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06-07期中试题(下)

发布时间:2013-11-30 15:34:15  

06-07高数(下)期中试卷 一、填空(共27个,每空3分,共81分) z 1. f ( x, y, z ) ? arccos 的定义域 x2 ? y 2
{( x, y ) | ? x ? y ? z ? x ? y , x ? y ? 0}
2 2 2 2 2 2

2.设f ( x, y , z ) ? x ? y ? 3z ? xy ? 3 x ? 2 y ? 6 z ? 1,则在
2 2 2

?f ?f ?f 7 点(1,1,1)处 ? ? ? ?x ?y ?z ?f ?f ?f ? 2 x ? y ? 3, ? 2 y ? x ? 2, ? 6 z ? 6, ?x ?y ?z
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3.设z ? f ( x, y )由方程x ? y ? z ? 2 x ? 2 y ? 4 z ? 10 ? 0
2 2 2

?z 确定, 则 ? ?x

方程两边对x求偏导 ?z 1 ? x ? ?x z ? 2

?z ?z 2x ? 2z ? 2 ? 4 ? 0 ?x ?x

4.设f ( x, y ) ? x2 ? y2 , ?( x, y ) ? x2 ? y2 ,则f [ f ( x, y), ? ( x, y )] ? f [ f ( x, y), ?( x, y)] ? f ( x, y) ? ? ( x, y)
2 2

? ( x2 ? y 2 )2 ? ( x 2 ? y 2 )2 ? 2 x 4 ? 2 y 4
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5.设z ? f ( u 2 ? v 2 ), 其中f 具有连续导数,u ? e y sin x, v ? e y cos x, 函数z对于自变量x, y在(0,点处的全微 0) 分dz ? ?u ?v u ?v ?z ?z ? ?x (0,0) ? f (1) ?( u 2 ? v 2 ) ?x ? f ?x 2 2 ?x u ?v ue y cos x ? ve x cos y ?( u 2 ? v 2 ) ? f u 2 ? v2 ?z ?u ?v (0,0) ? 0 u ?v ?y ?z ?y ?y ? f ?( u 2 ? v 2 ) 2 2 ?y u ?v dz ? f ?(1)dx y x 2 2 ue sin x ? ve sin y ? f ?( u ? v ) 2 2 u ?v
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6.函数u ? x 2 ? y 2在点(1,1)处沿与x轴正方向成角

??

方向的方向导数为 3 ?u ?u ?u ?u ? 2 x , ? ?2 y (1,1) ? 2, (1,1) ? ?2 ?x ?y ?x ?y ?u 1 3 ? 1? 3 {cos ? , cos ? } ? { , } ?l 2 2 2 7.u ? xy z在点P(1, ?1, 2)处方向导数的最大值是 21 ?u ?u ?u 2 ? y z, ? 2 xyz, ? xy 2 ?x ?y ?z ?u ?u ?u P ? 2, P ? ?4, P ?1 ?x ?y ?z
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?

8.曲线x ? t , y ? t 2 , z ? t 3在点(3,9, 27)处的切线方程是
xt? ? 1, yt? ? 2t , zt? ? 3t 2

t ? 3时,方向向量为{1,6, 27}
x ? 3 x ? 9 x ? 27 切线方程为 ? ? 1 6 27

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9. 曲面e z ? z ? xy ? 3在点(2,,0)处的切平面方程 1 令F ? e z ? z ? xy ? 3
Fx ? y, Fy ? x, Fz ? ez ?1

(2,1,0)点的法向量为(1, ,0) 2 切平面方程为 x ? 2 ? 2( y ? 1) ? 0 即 x ? 2y ? 4 ? 0

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10.设D :1 ? x 2 ? y 2 ? 4,则?? (x 2 ? y ) d? ?
D

1 2 2

?? ( x
D

2

? y ) d? ? ? d? ?
0

1 2 2

2?

2

1

1 3 r ? rdr ? 2? ? r 3

2 1

14 ? ? 3

11.设D : x ? 3, y ? 1,则?? x (x ? y )d? ?
D

x( x ? y)d? ? ?? x 2 d? ? 4 ?? x 2 d? ??
D D
D1

? 4? x dx ? dy ? 4 ? 1 x3 0 0 3
2

3

1

3 0

? 36
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12.二次积

分? dx ? f ( x, y )dy,其中(a ? 0)交换积分
0 0

a

x

次序后的形式是

a

积分区域如图
o
原式 ? ? dy ? f ( x, y )dx
0 y a a

a

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13.二次积分? dy ? ? y f ( x, y)dx ? ? dy ? y f ( x, y )dx交换
-2 e 0 e

