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复习2: 三角形的初步知识总复习课

发布时间:2013-09-20 14:21:38  

三角形的性质
(1)边上的性质: 三角形的两边之和大于第三边 三角形的两边之差小于第三边 (2)角上的性质: 三角形三内角和等于180度

三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角之和

辨一辨:
1、下列每组分别是三根小木棒的长度,用它们能摆成 三角形吗?(单位:厘米。填“能”或“不能”) (1)3,4,5( 能 ) (2)8,7,15( 不能 ) (3)13,12,20( 能 ) (4)5,5,11( 不能 ) 2、三角形按内角的大小分为三类:①锐角三角形; ②直角三角形;③钝角三角形。根据下列条件判断它们 是什么三角形? (1)三个内角的度数是1:2:3( 直角三角形 ) (2)两个内角是50°和30°( 钝角三角形 )

3、三角形的两边长分别是3和5,第三边a 的取值范围(c) A、2≤a<8 B、2<a≤8 C、2<a<8 D、2≤a≤8

4、如图,在△ABC,∠A=75°∠B=45° 。 120 则∠ACD=_______

5、一个三角形的两边长分别是3和8,而第三边长 为奇数,那么第三边长是 7或 9 ______
A
A

1 2
C 1 E B D

B

D

C

(第6题)

(第7题)
100 度

6、如上图,∠1=60°,∠D=20°,则∠A=

7、如上图,AD⊥BC,∠1=40°,∠2=30°,
则∠B=

50 度,∠C= 60 度

1、三角形的中线的概念
2、三角形的角平分线的概念 3、三角形的高的概念

4、线段的中垂线的概念
线段的中垂线上的点到线段两端点的距离相等。 5、∵ 点C在 l 上 l

l 是线段AB的中垂线,

C B

∴CA=CB

A

O

6、∵点P是∠BAC的平分线上的

一点且

PB⊥AB,PC ⊥AC,
C P

∴PB=PC

A

B

角平分线上点到角两边距离相等.

练一练:
1、能把一个三角形分成面积相等的两部分是三角形
的是( A ) A、中线 B、高线 C、角平分线 D、边上的中垂线
A F E B C D

2、如图,CE,CF分别是△ABC的
内角平分线和外角平分线,

90 则∠ECF的度数=______度.

3. 在△ABC中,AD是BC边上的中线,已知AC=3,△ABD

和△ACD的周长的差是2,你能求出AB的长吗? 1或5

A
4.如图,AD、BF都是△ABC的 高线,若∠CAD=30度,则

∠CBF=______度。 30
B 5、如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,CE 是AB边上的高,BD,CE交于点P。已知

E
D

F

C

A E p

∠ABC=600,∠ACB=700, 求∠ACE,∠BDC
的度数。

D C

400

800

B

6、如图在△ABC,∠C=90°,BD平分∠ABC,交AC 于D。若DC=3,则点D到AB的距离是_________。 3 E

7、如图,△ABC中,DE垂直平分AC,AE=3cm, A 15cm △ABD的周长是9cm,则△ABC的周长是_______. 8、如图,已知△ABC中,∠B=45°, B ∠C=75°,AD是BC边上的高,AE是

E

D

A

C

∠BAC的平分线,则∠DAE=

150



B

E D

C

9、如图,BE、CF是△ABC 的角平分线, ∠A=40°求∠BOC度数.

