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培优(九年级)第2讲——根的判别式

发布时间:2013-12-02 11:27:44  

第二讲 判别式

——二次方程的根的检测器

知识纵横

在解一元二次方程有关问题时,最好能知道根的特性:如是否有实数根,有几个实数根,根的符号特点等.我们形象地说,判别式是一元二次方程根的“检测器”,在以下方面有着广泛的应用:

利用判别式,判定方程实根的个数、根的特性;

运用判别式,建立等式、不等式,求方程中参数或参数的取值范围;

通过判别式,证明与方程相关的代数问题; 借助判别式,运用一元二次方程必定有解的代数模型,解几何存在性问题、最值问题.

例题求解

【例1】(1)关于x的方程2kx?(8k?1)x??8k有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 。

(广东省竞赛题)

(2)关于x的方程x?ax?2ax?a?1?0只有一个实数根,则a的取值范围是

(四川省竞赛题)

【例2】若实数a、b满足32221a?ab?b2?2?0,则a的取值范围是( ) 2

A 、a??2 B 、 a??2或a?4 C 、 a?4 D 、 ?2?a?4

(《数学周报》杯全国初中数学竞赛题)

【例3】 已知关于x的方程x2?(k?2)x?2k?0,

(1)求证:无论k取任何实数值,方程总有实数根;

(2)若等腰三角形△ABC的一边长a=1,另两边长b、c恰好是这个方程的两个根,求△ABC的周长. (荆门市中考题)

【例4】设方程x2?ax?4,只有3个不相等的实数根,求a的值和相应的3个根.

(重庆市竞赛题)

1

【例5】已知(x?z)?4(x?y)(y?z)?0,求证:2y?x?z

(无锡市竞赛题)

2

学力训练

基础夯实

1、关于x的方程(a?6)x?8x?6?0有实数根,则整数a的最大值是。

(芜湖市中考题)

2、等腰△ABC中,BC?8,AB、AC的长是关于x的方程x?10x?m?0的两根,则m?

(宁波市中考题)

3、若关于x的一元二次方程kx?3x?1?0有实数根,则k的取值范围是( )

A 、 k??2229999 B 、 k??且k?0 C 、k?? D 、k??且k?0 4444

(扬州市中考题)

4、已知一直角三角形的三边为a、b、c,∠B=90,那么关于x的方程a(x?1)?2cx?b(x?1)?0的根的情况为( )。 ?22

2

A、有两个相等的实根 B、 没有实数根 C、有两个不相等的实数根 D、无法确定

(河南省中考题)

5、在等腰△ABC中,三边分别为a、b、c,其中a=5,若关于x的方程x+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根,求△ABC的周长.

(江津市中考题)

6、已知△ABC的三边长为a、b、c,判断方程ax?(c?a?b)x?b?0有无实根。

7、已知:关于x的一元二次方程mx-(3m+2)x+2m+2=0(m>0).

(1)求证:方程有两个不相等的实数根;

(2)设方程的两个实数根分别为x1,x2(其中x1<x2).若y是关于m的函数,且y=x2-2x1,求这个函数的解析式;

(3)在(2)的条件下,结合函数的图象回答:当自变量m的取值范围满足什么条件时,y≤2m?

(北京市中考题)

8

(安徽省竞赛题)

9、已知关于x的方程x?(1?a)x?2ax?a?0有且只有一个实根,则实数a的取值范围

是 。

32222222222

3

10、若方程x2?5x?a有且只有相异二实根,则a的取值范围是 .

13.如果关于x的方程mx2?2(m?2)x?m?5?0没有实数根,那么关于x的方程(m?5)x2?2(m?2)x?m?0的实根的个数( )

A.2 B.1 C.0 D.不能确定

14、设三个方程x?4mx?4m?2m?3?0,x?(2m?1)x?m?0,(m?1)x?2mx?m?1?0中至少有一个方程有实根,则m的取值范围是( )。

A 、?2222231313111?m?? B 、m??或m?? C、 m??或m? D 、??m? 24222442

(江苏省竞赛题)

15、若关于x的方程x?2ax?7a?10?0没有实数根,则必有实根的方程是( )。

A、x?2ax?3a?2?0 B 、x?2ax?5a?6?0

C 、x?2ax?10a?21?0 D 、x?2ax?2a?3?0

(江西省竞赛题)

16、已知a?0,b?a?c,判断关于x的方程ax?bx?c?0的根的情况。

(河南省竞赛题)

17、设a、b、c为互不相等的非零实数,求证:三个方程ax?2bx?c?0,bx?2cx?a?0,22222222

cx2?2ax?b?0不可

18、关于x的方程kx?(k?1)x?1?0有有理根,求整数k的值。 2

4

(山东省竞赛题)

综合创新 19 、如图,AB⊥BC,DC⊥BC,垂足分别为B、C.

(1)当AB=4,DC=1,BC=4时,在线段BC上是否点P,使AP⊥PD?如果存在求线段BP的长;如果不存在,请说明理由;

(2)设AB=a,DC=b,AD=c,那么当a、b、c之间满足什么关系时,在直线BC上存在点P,使AP⊥PD.

5 (南京市中考题)

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