0

e2

2

e2

积分顺序后的形式是
解:积分区域如图
积分区域为
2

D :1 ? x ? e , ? ln x ? y ? ln x
2

?2

o

e
1

2

?

e2

1

d? ?

ln x

? ln x

f ( x, y )dy

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x2 ? y 2 14.设?: ? z 2 ? 1, 则??? z 2 dv的值是 4 ?
z dv ? ? z dz ?? d? ? ? 4? (1 ? z 2 ) z 2 dz ???
2 2 ? ?1 Dz 1

1

?1

16 ? 8? ? ( z ? z )dz ? ? 0 15
1 2 4

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15. 设? : ? 1 ? x 2 ? y 2 ? z ? ? x 2 ? y 2 ,则三重积分

???
?

f ( x 2 ? y 2 ? z 2 )dv化成球坐标系下的三次积分是

积分区域如图
由锥面方程z ? ? x ? y
2 2

3? r cos ? =-r sin ? ? ? ? 4

由z ? ? 1 ? x ? y 得x ? y ? z ? 1 r ? 1
2 2 2 2 2

?

2?

0

d? ?3? d? ? f (r )r sin ? dr
2 2 4 0
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?

1

16. 设? : ?1 ? x ? 1, 0 ? y ? 1, 0 ? z ? 1,则

??? [e
?

y2

sin x ? 2]dv的值是
3

??? [e
?

y2

sin x ? 2]dv ? ? dx ? dy ? 2dz ? 4
3 ?1 0 0

1

1

1

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17.锥面z ? x 2 ? y 2 被柱面z 2 ? x所割下部分的 曲面面积为 ? z2 ? x ? 解 由? 消去z得x 2 ? y 2 ? x z ? x2 ? y 2 ? ? 1 2 1 2 在XOY 面投影区域( x ? ) ? y ? z ? x2 ? y 2 2 4
?z ? ?x x

A ? ??

Dxy

?z y , ? x 2 ? y 2 ?y x2 ? y 2 x y 2 1? ( ) ?( ) 2 d? ? ??Dxy 2d? x2 ? y 2 x2 ? y 2

2 ? ? 4
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1 2 18.设L是从点A(1, )沿曲线2y ? x 到点 B 2,2)的弧段, ( 2 2x x2 则曲线积分? dx ? 2 dy的值是 L y y 2 2x x ?P 2 x ?Q P ? ,Q ? ? 2 ?? 2 ? y y ?y y ?x

积分与路径无关
2 2 2x x 1 ?L y dx ? y 2 dy=?12 ? y 2 dy ? ?1 xdx 1 2 1 2 2 = 1 ? x 1 ?0 y 2 2
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2

19. L为x2 ? y 2 ? 1 的一周,则? x2 dS的值是
L

dy ? x 1 2 ? , dS ? 1 ? y? dx ? dx 2 dx y 1? x ? 2 x ?sin t 1 x2 sin t 2 x 2 dS ?2? dx ?L ? 4?0 cos t cos tdt 2 ?1 1? x

? 2? 2 (1 ? cos 2t )dt ? ? ? sin 2t 0

?

?
2 0

??

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20.曲线细杆在xOy面所站位置为曲线L:x ? y ? a
2 2

2

(a ? 0)在第一象限的弧段,其线密度(x, y ) ? e ? 其质量的积分表达式为 , 其质量为

x2 ? y 2

,

.

y ? a ? x , y? ?
2 2

?x a2 ? x2
a a

, ds ?

a a2 ? x2

dx

M ? ?e
L

x2 ? y 2

dS dS ? ?0 e
a 0

M ? ?e
L

x

?y
2

2

a a2 ? x2
a

dx

x ? ae arcsin a
a

ae ? ? 2
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21. 设曲线积分?

(1,2)

(0,0)

( x 4 ? 4 xy 3 )dx ? (6 x? -1 y 2 - 5 y 4 )d y与 ,I的值为 .

积分路径无关,则? ?

?Q ?P 解:积分与积分路径无关 ? ?x ?y 4 3 ? ?1 2 4 P ? x ? 4 xy , Q ? 6 x y ? 5 y

?P 2 ?Q ? ?2 2 ? ?3 ? 12 xy , ? 6(? ? 1)x y ?y ?x 1 2 79 4 2 4 I ? ? x dx ? ? (6 y ? 5 y )dy ? ? 0 0 5
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22. 设L : x 2 ? y 2 ? 1上从A(1, 0)经E (0,1)到B(?1, 0)的曲 线段,则? e dy的值为
y2 L
y2

