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28.1锐角三角函数课件(人教版九下)(1)

发布时间:2013-12-03 09:21:49  

28.1 正 弦

情 境 探 究

问题 :为了绿化荒山,某地打算从位于山脚 下的机井房沿着山坡铺设水管,在山坡上 修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷 灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是 30°,为使出水口的高度为35m,那么需 要准备多长的水管?
B C

A

这个问题可以归结为,在Rt△ABC中, ∠C=90°,∠A=30°,BC=35m,求

在上面的问题中,如果使出水口的高度为 50m,那么需要准备多长的水管?
B' B 30m 50m C'

?A的对边 B' C ' 1 ? ? , 斜边 AB' 2

A

C

结论:在一个直角三角形中,如果一个锐角等于 30°,那么不管三角形的大小如何,这个角的对边
1 与斜边的比值都等于 2

如图,任意画一个Rt△ABC, 使∠C=90°,∠A=45°,计算 BC ∠A的对边与斜边的比 ,你 C 能得出什么结论? AB

A

B

结论: 在直角三角形中,当一个锐角等 于 45°时,不管这个直角三角形的大小如何, 2 这个角的对边与斜边的比都等于
2


探究
任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C',使得∠C=∠C'=90°, B' C ' BC ∠A=∠A'=α,那么 与 有什么关系.你能 A' B ' B AB B' 得出什么结论?
A C A' C'

在图中,由于∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α, 所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C' BC AB BC B' C ' ? ? ? B' C ' A' B' AB A' B'

结论:在直角三角形中,当锐角A的度数一定时, 不管三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比 也是一个固定值.

揭示定义

在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的

对边与斜边的比值叫做∠A的正弦(sine),
记作sinA 即
B

?A的对边 a sin A ? ? 斜边 c

斜边
A

c

a 对边 C

b

例题示范

例1 :如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, B 求sinA和sinB的值.
解: (1)在Rt△ABC中,
求sinA就 是要确定∠A 的对边与斜边 的比;求sinB 就是要确定 ∠B的对边与 斜边的比 A 4 3 C

AB ? AC 2 ? BC 2 ? 4 2 ? 32 ? 5

?

BC 3 sin A ? ? AB 5
AC 4 sin B ? ? AB 5

B
13 5

C

A

1.在Rt△ABC中,∠C=90°,a=1,c=4,则sinA的( ). B
A.

15 15

1 B. 4
2 2

1 C. 3

15 D. 4

2.若sin(65°-∠A)=

,则∠A=20 °

3.如图:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10, 3 sinB= , BC的长是 8 .
5

A C

B

4、如图2:P是平面直角坐标系上 的一点,且点P的坐标为(3,4),

y

A P( 3 , 4 )

则sin ? =

4 5
O

?

x

练一练 5.在Rt△ABC中,锐角A的对边和斜边同时扩大
100倍,sinA的值( C )

A.扩大100倍
C.不变 B 6.如图 A 3

1 B.缩小 100 D.不能确定

则 C

1 2 sinA=______

.

300 7

拓展延伸
如图,Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB, 图中sinB等于哪两条线段的比。
AC 解:在Rt△ABC中, sin B ? AB
在Rt△BCD中, sin B ? 因为∠B=∠ACD,所以
C

CD BC
A

9

5

D

B

AD sin B ? sin ?ACD ? AC

求一个角的正弦值,除了用定义直接求外

, 还可以转化为求和它相等角的正弦值。

如图:AB是⊙O的直径,且AB=10, CD是⊙O的弦,AD与BC相交于点P, 若弦BC=8,求sin∠ADC的值。
C D

6
A

P 8 B 10

因为sin30°= 2

阅读思考: 1



1 sin210°= 2 -


1 2

所以sin210°=sin(180°+30°)= -sin30°=

因为sin45°=

2 2

, sin225°= ?

2 2



所以sin225°= sin(180°+45°)= - sin45°=

2 2

-

-sin ?

由此猜想:sin(180°+

3 - )= 2

回味

无穷 B 斜边 ∠A的对边 A ┌ C

1.正弦的定义: sinA=
∠A的对边 斜边

1 2. Sin30° = 2

2 sin45°= 2

sin60°=

3 2

3.sinA是∠A的函数.

1、必做题:数学书P77练习题
2、课后探究:正弦值随着角度的 sin 增大而发生怎样的变化? ? 的取值范围是什么? 并运用你的结论化简: (sin ? ? 1) 2


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