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08-09清华高数期中试题(下)

发布时间:2013-11-30 15:34:09  

08-09高数(下)期中试卷 一、填空(3分×12=36分)
?? 1. 设f ( x, y, z) ? xy 2 ? yz ? x 2 yz, 则 f xy (2,0,1) ?
? ? y 2 ? 2 xyz, fx ?? fxy ? 2 y ? 2 xz

?? f xy (2, 0,1) ? 4
3

dz 2. 设z ? arcsin(x ? y ),而x ? 3t , y ? 4t ,则 t ?0 ? dt dz ?z dx ?z dy 1 ?1 2 ? ? ? ?3? ?12t dt ?x dt ?y dt 1 ? ( x ? y)2 1 ? ( x ? y)2 dz t ? 0时,x ? 0, y ? 0; t ?0 ? 3 dt
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?z 3. 设e - xyz ? a ( a为常数), 则 ? ?x
z 3

?z ?z e ? yz ? xy ? 0, ?x ?x
z

?z yz ? z ?x e ? xy

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? x2 ? z ? 0 4. 曲线 ? 在点(1, ?2,1)处的切向方程为 ?3x ? 2 y ? 1 ? 0 法平面方程为
dz ? ? 2 x ? dx ? 0 ? ? ?3 ? 2 dy ? 0 ? dx ? ? dz ? dx ? 2 x 切向量为(1, ? 3 , 2) ? 1 (2, ?3, 4) ? 2 2 ? ? dy ? ? 3 ? dx 2 ? x ?1 y ? 2 z ?1 切线方程 ? ? 2 ?3 4 法平面方程2( x ? 1) ? 3(y ? 2) ? 4(z ? 1) ? 0

即2 x ? 3y ? 4z ? 12
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5. 函数u ? xy ? z ? xyz在点(1,1, 处的方向导数 2)
2 3

取得最大值的方向的方向余弦为
?u ?u ?u 2 ? y ? yz, ? 2 xy ? xz, ? 3z 2 ? xy ?x ?y ?z

?u ?u ?u (11 )点 ? ?1, ,,2 ? 0, ? 11 ?x ?y ?z

gradu(1,1,2)=-i ? 11k

1 ? 0 ? 121 ? 122

?1 11 方向余弦为( , 0, ) 122 122
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6. 交换二次积分的积分次序? dx ?
1

2

2 x ? x2

2? x

f ( x, y)dy =

积分区域如图
1

x ? 1? 1? y2

1

x ? 2? y

原式 ? ? dy ?
0

1

1? 1? y 2

2? y

f ( x, y )dx

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7. 设D是由曲线x ? y ? 1及直线y ? x所围成的位于
2 2

y ? x左上方闭区域, 将二重积分?? f ( x, y )d? 化成极坐
D

标系下的二次积分
解:积分区域如图 积分区域为

5? D: ?? ? ,0 ? ? ?1 4 4

?

??

5? 4

4

d? ? f ( r cos? , r sin? )rdr
0
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1

8. 设?由曲面x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2与z ? x 2 ? y 2围成的包含 正半z轴的闭区域,三重积分??? f ( x, y, z ) dv在柱坐标
?

系下的三次积分为

积分区域如图

? x2 ? y 2 ? z 2 ? 2 ? z ? 1, x 2 ? y 2 ? 1 ? 2 2 ? z?x ?y ? 0 ? ? ? 2? 在XoY面投影区域为 x 2 ? y 2 ? 1 ? ?? 0 ? r ?1 ? 2 2 2 2? 1 2?r ?r ? z ? 2 ? r ? d? ? rdr ? 2 f (r cos? , r sin ? , z)dz
0 0 r
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9.设?由曲面z ? x 2 ? y 2与z ? x 2 ? y 2 所围成的闭区域, 三重积分??? f ( x, y, z )dv在球坐标系下的三次积分为
?

由锥面方程z= x2 ? y 2 r cos ? =r sin ? ? ? ?

积分区域如图 ?

