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人教新课标九年级下----解直角三角形(1)课件

发布时间:2013-11-27 11:31:25  

新人教版九年级数学(下册)第二十八章

§28.2 解直角三角形(1)

复习
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表:

锐角a 30° 三角函数 sin a cos a tan a
1 2 3 2
3 3

45°
2 2

60°
3 2

2 2

1 2

1

3

对于sinα与tanα,角度越大,函数值也越大;(带正) 对于cosα,角度越大,函数值越小。

这样的问题怎么解决
问题: 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所 成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子,问: (1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1m)? (2)当梯子底端距离墙面2.4m时,梯子与地面所成的角a等于多少(精 确到1°)?这时人是否能够安全使用这个梯子?

问题(1)当梯子与地面所成的角a为75°时,梯子顶端与地面的 距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度.
问题(1)可以归结为:在Rt △ABC中,已知∠A=75°,斜 边AB=6,求∠A的对边BC的长. B

BC 由 sin A ? 得 AB

BC ? AB ? sin A ? 6 ? sin 75?
由计算器求得 sin75°≈0.97 所以 BC≈6×0.97≈5.8

α

A

C

因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m

对于问题(2),当梯子底端距离墙面2.4m时,求梯子与地面所成的 角a的问题,可以归结为:在Rt△ABC中,已知AC=2.4,斜边AB=6, 求锐角a的度数

由于

B

AC 2.4 cos a ? ? ? 0.4 AB 6
α

利用计算器求得 a≈66° 因此当梯子底墙距离墙面2.4m时,梯子与地面 所成的角大约是66°

A

C

由50°<66°<75°可知,这时使用这个梯子是安全的.

探究
在图中的Rt△ABC中, (1)根据∠A=75°,斜边AB=6,你能求出这个直角三角形的其他元素吗?

B 能 6

?A ? ?B ? 90 ? ?B ? 90 ? ?A ? 90 ? 75
? ? ?

BC sin A ? ? BC ? AB? A ? 6 ? sin 75? sin AB AC cos A ? ? AC ? AB?cos A ? 6 ? cos 75? AB

α =75° A C

?

探究
在图中的Rt△ABC中,
(2)根据AC=2.4,斜边AB=6,你能求出这个直角三角形的其他元素吗? B 能 6

AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? BC ? AB2 ? AC 2 ? 62 ? 2.42 ? 5.5

α A 2.4

C

AC 2.4 cos A ? ? cos A ? ? 0.4 ? ?A ? 66? AB 6

A ? B ? 90? ? B ? 90? ? A ? 90? ? 66? ? 24?

解直角三角形
解直角三角形:在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程.

事实上,在直角三角形的六个元素中,
除直角外,如果再知道两个元素(其 中至少有一个是边),这个三角形就 可以确定下来,这样就可以由已知的 两个元素求出其余的三个元素.

A c

b

C

a

B

在解直角三角形的过程中,一般要用到下面一些关系:

在解直角三角形的过程中,一般要用到下面一些关系:
(1)三边之间的关系

a ?b ? c
2 2

2(

勾股定理)

A c

(2)两锐角之间的关系 (3)边角之间的关系

∠A+∠B=90°

b

C

a

B

?A的对边 a sin A ? ? 斜边 c

?B的对边 b sin B ? ? 斜边 c

cos A ?

?A的邻边 b ? 斜边 c

?B的邻边 a cos B ? ? 斜边 c

?A的对边 a tan A ? ? ?A的邻边 b

?B的对边 b tan B ? ? ?B的邻边 a

例1 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, AC ? 2 , BC ? 6
解这个直角三角形
A
解:

BC 6 ? tan A ? ? ? 3 AC 2

2
C
6

? ?A ? 60

B

?

?B ? 90? ? ?A ? 90? ? 60? ? 30?

AB ? 2 AC ? 2 2

例2 如图,在Rt△ABC中,∠B=35°,b=20,解这个直角三角形 (精确到0.1) 解:∠A=90°-∠B=90°-35°=55° A c B 35° a b 20 C

b ? tan B ? a
b 20 20 ?a ? ? ? ? 28.6 ? tan B tan 35 0.70

b ? sin B ? c
b 20 20 ?c ? ? ? ? 35.1 ? sin B sin 35 0.57
你还有其他 方法求出c吗?

例3 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6, ∠BAC 的平分线 AD ? 4 3 ,解这个直角三角形。
AC 6 3 ? ? 解:cos ?CAD ? AD 4 3 2
A

??CAD ? 30?
因为AD平分∠BAC

6

4 3
D

??CAB ? 60?, ?B ? 30?