?Q ?P 令P ? 0, Q ? e , ? ?0 ?x ?y

取直线路径AB:y ? 0, x :1 ? ?1

?e
L

y2

dy ? 0

23. 空间曲线x ? et cos t , y ? et sin t , z ? et ,t从 0变到 2的 这段弧的弧长L ?
x? ? et cos t ? et sin t , y? ? et sin t ? et cos t , z? ? et
L??
2 0

3et dt ? 3et

2 0

? 3(e2 ? 1)
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24. 设?是抛物面z ? 2 ? ( x ? y )在xOy面上方的部分,
2 2

1 ?z ?z 2 1 ? 4r ? t , rdr ? tdt ? ?2 x, ? ?2 y 4 ?x ?y ?z 2 ?z 2 dS ? 1 ? ( ) ? ( ) dxdy ? 1 ? 4(x 2 ? y 2 )dxdy ?x ?y

曲面积分?? ( x 2 ? y 2 )ds的值为
?

?? ( x
?

2

? y )dS ? ?? ( x ? y ) 1 ? 4(x ? y )dxdy
2 2 2 2 2 Dxy

? ? d? ? r 2 1+4r 2 rdr ? ? ?1
2

2?

3

149? ? 30

0

0

t 2 ?1 2 t dt 4
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25. 设?是球面x ? y ? z ? R ,曲面积分
2 2 2 2

( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ds的值为 ? ??
?

? (x ??
?

2

? y ? z )ds ? ? R ds ??
2 2 2 ?

? R 2 ? 4? R 2 ? 4? R 4

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二(6分)
L

设I ? ? (3x 2 y ? 8xy 2 )dx ? ( x 3 ? 8x 2 y ? 12 ye y )dy ,其中L是

从点A( ,1)沿曲线y ? sin x到原点(0, 0)的曲线弧段, 2 ( )将I 化为对弧长的曲线积分;(2)计算I的值 1 ? x?x 解:L : ? ? y ? sin x? ? ? ? ? ? ?1 ? cos x ? T ? ??1, ? cos x? , T ? ? , ? 2 2 ? 1 ? cos x 1 ? cos x ?

?

?(3x y ? 8 xy ) ? cos x ( x ? 8x y ? 12 ye ) I ?? ds 1 ? cos2 x L
2 2 3 2 y
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?P ?Q (2) ? ? 3x 2 ? 16xy ?y ?x

? ? ??? ? x ? ? ??? ? x ? x ? ? 取L1 : AB ? x: ?0 2 y :1 ? 0, L2 : BO ? ?y ? 0 2 ?y ? y ?
I ? ? [( ) ? 8( ) 2 y ? 12 ye y ]dy 1 2 2
3 0

?

?

??

?3
8

? ? 2 ? 12

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?2 z ? 2 z 1 ?z 设u ? x ? 2 y , v ? x ? 2 y ,将方程 2 ? y 2 ? ?0 ?x ?y 2 ?y 变换成以u, v为自变量的方程,其中函数z具有二阶连续 ?z 1 ?z ?z 偏导数 ?z ?z ?z ? ( ? ) 解: ? ? ?y y ?u ?v ?x ?u

?v

三(6分)

? z ? z ? z ? z ? 2 ?2 ? 2 2 ?x ?u ?u?v ?v
2 2 2 2

?2 z 1 ?z ?z 1 2 ?2 z 1 ?2 z 1 ?2 z ? ? 3 ( ? )? (? ? ? ) 2 2 2 ?y ?v ?u y y ?u?v y ?v y ?u 2 2y 2

? z 代入得: ?0 ?u?v

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四(7分)求球面x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1上在第一卦限的一点,

使该点处的切平面在三个坐标轴上的截距平方和最小。

解:令F ( x, y, z ) ? x2 ? y2 ? z 2 ? 1 ? M点处的法向量可取n=( x0 , y0 , z0 )
x y z 切平面方程xx0 ? yy0 ? zz0 ? 1即 ? ? ?1 1/ x0 1/ y0 1/ z0 1 1 1 2 2 2 d ? 2 ? 2 ? 2 满足 x ? y ? z ? 1 x0 y0 z0 1 1 1 2 2 2 G ? 2 ? 2 ? 2 +? ( x ? y ? z ?1) x y z
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1 1 1 2 2 2 G ? 2 ? 2 ? 2 +? ( x ? y ? z ?1) x y z
2 ? ? Gx ? ? x 3 ? 2 x? ? 0 1 ? ? G ? ? 2 ? 2 y? ? 0 解得x ? y ? z ? 3 , ? ? 9 ? y 3 y ? ? 2 ? Gz ? ? 3 ? 2 z ? ? 0 z ? ?G? ? x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 ? 0 ?

1 1 1 在点( , , )取最小值 3 3 3
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