推1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 ? 推2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
你能用一个定理把圆的切 线的性质及它的两个推论 概括出来吗?

如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个, 就可以推出第三个:(1)垂直于切线;(2) 过切点;(3)过圆心。

如图,⊙O的半径为2,点A的坐标 为(2, 3 ),直线AB为⊙O的切 2 线,B为切点.则B点的坐标为 (D ) A.? 3 8? y ? ? B. C.
? ? ?

??

2

,

3, 1

?

5? ?

A

B O

1 1 x

D. ? 1, 3

?

? 4 9? , ? ?? ? 5 5?

?

24.2.2直线与圆的位置关系(3)

切线长定理

复习
1、切线的判定定理

经过半径的外端且垂直于这条半径的直 线是圆的切线。
2、切线的性质归纳

O A B

如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个,那 么它一定满足第三个条件。这三个条件是: (1)过圆心; (2)过切点; (3)垂直于切线。

知二求一

O
A B

切线长概念
经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之 间的线段的长,叫做这点到圆的切线长。
A

如右图,线段PA, PB叫做点P到⊙O的 切线长,对吗?
B

想一想:切线和切线长是什么关系?

活动 二
如图,纸上有一⊙O ,PA为⊙O的一条切线, 沿着直线PO对折,设圆上与点A重合的点为 B。 A
3、PA、PB有何关系? PA=PB 4、∠APO和∠ BPO有何关系?

O B

P

∠APO=∠ BPO
利用图形轴对称性解释

推理论证
已知:从⊙O外的一点P引两条切线PA, PB,切点分别是A、B. 求证: AP=BP, ∠OPA=∠OPB A 证明:连接OA,OB
∵PA,PB与⊙O相切, 点A,B是切点 ∴OA⊥PA,OB⊥PB 即 ∠OAP=∠OBP=90° ∵ OA=OB,OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB

B

切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线,它 们的切线长相等,这一点和圆心的连线平 分两条切线的夹角。 A 符号语言: PA、PB分别切⊙O于A、B PA = PB B ∠OPA=∠OPB
归纳:切线长定理为证明线段相等、 角相等提供新的方法

应用新知
1、判断
(1)过一点可以做圆的两条切线。(× ) (2)切线长就是切线的长。(× ) 2、已知PA、PB与⊙O相切 于点A、B,⊙O的半径为2 (1)若四边形OAPB的周 长为10,则PA= 3 。 (2)若∠APB=60°, 则PA= 2 3。 ∠AOB= 2 2 30 4 °

A

B

思考
已知:PA、PB分别与⊙O切于点AB,连接AB交OP 于点M,那么OP除了平分∠APB以外,还有什么作用? 请说明理

由。 A

(1)OP垂直平分AB
即 OP⊥AB,AM=BM ⌒ (2)OP平分 AB B ⌒ ⌒ 即 AM = BM 切线长定理为证明线段相 等,角相等,弧相等,垂 (3)OP平分∠AOB 直关系提供了理论依据。 即 ∠AOP=∠BOP O
M

P

归纳:作辅助线方法 在解决有关圆的切线长 问题时,往往需要我们 构建基本图形。 (1)分别连接圆心和切点 (2)连结两切点 (3)连结圆心和圆外一点
O

A P

M

B

练习:PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点,
直线OP交于⊙O于点D、E,交AB于C。 A (1)写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA,OB ⊥PB,AB ⊥OP (2)写出图中所有的全等三角形 △AOP≌ △BOP, △AOC≌ △BOC, △ACP≌ △BCP (3)写出图中所有的等腰三角形 △ABP △AOB

E
O

C D
B

P

例题

例:如图,PA、PB分别切⊙ O于A、B, CD与⊙O切于点E,分别交PA,PB于C、 D,已知PA=7cm,求△PCD的周长. 证明: ∵PA、DC为⊙O的切线 ∴DA=DE (切线长定理) 同理可证 CE=CB,PA=PB A 又∵C△PCD=PD+PC+CD D =PD+PC+DE+CE ·O P =PA+PB E =7+7 C =14 cm B

练习:如图,四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和 圆⊙O分别相切于点L、M、N、P 求证: AD+BC=AB+CD
证明: ∵四边形ABCD的边AB、 D BC、CD、DA和圆⊙O 分别相切于点L、M、N、P ∴AL=AP,LB=MB, NC=MC,DN=DP A ∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP 即 AB+CD=AD+BC

N

C

P

O
L

M B

补充结论:圆的外切四边形的两组对边之和相等.

