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人教版八年级上全等三角形辅助线的作法

发布时间:2013-09-20 09:43:14  

全等三角形辅助线

常见辅助线的作法有以下几种:

1) 遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变

换中的“对折”.

2) 遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的

思维模式是全等变换中的“旋转”.

3) 遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角

形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.

4) 过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平

移”或“翻转折叠”

5) 截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条

线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.

特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答.

一、倍长中线(线段)造全等

1:(“希望杯”试题)已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是_________.

BDC

A2:如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大

小.

EF

B

DC

B

3:如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:AD平分∠BAE.DEC 1

中考应用

(09崇文二模)以?ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt?ABD和等腰Rt?ACE,?BAD??CAE?90?,连接DE,M、N分别是BC、DE的中点.探究:AM与DE的位置关系及数量关系.

(1)如图① 当?ABC为直角三角形时,AM与DE的位置关系是 , 线段AM与DE的数量关系是 ;

(2)将图①中的等腰Rt?

ABD绕点A沿逆时针方向旋转?(0<?<90)后,如图②所示,(1)问中得到的两个结论是否发生改变?并说明理由. ?

二、截长补短

1.如图,?ABC中,AB=2AC,AD平分?BAC,且AD=BD,求证:CD⊥AC

DACB

2:如图,AC∥BD,EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA,CD过点E,求证;AB=AC+BD

C2

3:如图,已知在?ABC内,?BAC?60,?C?40,P,Q分别在BC,CA上,并且AP,BQ分别是?BAC,?ABC的角平分线。求证:BQ+AQ=AB+BP

4:如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分?ABC,求证:

C

B

A

?A??C?1800

5:如图在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任意一点,求证;AB-AC>PB-PC 中考应用 (08海淀一模)

B

A

3

三、平移变换

1.AD为△ABC的角平分线,直线MN⊥AD于A.E为MN上一点,△ABC周长记为PA,△EBC周长记为PB.求证PB>PA.

2:如图,在△ABC的边上取两点D、E,且BD=CE,求证:AB+AC>AD+AE.

A

B

六. 借助角平分线造全等

DE

C

1:如图,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证:OE=OD

2:(06郑州市中考题)如图,△ABC中,AD平分∠BAC,

B

C

DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F. (1)说明BE=CF的理由;(2)如果AB=a,AC=b,求AE、BE的长.

B

A

G

C

F

4

D

中考应用

(06北京中考)如图①,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线

为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:

(1)如图②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA

的平分线,AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;

(2)如图③,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1)中的其它条件不变,请问,你

在(1)中所得结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由。 M

D D P

七、旋转

1:正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数.

A

BE

2:D为等腰Rt?ABC斜边AB的中点,DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

(1) 当?MDN绕点D转动时,求证DE=DF。

(2) 若AB=2,求四边形DECF的面积。

图① N A 图② (第23题图) C 图③ DFCA 5

3.如图,?ABC是边长为3的等边三角形,?BDC是等腰三角形,且?BDC?120,以D为顶点做一个60角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则?AMN的周

00

BC

长为 ;

中考应用

(07佳木斯)已知四边形ABCD中,AB?AD,BC?CD,AB?BC,∠ABC?120,?∠MBN?60?,∠MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)于E,F.

当∠MBN绕B点旋转到AE?CF时(如图1),易证AE?CF?EF.

当∠MBN绕B点旋转到AE?CF时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.

M D M D BCBCN FN F N E M

(图1) (图2) (图3) (西城09年一模)已知,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB

的两侧.

(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;

(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.

(09崇文一模)在等边?ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为?ABC外一点,且?MDN?60,?BDC?120,BD=DC. 探究:当M、N分别在直线AB、AC

6 ??

上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系及?AMN的周长Q与等边?ABC的周长L的关系.

图1 图2 图3

(I)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是 ; 此时Q?; L

(II)如图2,点M、N边AB、AC上,且当DM?DN时,猜想(I)问的两个结论还

成立吗?写出你的猜想并加以证明;

(III) 如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,

若AN=x,则Q= (用x、L表示).

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