改变条件:

1100

1、如图,BE、CF是△ABC 的外角

平分线,∠A=40°求∠BOC度数. 700 2

、如图,BE、CF分别是△ABC 的内角与外角平 分线,∠A=40°求∠BOC度数.
A

0 20
A O

F E

B

C

F

O E

B

C

D

基础知识
全等图形: 能够完全重合的两个图形

全等三角形:能够完全重合的两个三角形

三角形全等的判定方法
(1)边边边公理(SSS)

三边对应相等的两个三角形全等
(2)边角边公理(SAS) 两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (3)角边角公理(ASA) 两角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等 (4)角角边公理(AAS) 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

全等三角形的性质:
? 全等三角形的对应边相等;

? 全等三角形的对应角相等;
? 全等三角形的面积相等。

1、如图,已知AC=DB,∠ACB=∠DBC,则有 △ABC≌△ DCB ,理由是 SAS , 且有∠ABC=∠ DCB ,AB= DC ;
B
A D

A
C
B C

D

2、如图,已知AD平分∠BAC, 要使△ABD≌△ACD, 根据“SAS”需要添加条件 AB=AC ; 根据“ASA”需要添加条件 ∠BDA=∠CDA 根据“AAS”需要添加条件 ∠B=∠C

; ;

3、判断题:
(1)有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全 等.( ) (2)有三角对应相等的两个三角形全等。 ( )

(3)成轴对称的两个三角形全等。(
(4)面积相等的两个三角形全等。 (




(5)含有60°角的两个直角三角形全等。 ( )

4、如图1,点D在AB上,点E在AC上,CD
与BE相交于点O,且AD=AE,AB=AC。若 ∠ B=200 , CD=5cm , 则 ∠ C=__20° ____ , BE=______ 5cm 5、如图2,若OB=OD,∠A=∠C,若

B D O C E A

图1

A O B

D

AB=3cm,则CD=______ 3cm
6、已知:如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分 别为D、E,BE、CD相交于O点,∠1=∠2, 图中全等的三角形共有( )

C
图2

A
12

D

D

E O

A.1对

B.2对

C.3对

D.4对
B

C

阅读下题及其说理过程:
已知:如图,D是⊿ABC中BC边上的中点,EB=EC, ∠ABE=∠ACE,说明∠BAE=∠CAE的理由。

解:在AEB和AEC中
EB=EC ∠ABE=∠ACE AE=AE ∴⊿AEB≌∠AEC ∴∠BAE=∠CAE B E

A

D

C

问:上面说理过程是否正确?若正确,请写出每一步 的推理根据;若不正确,请指出错在哪一步,并写出 你认为正确的推理过程.

例1、已知如图,AB=AC,AO平分∠BAC,请说明 (1)△ABO≌△ACO;(2)DO=EO的理由.
A D
解(1)∵ AO平分∠BAC (已知)

12
3

在△ABO和△ACO中 4 O AB=AC (已知) ∠1=∠2 AO=AO (公共边) B C ∴ △ABO≌△ACO (SAS) (2)∵△ABO≌△ACO 在△BOD和△COE中 (对顶角相等) ∴DO=EO ∴ ∠B=∠C OB=0C ∠3= ∠4 OB=0C (全等三角形的 (全等三角形的对应角、 ∠B=∠C 对应边相等) ∴ △BOD≌△COE (ASA) 对应

边相等)

E

∴∠1=∠2 (角平分线定义)

例2、如图,AD是△ABC的高,且AD平分∠BAC,
请指出∠B与∠C的关系,并说明理由。
解:∵AD是△ABC的高
A ∴∠ADB=∠ADC=90° ∵AD平分∠BAC B D C ∴∠BAD=∠CAD 在△ABD和△ACD中,