总结

课堂小结
1、切线长概念 经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的 线段的长,叫做这点到圆的切线长。

2、切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相 等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 3、切线长定理为证明线段相等,角相等,弧相等, 垂直关系提供了理论依据。 4、圆的外切四边形的两组对边的和相等.

问题1、经过平面上一个已知点,作已知 圆的切线会有怎样的情形?

A
P· · O P· · O P·
B

· O

A



P

O

B

思考:假设切线PA已作出,A为切点, 则∠OAP=90°,连接OP,可知A在怎样的 圆上?

在经过圆外一点的切线上,这一点和切点之间的线 段的长叫做这点到圆的切线长
A

· O

P

B

切线与切线长的区别与联系:
(1)切线是一条与圆相切的直线;
(2)切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。

若从⊙O外的一点 引两条切线PA,PB,切 点分别是A、B,连结OA、 OB、OP,你能发现什么 结论?并证明你所发现 的结论。 PA = PB ∠OPA=∠OPB
∴OA⊥PA,OB⊥PB

B


O

P

A 证明:∵PA,PB与⊙O相切,点A,B是切点 即∠OAP=∠OBP=90°
试用文字语言 叙述你所发现 的结论

∵ OA=OB,OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB

切线长定理 从圆外一点引圆的两条 切线,它们的切线长相 等,圆

心和这一点的连 线平分两条切线的夹角。 几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B

B


O

P
A

PA = PB
∠OPA=∠OPB

反思:切线长定理为证明线段相等、角相 等提 供了新的方法

我们学过的切线,常有 六个 性质: 五个
1、切线和圆只有一个公共点;
2、切线和圆心的距离等于圆的半径;

3、切线垂直于过切点的半径;
4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点; 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。

6、从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等, 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

若连结两切点A、 B,AB交OP于点M.你 又能得出什么新的结 论?并给出证明. OP垂直平分AB
∴PA = PB

B
。 M

O

P

A

证明:∵PA,PB是⊙O的切线,点A,B是切点
∠OPA=∠OPB

∴△PAB是等腰三角形,PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB

若延长PO交 ⊙O于点C,连结CA、 CB,你又能得出什 C 么新的结论?并给出 证明. CA=CB
∴PA = PB ∴PC=PC ∴ △PCA ≌ △PCB

B


P A

O

证明:∵PA,PB是⊙O的切线,点A,B是切点
∠OPA=∠OPB

∴AC=BC

例.PA、PB是⊙O的两条切线, A、B为切点,直线OP交于 ⊙O于点D、E,交AB于C。
(1)写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA,OB ⊥PB,AB ⊥OP (2)写出图中与∠OAC相等的角

A
E

O

C D
B

P

∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC (3)写出图中所有的全等三角形 △AOP≌ △BOP, △AOC≌ △BOC, △ACP≌ △BCP (4)写出图中所有的等腰三角形 △ABP △AOB (5)若PA=4、PD=2,求半径OA

反思:在解决有关 圆的切线长问题时, 往往需要我们构建 基本图形。

反思:在解决有关圆 A 的切线长的问题时, 往往需要我们构建基 本图形。 。

O

P

B

(1)分别连结圆心和切点
(2)连结两切点 (3)连结圆心和圆外一点

B



结:
E

1.切线长定理 从 圆外一点引圆的两 条切线,它们的切 线长相等,圆心和 这一点的连线平分 两条切线的夹角。

O



C D

P

A ∵PA、PB分别切⊙O于A、B ∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB OP垂直平分AB 切线长定理为证明线段相等,角 相等,弧相等,垂直关系提供了理论 依据。必须掌握并能灵活应用。

2.圆的外切四边形的两组对边的和相等

o.


o.

三角形外接圆
C

三角形内切圆
C

. o
A B B

. o
A

外切圆圆心:三角形三边 垂直平分线的交点。

内切圆圆心:三角形三个 内角平分线的交点。 内切圆的半径:交点到三 角形任意一边的垂直距离。

外切圆的半径:交点到三 角形任意一个定点的距离。

分析题目已知:如图, △ABC的内切圆⊙O 与BC 、CA、 AB 分别相交于点D 、 E 、 F ,且AB=9厘米,BC =14厘米,CA = 13厘米,求AF、BD、CE的长。
A E

F
B

O D

C

例.如图所示PA、PB分别切圆O于A、B, 并与圆

O的切线分别相交于C、D,? 知 已 PA=7cm, (1)求△PCD的周长. (2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数
A D P E C B
O ·O

过⊙O外一点作⊙O的切线
A

O · O

P

B

例1 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于
点D、E、F,且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm, 求AF、BD、CE的长.

