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苏科版八年级下 10.4探索三角形相似的条件(1)

发布时间:2013-11-24 09:00:52  

探索三角形相似的条件(1)

朱保珍

复习引入。 1、相似三角形的定义是什么?

三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形, 叫做相似三角形 A/ A
如果

?A ? ?A/ , ?B ? ?B / , ?C ? ?C /
AB BC AC ? / / ? / / / / AB BC AC
B C

那么 ΔABC∽ΔA/B/C/

B/

C/

2、相似三角形与全等三角形有什么联系? 还记得全等三角形的 几种判定方法吗? 全等三角形是相似比为1的特殊的相似三角形。

SAS,ASA,AAS,SSS,HL(RT△)

如图在△ABC与△ A’ B’ C’ 中, ∠A= ∠A’ ∠C= ∠C’则 △ABC∽ △ A’ B’ C’ 吗?

A’

C’

B’ A
B C

与同伴合作,一人画△ ABC, 另一人画△ A′B′C′, 使得∠A和 ∠A′都有相同的度数(如300), ∠B和∠B′都有相同的度数 (如 450),比较你们画的两个三角形∠C与∠C′相等吗?

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的 AB AC BC , , 相等吗? 两个角对应相等,那么这两个三角形相似。 A?B? A?C ? B?C ?
(2)这样的两个三角形相似吗?改变角的大小,再试一试. (3)通过上面的活动,你能够得出什么结论?

(1)通过用刻度尺度量各对应边的长度,在误差允许范围内:

已知:ΔABC和ΔDEF中, ∠A=400,∠B=800,∠E=800, ∠F=600。 求证:ΔABC∽ΔDEF

A
400

D

800

600

800 C

600

B

E

F

证明:∵ 在ΔABC中,∠A=400,∠B=800, ∴ ∠C=1800-∠A -∠B =1800-400 -800 =600 在ΔABC和ΔDEF中 ∠B=∠E=800,∠C=∠F=600 ∴ ΔABC∽ΔDEF(两角对应相等,两三角形相似)。

如图,已知点D,E分别在AB,AC或它们的延长线 上,且∠1=∠2,分别指出图中的相似三角形。
A D 2 E B 1 C B 1 D 2 C B 1 C B 1 C A E 2 A D E 2 D A


△ADE∽ △ACB

△ADE∽ △ABC △ADC∽ △ACB △ADE∽ △ACB







如图,D是△ABC边BA延长线上的任意一点,过D作 DE∥BC交CA的延长线与E, 问△ABC∽ △ADE吗?

解 ∵DE ∥BC ∴∠ C =∠E (两直线平行,内错角相 等) 又∠CAB =∠EAD(对顶角相等) B ∴ △ABC∽ △ADE

E

D
A

C

如图,D是△ABC边AB上任意一点,过D作DE∥BC交 AC与E 找出图中的相似三角形,并说明理由。
解:∵DE∥BC

A D E C

∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C(两直线平 行,同位角相等)
∴△ADE ∽ △ABC(有两个角相等的三 B 角形是相似三角形)

平行于三角形一边的直线和其他两边(或 两边的延长线)相交,所构成的三角形与 原三角形相似。
A D E E A D

B

C

B

C

两图共同点 ∵ DE∥BC ∴ △ADE ∽ △ABC

※这是两个最常见的相似三角形基本模型:

“A”型和“Z” 型

在一次数学活动课上,为了测量河宽AB,某同学采用了 如下方法:从A处沿与AB垂直的直线方向走40M到 达C处,插一根标杆,然后沿同方向继续走20M到 达D处,再右转90度走到E处,使B,C

,E三点 恰好在一条直线上,量得DE=30M,这样就可以 求出河宽AB.请你算出结果(要求给出解题过程) B 解∵∠A=D=900
又∠ACB=∠DCE



∴△ACB∽△DCE AB AC ? DE DC

C A
20 40


30

AB 40 ? 即 ∴AB=60 30 20

答:河宽60M



如图,已知直线EF与平行四边形ABCD的两边DA,DC的延
长线分别相交于点E,F,与AB,BC分别相交于点G,H.请写出 图中所有的相似三角形.

E G B

A

D

H F

C

△EAG∽△EDF∽△HCF∽△HBG

判断下列说法是否正确?并说明理由。
(1)所有的等腰三角形都相似。( ) (2)所有的等腰直角三角形都相似。( (3)所有的等边三角形都相似。( ) (4)所有的直角三角形都相似。( ) )

(5)有一个角是100 °的两个等腰三角形都相似。( (6)有一个角是70 °的两个等腰三角形都相似。 (

) )

发散探究
过△ABC的边AB上 一点D作一条直线与另 一边AC相交,截得 的小三角形与△ABC相 似,这样的直线有几 条?请把它们一一作 出来。

这样的直线有几条?

D●



C

A D B 作DE,使 E C B 作DE,使 D

A

E C

∠AED=∠C(或DE∥BC) 又∠ A=∠A
∴△ ADE∽ △ABC

∠AED=∠B 又∠ A=∠A ∴△ AED∽ △ABC

小结:
本节课了解和熟悉了两种比较简洁的 相似三角形的判定方法. 会通过利用相似三角形解决简单的实 际问题


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