C

B

? AB ? 12, BC ? 6 3

练习
在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三角形; (1)a = 30 , b = 20 ;

解:根据勾股定理

B
c

C ? a2 ? b2 ? 302 ? 202 ? 10 13

a=30

a 30 3 tan A ? ? ? ? 1.5 b 20 2

A

b=20 C

?A ? 56.3

?

?B ? 90? ? ?A ? 90? ? 56.3? ? 33.7?

在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三角形; (2) ∠B=72°,c = 14.

解:

A

b sin B ? c

c=14
?

b a C

b ? c? B ? 14 ? sin 72 ? 13.3 sin
a cos B ? c

B

a ? c?cos B ? 14 ? cos 72 ? 4.34
?

?A ? 90 ? 72 ? 18
? ?

?

解决有关比萨斜塔倾斜的问题.
设塔顶中心点为B,塔身中心线与垂直中心线的夹角为A, 过B点向垂直中心线引垂线,垂足为点C(如图),在Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=5.2m,AB=54.5m C B

BC 5.2 sin A ? ? ? 0.0954 AB 54.5
所以∠A≈5°28′ A 可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角. 你愿意试着计算一下吗?

解直角三角形:直角三角形中, 由已知元素求未知元素的过程
∠A+ ∠ B=90° 斜边c

归纳小结
B
∠A的对边a

a2+b2=c2
解直角 三角形
三角函数 关系式

┌ A ∠A的邻边b C a b sin A ? ,sin B ? c c b a cos A ? , cos A ? c c a b tan A ? , tan B ? b a
由锐角求三角函数值

计算器 由三角函数值求锐角

例题
例4: 2008年10月15日“神舟”7号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变 轨后,就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地 球表面上P点的正上方时,从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置? 这样的最远点与P点的距离是多少?(

地球半径约为6 400km,结果精确到 0.1km)

分析:从飞船上能最远直接

看到的地球上的点,应是视 线与地球相切时的切点.
如图,⊙O表示地球,点F是飞船 的位置,FQ是⊙O的切线,切点Q是 ? 从飞船观测地球时的最远 PQ ? 点. PQ 的长就是地面上P、Q ? 两点间的距离,为计算 PQ 的长需 先求出∠POQ(即a)

F P

Q

α O·

解:在图中,FQ是⊙O的切线,△FOQ是直角三角形.

OQ 6400 ? cos a ? ? ? 0.95 OF 6400 ? 350

F P α O· Q

?a ? 18?
∴ PQ的长为

18? ? 6400 ? 3.14 ? 640 ? 2009.6 180
当飞船在P点正上方时,从飞船观测地球时的最远点距离P点约 2009.6km

1. 如图,沿AC方向开山修路.为了加快施工进度,要在小山的另一边同 时施工,从AC上的一点B取∠ABD = 140°,BD = 520m,∠D=50°,那 么开挖点E离D多远正好能使A,C,E成一直线(精确到0.1m)

解:要使A、C、E在同一直线上, 则 ∠ABD是 △BDE 的一个外角
∴∠BED=∠ABD-∠D=90°

A

B 140°

C

E

DE cos ?BDE ? BD

50° D

? DE ? cos ?BDE?BD
? cos50 ? 520 ? 0.64 ? 520 ? 332.8
?

答:开挖点E离点D 332.8m正好能使A,C,E成一直线.

2. 如图所示,一棵大树在一次强烈的地震中于离 地面10米处折断倒下,树顶落在离树根24米处.大树在 折断之前高多少?



利用勾股定理可以求 出折断倒下部分的长度为:

102 + 242 = 26
26+10=36(米).
答:大树在折断之前高为36 米.

3. 如图,太阳光与地面成60度角,一棵倾斜的大树 AB与地面成30度角,这时测得大树在地面上的影长 为10m,请你求出大树的高.
AB的长
太阳光线

A

30°

60°

B

30

C

D

地面

在解直角三角形的过程中,一般要用到下面一些关系:
(1)三边之间的关系

a ?b ? c
2 2

2(勾股定理)

A c

(2)两锐角之间的关系 (3)边角之间的关系

∠A+∠B=90°

b

C

a

B

?A的对边 a sin A ? ? 斜边 c

?B的对边 b sin B ? ? 斜边 c

cos A ?

?A的邻边 b ? 斜边 c

?B的邻边 a cos B ? ? 斜边 c

?A的对边 a tan A ? ? ?A的邻边 b

?B的对边 b tan B ? ? ?B的邻边 a


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