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111201(A)期中试题(含答案)

发布时间:2013-11-24 08:07:23  

一、选择题:(每题4分,共20分)

11是( ). sin2xx

A、无穷小 B、 无穷大 C、有界但不是无穷小 D、无界但不是无穷大 1、 当x?0时,函数f(x)?

2、设当x?0时,sin(sinx)ln(1?x)是比xsinx高阶的无穷小,而xsinx是 比ex222nn?1高阶的无穷小,则正整数n?( ).

A、 1 B、 2 C、 3 D、 4

3、设函数f(x)?cosx,则( ). x

ex?1?1

A、x?0, x?1都是f(x)的第一类间断点

B、x?0, x?1都是f(x)的第二类间断点

C、x?0是f(x)的第一类间断点, x?1是f(x)的第二类间断点

D、x?0是f(x)的第二类间断点, x?1是f(x)的第一类间断点

?1?cosxx?0,4、设函数f(x)??,则f(x)在x?0处( ). ?x2??xsinxx?0,

A、极限不存在 B、极限存在,但不连续 C、连续但不可导 D、 可导

5、若f(x)在[?1,1]上连续,在(?1,1)内可导,且f?(x)?M,f(0)?0,则必有( ).

A、f(x)?M B、f(x)?M C、f(x)?M D、f(x)?M

二、填空(每小题4分,共20分)

1?k?xcos,x?0在x?0处连续,则k的取值范围是 . 1、若函数f(x)??x?0,x?0?

2、 limn?arctann????n?1n??arctan?? . nn?1?

3、 设函数f(x)在点x?0处可导,且lim

切线方程是 . cosx?1?1,则曲线y?f(x)在原点处的 x?0ef(x)?1

?x?lntd2y|? . 4、设函数?,则n2t?1dx?y?t?ln22

1

5、设生产函数为Q?AL?K?,其中Q是产量,L是劳动投入量,K是资本投入量,而A,?,? 均为正数,则Q?1时,K关于L的弹性为 .

三、 计算:(每题7分,共42分)

?1cos2x?1、lim???. 2x?0sin2xx??

??2、lim?a1?a2??an?x?0n??xxx1x(ai?0,i?1,2,?,n).

3、 设函数f(x)具有连续导数,且f(1)?0,

4、

设y?f(sin2x?cosx). f?(1)?2,求limx?0xtanxxsinx,求y?.

5、求函数f(x)?x2ln(1?x)在x?0处的n阶导数f(n)(0)(n?3).

6、设方程ln(2x?y)?x?2y?1确定函数y?f(x),求dy,dyx?1. y??1

四、 证明与应用:(每题6分,共18分)

1、设函数f(x)在[?1,1]上有定义,且满足x?f(x)?x?x,2x?[?1,1].

证明:f?(0)存在且等于1.

2、设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)上可导,f(0)?0,f(1)?f(2)?0,

证明:至少存在一点??(0,2),使得f?(?)?f(?)。

3、 设某商品的需求量Q是价格P的单调减函数:Q?Q(P),其需求弹性为 ?Qp2p2dR,(1)设为总收益函数,证明R?PQ??0?Q?(1??Qp). 192?p2dp

(2)求p?6时,总收益对价格的弹性?Rp,并说明其经济意义.

附加题:(10分)依次求解下列问题:

(1)证明方程ex?x2n+1=0有唯一的实根xn(n?0,1,2?);

(2)证明limxn存在并求其值A; n??

(3)证明当n??时,xn?A与

1是同阶无穷小. n

2

参考答案

一、 选择题:(每题4分,共20分)1、D 2、B 3、D 4、D 5、C

?1?二、填空(每小题5分,共20分) 1、k?0。2、1 。3、y?0。4、n??

?2?

2

n

。5、?

?。 ?

三、计算及证明:(计算每题6分,证明每题10分,共60分)

?1x2?cos2xsin2xx?cosxsinxx?cosxsinxcos2x?