?
4

由曲面方程z=x2 ? y

2
2 2 2 2 2 2

? 0 ? ? ? 2? ? ? ? ? ?? ?? ? 2 ? 4 cos ? ? ?0 ? r ? sin 2 ? ?

cos ? r cos ? =r cos ? sin ? ? r sin ? sin ? ? r ? sin 2 ?

?

2?

0

d? ?? d? ?
2 4

?

cos ?

sin 2 ? 0

f (r sin ? cos ? , r sin ? sin ? , r sin ? )r 2 sin ? dr
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10.设L为沿抛物线y ? x 2从点(1,1)到(-11 ,)弧段,将对 坐标的曲线积分? P( x, y )dx ? Q ( x , y )dy化成对弧长的
L

曲线积分

? x= x 切向量(1, ) 2x 曲线的参数方程为 ? 2 ?y = x 1 2x cos ? ? ? cos ? ? ? 2 1 ? (2x )2 1 ? (2x )

? P( x, y )dx ? Q(x, y )dy ? ??
L

P ? 2xQ 1 ? 4x 2
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L

dS

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11. 设?为曲面z ? x ? y 介于z=0与z ? 3
2 2

之间的部分的下侧,将对坐标的曲面积分
?z ?z (? , ? ,1) 化成对面积的曲面积分形式为 ?x ?y ?z x ?z y ? , ? ?z 2 ?z 2 2 2 ?y 2 2 ?x x ?y x ?y 1? ( ) ? ( ) ? 2 ?x ?y
?1 cos ? ? , cos ? ? , cos? ? 2 2( x 2 ? y 2 ) 2( x 2 ? y 2 ) x y

?? P( x, y, z )dydz ? Q( x, y, z )dzdx ? R( x, y, z )dxdy
?

xP ? yQ ? x 2 ? y 2 R 1 原式 ? dS ?? 2 2 2 ? x ?y
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二、解下列各题(6分×4=24分)
y 1. 设u ? ln x ? y , v ? arctan , 将方程 x ?z ?z ( x ? y ) ? ( x ? y ) ? 0化成关于自变量u, v的方程 ?x ?y ?z ?z ?u ?z ?v ? ? ?x ?u ?x ?v ?x ?z 1 x ?z 1 y ? ? (? 2 ) 2 y ?u x 2 ? y 2 x 2 ? y 2 ?v x 1? 2 x x ?z y ?z ? 2 ? 2 2 2 x ? y ?u x ? y ?v
2 2
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?z ?z ?u ?z ?v ? ? 同理 ?y ?u ?y ?v ?y ?z 1 y ?z ? ? ?u x 2 ? y 2 x 2 ? y 2 ?v
y ?z x ?z ? 2 ? 2 2 x ? y ?u x ? y 2 ?v

1 1 ? 2 y x 1? 2 x

x ?z y ?z ?z ?z ? ( x ? y )[ 2 ? 2 ] ( x ? y) ? ( x ? y) 2 2 x ? y ?u x ? y ?v ?x ?y

y ?z x ?z ?z ?z ?( x ? y )[ 2 ? 2 ] ? ? 2 2 x ? y ?u x ? y ?v ?u ?v

?z ?z 即 ? ?0 ?u ?v

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2. 过曲面2 x 2 ? 3 y 2 ? z 2 ? 6上点P(1,1,1)处的指向内侧 6x ? 8 y ? ? 的法向量为n, 求函数u ? 在点P处沿方向n的 z 令F ? 2 x2 ? 3 y 2 ? z 2 ? 6 方向导数.
2 2

Fx ? 4 x, Fy ? 6 y, Fz ? 2 z

P点内侧的法向量为(?4, ?6, ?2)

2 3 1 单位法向量为(? ,? ? ) 14 14 14 2 2 6x ? 8 y ?u 6x ?u 8y ?u ? , ? , ?? ?x z 6 x 2 ? 8 y 2 ?y z 6 x 2 ? 8 y 2 ?z z2 ?u 11 ?u 6 ?u 8 ?u P ?? 在P点 ? , ? , ? ? 14 ?l 7 ?x ?y ?z 14 14
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3.求由曲面z ? 2 x 2 ? y 2与z ? 3 ? x2 ? 2 y 2围成的空间体的 体积

? z ? 2x2 ? y 2 解: ? x2 ?

y 2 ? 1 ? 2 2 ?z ? 3 ? x ? 2 y

在xoy面投影为x ? y ? 1
2 2

所求体积为
V= ?? (3 ? x ? 2 y ? 2x ? y )dxdy ? ?? (3 ? 3x ? 3y )dxdy
2 2 2 2 2 2 D D

??