解: ∵ ⊙O与△ABC的三边都相切
∴AF=AE,BD=BF,CE=CD
设AF=x(cm), BD=y(cm),CE=z(cm) 则有 x+y=9 y+z=14 x+z=13 x=4 解得 y=5 z=9

∴ AF=4(cm), BD=5(cm),

CE=9(cm).

例.如图,△ABC中,∠C =90o,它的 内切圆O分别与边AB、BC、CA相切 于点D、E、F,且BD=12,AD=8, 求⊙O的半径r.
A

D

F

O
B

E

C

1.一个三角形有且只有一个内切圆; 2.一个圆有无数个外切三角形; 3.三角形的内心就是三角形三条内角平

分线的交点;
4. 三角形的内心到三角形三边的距离相等。

分析. 试说明圆的外切四边形的两组 对边的和相等.

选做题: 如图,AB是⊙O的直径,AD、DC、BC是切线,点A、 E、B为切点,若BC=9,AD=4. 求OE的长.
E C D

E

C

D
A · O

F
B

A

· O

B

三角形的内切圆的有关计算 如图,△ABC的内切圆的半径为r, △ABC的周长为l,求△ABC的面积S. 连结OA、OB、OC、OD、OE、OF, 则OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC.
∴S△ABC=S△AOB+S△BOC +S△AOC = =
1 1 1 AB· OD+ 2 BC· OE+ 2AC· OF 2 1 l· r 2

A D F O

解:设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F,

·
C

B

E

设△ABC的三边为a、b、c,面积为S, 2S 则△ABC的内切圆的半径 r= a+b+c

如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b, AB=c,⊙O为Rt△ABC的内切圆. 求:Rt△ABC的内切圆的半径 r. 解:设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F, 连结OD、OE、OF则OA⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB。 A ∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切 ∴AD=AF,BE=BF,CE=CD 设AD= x , BE= y ,CE= r 则有 x+r=b y+r=a x+y=c
D O F

·
B

a+b-c C 解得 r= 2 a+b-c
2

E

设Rt△ABC的直角边为a、b,斜边为c,则Rt△ABC的
内切圆的半径 r=

或r= a+b+c

ab

如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4, ⊙O为 Rt△ABC的内切圆. (1)求Rt△ABC的内切圆的半径 . (2)若移动点O的位置,使⊙O保持与△ABC的边AC、 BC都相切,求⊙O的半径r的取值范围。

解:(1)设Rt△ABC的内切圆与三边相
切于D、E、F,连结OD、OE、OF则 OA⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB。 在Rt△ABC中,BC=3,AC=4, ∴AB=5 ∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切 ∴AD=AF,BE=BF,CE=CD

A F D O

·
B

C E 由已知可得四边形ODCE为正方形,∴CD=CE=OD

设AD= x , BE= y ,CE= r x+r=4 则有 y+r=3 解得 r=1 ∴ Rt△ABC的内切圆的 半径为1。 x+y=5

(2)如图所示,设与BC、AC 相切的最大圆与BC、AC的切 点分别为B、D,连结OB、OD, 则四边形BODC为正方形。

A

∴OB=BC=3 ∴半径r的取值范围为0<r≤3

D

O ·

几何问题代数化是 解决几何问题的一 种重要方法。

C

B

基础题:
正方形 1.既有外接圆,又内切圆的平行四边形是______. 2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm, 22cm 则此三角形的周长是_______. 3.⊙O是边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,EF切⊙O 2cm 于P点,交AB、BC于E、F,则△BEF的周长是_____.

G E

F H

4.小红家的锅盖坏了,为了配一个锅盖,需要测量锅盖的 直径(锅边所形成的圆的直径),而小红家只有一把长20cm 的直尺,根本不够长,怎么办呢?小红想了想,采取以下方 法:首先把锅平放到墙根,锅边刚好靠到两墙,用直尺紧贴 墙面量得MA的长,即可求出锅盖的直径,请你利用图乙,说 明她这样做的道理.

同学们要好好学习老师 期盼你们快快进步!


网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com