∠ADB=∠ADC
∴ △ABD≌ △ACD AD=AD

∴∠B=∠C

∠BAD=∠CAD

例3、如图,已知:Δ ABC和Δ BDE是等边三角形,
D在AE的延长线上。求证:Δ CBD≌Δ ABE
A E B D C

Δ CBD≌Δ ABE

S

A

S

CB = AB ∠CBD = ∠ABE BD=BE ∠EBD -∠EBC = ∠ABC -∠EBC ∠EBD = ∠ABC = 60°

变式1、如图,已知:Δ ABC和Δ BDE是等边
三角形,D在AE的延 长线上。 求证:BD + DC = AD
A

E B D

C

变式2、如图,已知:点C、B、E在同一条
直线上,Δ ABC和Δ BDE是等边三角形。

求证: Δ CBD≌Δ ABE
Δ CBD ≌ Δ ABE CB= AB ∠CBD= ∠ABE DB = EB
E B C∠CBA+

D

A

∠DBA = ∠EBD+

∠DBA

∠CBA= ∠EBD= 60°

变式3、 如图,已知△ABC和△DEB等边三角
形 。C,B,E在一条直线上

求证: BG = BH。

D G E B H

A

C

例4、如图,在△AFD和△BEC中,点A、E、F、C
在同一直线上,有下列四个论断:

①AD=CB,②AE=CF,③∠B=∠D,④ ∠A=∠C.请
用其中三个作为条件,余下一个作为结论,编一道数学

问题,并写出解答过程。
A E B D F C

巩固练习:
1、如图,已知AB=ED,AF=CD,EF=BC, E 说明∠EFD=∠BCA的理由。 F D CA 2
1

O

C

D

A B B 2、如图,∠1=∠2,AB=CD,AC与BD相交于 点O,则图中必定全等的三角形有( C ) A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 6对

3.如图:AC和DB相交于点O,若AB=DC,AC=DB,

则∠B=∠C,请说明理由. (提示:连结AD)
A D

A E
O

B
B C

D

C

4.如图,在△ABC中, AD是△BAC的角平分线, DE是△ABD的高线, ∠C=90 度。若DE=2, BD=3,求线段BC的长。

5、如下图,已知△ABC中,DE是BC边上的中垂 线,若AC=5,EC=2, △ADC的周长是13,求 △ABC的周长。
D B E C A F B A D E C

6、如上图,EF是AB的中垂线,分别延长BE、 AE至D,C,使DE=CE,则AD与BC相等吗? 请说明 理由。

7、如下图,已知AD是△ABC的中线,CE是△ADC
的中线,若△ABC的面积是8,求△DEC的面积。
A E E B D C B D C A

8、如上图,△ABC中,点D是BC上的一点,点E 是AD上的一点,若BD:CD=2:3,DE:AE=1:4, △ABC的面积是8,求△DEC的面积。

方案设计
要想知道一个池塘的两

岸上最远两点之间的距
离,没有船,且不能直

它们之间有多远 呢?

接去测量。如果只用绳
子和尺子,怎样才能测 出它们之间的距离呢?

A B

方 案 一

先在地上取一个可以直接
到达A点和B点的点C,连 接AC并延长到D,使 CD=AC;连接BC并延长 到E,使CE=CB,连接DE

A C

E

并测量出它的长度

,DE的
长度就是A,B间的距离。 在 ABC与 DEC中, AC = DC ∠ACB=∠DCE BC = EC

B

D

ABC≌
AB =

DEC(SAS)
DE

方 案 二

如图,先作三角形 A
ABC,再找一点D,使 AD∥BC,并使AD=BC,
1

D

连结CD,量CD的长
即得AB的长
B

2

C

解:连结AC,由AD∥CB,可得∠1=∠2 在△ACD与△CAB中

AD=CB

∠1=∠2
AC=CA

△ ACD≌ △ CAB(SAS)

AB = CD

方 案 三

如图,找一点D,使AD⊥BD,延长AD至C, 使CD=AD,连结BC,量BC的长即得AB的长。 解: 在Rt ADB与Rt CDB中 BD=BD ∠ADB=∠CDB CD=AD

B

A

D

C

ADB≌ CDB(SAS)
∴ BA = BC

作图类:
1、已知钝角△ABC,求作:

(1)AC边上的中线;
(2)∠C的角平分线; C

(3) BC边上的高。 A B

2、已知线段a、∠α ∠β 、,作△ABC,使

AB=a,∠A= ∠α, ∠A= ∠ β 。
a

α

β


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