2?

0

3 d? ? (3 ? 3r )rdr ? ? 0 2
1 2
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法二

在xoy面投影为x ? y ? 1
2 2

所求体积为
V= ??? dv ? ? d? ? dr ? 2
? 0 0 2? 1 3? r 2 ? r 2 sin2 ?
2 2

r cos ? ? r

rdz

??

2?

0

3 d? ? (3 ? 3r )rdr ? ? 0 2
1 2

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4. 验证(e x sin y ? 2 y )dx ? (e x cos y ? 2x )dy在整个xOy面 内是某个函数u ( x, y )的全微分,并求出u ( x , y )

解:P ? e sin y ? 2 y, Q ? e cos y ? 2 x
x x

?Q ?P x ? e cos y ? 2 ? ?x ?y 所给表达式是某函数的全微分

(x,y)

u ( x, y ) ? ?
x 0

( x, y )

(0,0)

(e sin y ? 2 y )dx ? (e cos y ? 2x )dy
x x

? ? 0dx ? ? (e x cos y ? 2 x)dy ? e x sin y ? 2 xy
0
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y

法二

?u x ? P ? e sin y ? 2 y ?x

u( x, y) ? ex sin y ? 2 xy ? C ( y)
?u x x ? e cos y ? 2x ? C ?( y ) ? Q ? e cos y ? 2x ?y

? C ?( y ) ? 0,
取C ? 0, 得

? C ( y) ? C,
u( x, y) ? ex sin y ? 2 xy
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三、解下列各题(8分×5=40分)
x y 1. 设z ? f ( xy , ) ? g ( ), 其中f 和g具有二阶连续 y x ?2 z 偏导数, 求 ?x?y

?z 1 y ? f1? ? y ? f 2? ? g ? 2 ?x y x

?2 z ? ? y ( f11 x ? f12 ? x ) ? ?1 f 2? ? 1 ( f 21x ? f 22 ? x ) ?? ?? 2 ?? ?? 2 ? f1 2 ?x?y y y y y 1 1 ? 2 ( g ? ? yg ?? ) x x 1 ? x 1 y ?? ?? ? f1?? 2 f 2 ? xyf11 ? 3 f 22 ? 2 g ? ? 3 g ?? y y x x
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? ydx ? xdy 2 2.求? , L为y ? 4 ? x 从(2, 0)到(?2, 0)一段 2 2 L x ?y ?Q y 2 ? x2 ?P 解 ? 2 ? 2 2 ?x ( x ? y ) ?y

( x, y) ? (0,0)积分与路径无关
取路径L4 : x 2 ? y 2 ? 4, y ? 0, x ? 2cos? , y ? 2sin? ,? : 0 ? ? ? ydx ? xdy ?L x2 ? y 2

1 ? ? ? [?2sin ? ? (?2sin ? ) ? 2 cos ? ? 2 cos ? ]d? 4 0

??

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取路径L4 : x 2 ? y 2 ? 4, y ? 0,
y ? 4 ? x , x : 2 ? ?2 ? ydx ? xdy ?L x 2 ? y 2
2

2 1 ?2 x2 1 2 ? ? [? 4 ? x ? ]dx ? 2 ? dx 2 2 0 4 2 4? x 4? x

x ? 2 arcsin 2

2 0

??