1、lim??lim??lim??423x?0sin2xx?0x?0x?xxx?

2

2

1

(2x)2

1?sinx?cosx1?cos2xx?cosxsinx4 ?2lim?2lim?2lim?2lim?2232x?0x?0x?0x?03x3xx3x3

ln(a1x?a2x??anx)?lna1xlna1?a2xlna2??anxlnan

4、 因为lim ?limxxxx?0x?0xa1?a2??an

?

11a1?a2??an?lna1a2?an所以lim???a1a2?an?n ??x?0nn??

x

x

x

1

x

f(sin2x?cosx)f?(sin2x?cosx)?(sin2x?sinx)

5、 lim?lim

x?0x?0xtanx2x11

?limf?(sin2x?cosx)??2?1 2x?02

6、

因为ln

y1??

1?1?

lnx?ln(1?x)??2?2?

??y1

11?sinx?sinx??? y?xcosxlnx?2x2(1?x)???x???

??y2?. y??y1

7、 求函数

f(x)?x2ln(1?x)在x?0处的n阶导数f(n)(0)(n?3).

2

f(n)(x)?x2ln(1?x)?n?2xln(n?1)(1?x)?2Cnln(n?2)(1?x)

又ln(n?2)(1?x)?(?1)n?1

(n?3)!

(1?x)n?2

所以

f

(n)

(?1)n?1n!(0)?

n?2

6、因为

12x?y?22x?y?2

(2?y?)?1?2y?,y??,dy?dx

2x?y1?4x?2y1?4x?2y

y??1

所以dyx?1?dx

五、 证明与应用:(每题6分,共18分)

3

1、因为f(0)?0,当x?0时, x?x2f(x)?f(0)x??由夹逼定理有f??(0)?1 xxx

xf(x)?f(0)x?x2

又x?0时, ?,由夹逼定理有f??(0)?1 ?xxx

所以f?(0)存在且等于1.

2、 因为f(x)在[0,2]上连续, m?f(1)?M,m?f(2)?Mm?f(1)?f(2)?M 2

由f(1)?f(2)?0,,至少存在一点??(0,2)使得f(?)?f(1)?f(2)?0 2或f(1)?f(2)?0,由连续零值定理有至少存在一点??(0,2)使得f(?)?0 又在[0,?] 上作辅助函数F(x)

至少存在一点??f(x)?e?x满足罗尔中值定理的条件, ?(0,?)??0,2?,使得F?(?)?0即f?(?)?f(?)。

?dRdQpdQ??Q?p?Q?1????Q?(1??Qp) dpdp?Qdp?3、 (1)因为R?PQ,所以

(2)因为?RppdRp2p2192?3p2 ????Q??1??Qp??1??Qp?1??RdppQ192?p2192?p2

p?6所以?Rp?7?0.54, 13

经济意义:当p?6时,价格上涨1%,则总收益增加0.54%

fn(x)?ex?x2n+1,则 fn(0)?1?0,fn(?1)?1?1?0, e附加题:(10分)证:(1)令

由连续函数的零点定理知,对任意给定的自然数n ,均存在xn

又因为 ?(?1,0),使得fn(xn)=0, dfn(x)x=e?(2n?1)x2n?0,x?(?1,0),所以函数fn(x)关于x严格单调增加, dx

故函数fn(x)=ex?x2n+1有唯一的实根xn,即对任意给定的自然数n, 方程ex?x2n+1=0有唯一的实根xn

e?x

xn

2n?1xn2n?1n。 xn2n?1,因为(2)由于 =0,即 xn=?e

n??|xn|?1,且limxnn??2n?1?0, 所以 limen???e0?1,故A?limxn=?1。

xn

2n?1(3)因为 limxn?A?lim?e

n???1??limn??nn??nxn1?1 ,故xn?A与是同阶无穷小。 n2n

上式用到了 exn

2n?1?1~xn(n??)的等价无穷小代换。

2n?1

4

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