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二项式定理的习题课

发布时间:2013-11-16 10:52:56  

题型一、利用二项展开式的通项公式

例1: ( 5 + 3 7 ) 100 的展开式中有多少项有理项. 求
k 由Tk +1 ? C100 5(100? k ) 2 7 k 3 知 解: 100 ? k k , 均为整数时, T为有理数. 2 3 ? k为6的倍数, 且0 ? k ? 100.

即k为0,6,12,? ? ?,96, 展开式中共有17项有理项.

练习:由 ( 3 x + 2 ) 展开式所得的x的多项 式中,系数为有理数的共有多少项?
3 100

17项

题型二:赋值法解二项式定理中的问题
例2:若(3x-1)7=a7x7+a6x6+……+a1x+a0 求 (1) a1+a2+…..+a7 (2)a1+a3+a5+a7 (3)a0+a2+a4+a6 练习、若(2x+ 3 )4=a0+ a1x + a2x2 + a3x3+ a4x4, 求 a1+a2+a3+ a4

(2 + 3) ? 9
4

题型三:二项式定理的综合应用
例4、证明:n+ 2 ? 8n ? 9(n ? N *)能被64整除。 32 证明:n+ 2 ? 8n ? 9 ? 9n+1 ? 8n ? 9 ? (8 + 1)n ? 8n ? 9 32 0 1 n?1 n n+1 ? Cn+1 8n+1 + Cn+1 8n + ?+ Cn+1 82 + Cn+1 81 + Cn+1 ? 8n ? 9
0 1 n?1 ? Cn+1 8n+1 + Cn+1 8n + ?+ Cn+1 82 + 8(n + 1) + 1 ? 8n ? 9 0 1 n?1 ? Cn+1 8n+1 + Cn+1 8n + ? + Cn+1 82

由于各项均能被 整 除 , 64 ? 32 n+ 2 ? 8n ? 9( n ? N *)能 被64整 除 。
注:解决整除问题时可以一般考虑把被除式利用除数的倍数和1表达

出来,然后查看展开的每一部分,这也体现了数学中的一种转 化思想

练习、 证明:99 -1 能被 1000 整除
练 习 :)8 除 以9的 余 数 是 多 少 (1
13

10

(2)今 天 星 期 五从 现 在 起 一 天 后 是 星 几 , , 期 八 天 后 是 星 期 几 ,天 后 是 星 期 几 2
30

提示: () ? (9 ? 1) ? C 9 ? C 9 + ? + C 9 ? C 18
13 13 0 13 13 1 13 12 12 13 30 10 10 0 10 10 1 10 9 9 10 13 13 0 10

(2 2 ? 8 ? (7 + 1) ? C 7 + C 7 + ? + C 7 + C )

注 余数为 意 正整数

?精确到0.001? 例2:计算?0.997? 的近似值。
10

五、近似值计算

?0 解: .997? ? ?1 ? 0.003? 0 10 1 9 2 8 2 ? c10 ?1 ? c10 ?1 ? 0.003+ c10 ?1 ? 0.003 ?? 根据题中精确度的要求,从第三项 起的各项都可以省去,所以
10 10

?0.997?

10

则?0.997? ? 0.970. n ? 在实际应用过程中,a + b ? 这个公式很有作用,
10

? 1 ?10? 0.003+ 45?1? 0.000009 ? 1 ? 0.030 ? 0.970

我们可以用这个展开式来求一些复杂数的近似值。

练习: 求0.9986的近似值,使误差小于0.001. 0.9986=(1-0.002)6 =C60+C61· (-0.002)1+C62· (-0.002)2 +·+ C66· · · (-0.002)6 由于展开式中第三项为 C62· 0.0022=15×0.0022=0.00006,小于0.001, 从而以后的各项的绝对值更小,故可忽略 不计.则 0.9986=(1-0.002)6≈ C60+C61· (-0.002)1=0.988

六、其他应用

例8 ( x ? 1) ? ( x ? 1) + ( x ? 1) ? ( x ? 1) + ( x ? 1)
2 3 4

5

的展开式中, x 的系数等于___________ 2 解:仔细观察所给已知条件可直接求得 x 的系 3 3 0 1 2 2 数是 ?C2 + (?1)C3 ?( ?1) C4 + (?1) C5 ? ?20 解法2 运用等比数列

求和公式得 5 6 ( x ? 1)[1 + ( x ? 1) ] ( x ? 1) + ( x ? 1) ? 原式 ? x 1 + ( x ? 1) 3 6 在( x ? 1) 的展开式中,含有 x 项的系数为 2 3 ?C6 ? ?20 所以 x 的系数为-20

2

练习、求(1+x)3+(1+x)4+ (1+x)5+ …+(1+x)16 的展开式中x3的系数.
C164

练习、求(1+x)+(1+x)2+ (1+x)3 + …+(1+x)2n n ∈ N*的展开式中含xn的系数

课堂练习:
1 n (1)已知: x + 3 ) 展开式的二项式系数 ( x

之和比(a+b)2n 的展开式的系数之和小240,
1 n 求 ( x + 3 ) 的展开式中系数最大的项 x
n=4 T3=……

(2)已知1+2Cn1+22Cn2+……..+2nCnn =2187.求Cn1+Cn2+………+Cnn n=7,原式=27-1
(3)求证:1+2+22+……+25n-1能被31 整除

典题型举例

练习、设(1-2x)5= a0+ a1x + a2x2 + a3x3+ a4x4+ a5x5. 求:

(1)、 a1+a2+a3+ a4 + a5的值 (2)、 a1+a3+ a5的值 (3)、 |a1|+|a2|+|a3|+ |a4| + |a5|的值
评注:涉及展开式的系数和的问题,常用赋值法解决

若(2 x + 3) ? a0 + a1 x + a2 x + a3 x + a4 x , 则
4 2 3 4 2 2

练习:

(a0 + a2 + a4 ) ? (a1 + a3 ) ? ______ (99年全国)

课堂小结:
本节课主要学习了 1.二项式定理的灵活运用(逆用), 2.利用给二项式赋值化简和证明二项恒等式, 3.求二项展开式的给定项和特定项, 4.利用二项式定理求近似值.


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