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取路径L1 x ? 2, y : 0 ? 4; L2 y ? 4, x : 2 ? ? 2; L3 x ? ?2, y : 4 ? 0
4 2 dy ?2 ?4 dx 0 ?2 dy ? ydx ? xdy ?L x2 ? y 2 ? ?0 4 ? y 2 ? ?2 x2 ? 16 ? ?4 4 ? y 2

y ? 2 arctan 2

4 0

x ? 2 arctan 4

2 0

1 ? 2 arctan 2 ? 2 arctan ? ? 2

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?Q y 2 ? x2 ?P 解 ? 2

? 2 2 ?x ( x ? y ) ?y
补充L? : x 2 ? y 2 ? 4, y ? 0, x ? 2cos ? , y ? 2sin ? ,? : ? ? 0 4

由格林公式 ? ydx ? xdy ? ydx ? xdy ?L x2 ? y 2 ? ?? 0d? ? ?L4? x 2 ? y 2 D

1 0 ? ? ? [?2sin ? ? (?2sin ? ) ? 2 cos ? ? 2 cos ? ]d? 4 ?

??
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3.计算曲面积分?? xzdydz ? 2 xydzdx ? 3xydxdy,
?

其中?:z ? 1 ? x 2 ? y 2 (0 ? z ? 1)的上侧

解 取?1:z ? 0( x 2 ? y 2 ? 1)下侧, ?,?1围成区域记为?,由高斯公式
???1

?? xzdydz ? 2 xydzdx ? 3 xydxdy ? ??? ( z ? 2 x) dv
?

? ??? zdv (积分区域关于yoz面对称,被积函数关于x是奇函数)

? ? d? ? rdr ?
0 0
?1

?? 2

1

1? r 2

?? xzdydz ? 2 xydzdx ? 3 xydxdy ? 0
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0

? zdz ? 6

原式 ?

?
6
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3.计算曲面积分?? xzdydz ? 2 xydzdx ? 3xydxdy,
?

其中?:z ? 1 ? x 2 ? y 2 (0 ? z ? 1)的上侧
xzdydz ? 2 ?? 1 ? z ? y 2 zdydz ??
?
1? z

? 4? zdz ? 1 ? z ? y 2 dy 投影区域关于z轴对称关于y是偶函数 0 0 1 11 ? 4? ? ?1 ? z ? zdz ? ? 0 4 6 2 ?? 2 xydzdx ? 4?? x 1 ? z ? x dzdx ? 0
? Dzx

1

Dyz

?? 3xydxdy ? 3?? xydxdy ? 0
?

投影区域关于z轴对称关于x是奇函数
投影区域关于y轴对称关于x是奇函数
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原式 ?

?
6

Dxy

? ? ? 4.设在xOy面内有一力场F ? ( x ? 2 y ? 3)i ? (2 x ? y ? 1) j , ? x2 求质点在F的作用下沿曲线 ? y 2 ? 1的正方向,从点 4 (2,)移动到点M (?2, 所作的功 0 0)

解 W ? ? ( x ? 2 y - 3)dx ? (2 x ? y ? 1)dy
?P ?Q ? ? 2, 积分与路径无关 ?y ?x
?2

L

取路径L1 : y ? 0, x : 2 ? ?2
W ? ? ( x ? 3)dx ? 12
2
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z 5.求椭球面x ? y ? ? 1在第一卦限部分的一点, 4 使该点处的切平面在三个坐标轴上的截距平方和最小。
2 2

2

解:令球面上点为M ( x0 , y0 , z0 )
? z0 M点处的法向量可取n=(2x0 , 2y0 , ) 2 1 x y z 切平面方程2xx0 ? 2yy0 ? zz0 ? 2即 ? ? ?1 2 1/ x0 1/ y0 4 / z0 2 1 1 16 2 2 d ? 2 ? 2 ? 2 满足 x0 ? y0 ? z0 ? 1 x0 y0 z0 4 2 z0 1 1 16 2 2 G ? 2 ? 2 ? 2 +? ( x0 ? y0 ? ? 1) x0 y0 z0 4
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 z0 ? 2 2 G? ? x0 ? y0 ? ? 1 ? 0 ? ? 4 1 1 在点( , , 2)取最小值 2 2

2 z0 1 1 16 2 2 G ? 2 ? 2 ? 2 +? ( x0 ? y0 ? ? 1) x0 y0 z0 4 2 Gx ? ? 3 ? 2 x0 ? ? 0 x0 1 解得x ? y ? , z ? 2, 2 2 G y ? ? 3 ? 2 y0 ? ? 0 y0 32 1 Gz ? ? 3 ? z 0 ? ? 0 z0 2

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