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总复习题答案

发布时间:2013-12-07 16:35:04  

总 复习题 答 案

电子科学与信息技术学院

David

一、填空题
1、一个线性时不变离散时间系统可以用三种方式表示: (1)差分方程 (2)单位抽样响应 (3)系统函数 。 ; ; 2、说明序列Z变换与下列变换的关系: (1) LT:z ? e sT ? LT; (2) DTFT:z ? e jw (单位圆上的ZT ) ? DTFT; (3) DFT:z ? e
j 2? N

(单位圆上的等距离采样值) ? DFT。
电子科学与信息技术学院 David

3、数字频率只有相对意义,它是实际频率对采样频率 的归一化 。 4、从满足采样定理的样值信号中可以不失真地恢复出 原模拟信号。从时域角度看是: 采样值对相应的内 插函数的加权求和 ;从频域的角度看是: 加低通并 频域截断 。
电子科学与信息技术学院 David

5、写出? (n)和? (t )的两点区别: (1)? (n)仅在n为整数时有意义,? (t )中t连续取值 ; (2)? (n)在n ? 0处值为1 ? ? (n)可实现,? (t )在t ? 0 处为? ? ? (t )不可实现 。

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David

6、某系统为因果系统的充要条件是: 时域h(n) ? 0(n ? 0) ? 频域R1 ?| z |? ? 。 7、z平面单位圆上N点频率采样造成 时域信号 以NT为周期的延拓。

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David

8、脉冲响应不变法的基本思路是: H ( s ) ???? ha (t ) ?? ? ha (nt ) ? h(n) ???? H ( z ) ?
抽样 LT ?1 [ ? ] ZT ?1 [ ? ]

9、要获得线性相位的FIR DF,其h(n)必须满足: (1)h(n)是实数; (2)h(n) ? ? h( N ? 1 ? n) ? h(n)以n ? ( N ? 1) / 2为中 心的偶对称或奇对称 。
电子科学与信息技术学院 David

10、序列CZT用来计算沿z平面一条螺旋线等分角的采 样值。 11、周期序列不能进行ZT的原因是: | x(n) z ? n | ? ? ?
n ? ?? ??

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David

nk 12、设X (k ) ? ? x(n)WM ,则变换后数字频域上相邻 n ?0

N ?1

两个频率样点的间距为: ? / M 。 2 13、系统稳定的充要条件是:时域 ? | h(n) | ? ? ?
n ? ?? ??

频域收敛域包含单位圆 。

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14、与数字滤波器的?相对应的模拟频率是 f s / 2(抽样 频率的一半) 。 15、第二类FIR滤波器幅度函数H ( w)对?点奇对称,说 明频率?处的幅度是 0 ,不适宜做 高通、带阻 。

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16、用窗口法设计出一个FIR低通滤波器后,发现过 渡带太宽,宜采用的修改措施是 加大窗口长度 或采用其它类型的窗口 。 17、极点灵敏度是指 每个极点的位置对各系数偏差 的敏感程度。

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18、数字频率w是模拟频率?对抽样频率的归一化, 数字频率 2?对应的模拟频率是 f s (抽样频率) 。 19、DFT是正弦类正交变换,其正交

基是 e
?j 2? nk N



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N 20、N点FFT的计算量大约是 log 2 N次复数乘和 2 N log 2 N次复数加 。 21、正弦序列 sin( nw0 )中,当w0 取 有理数 时不是 周期序列。

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22、双线性变换法的关系式是:H ( z ) ? H ( s )

2 1? z ?1 s? ? T 1? z ?1



23、一个时间序列采用线性相位FIR滤波器滤波,与 第0秒输入样值对应的滤波输出样值将出现在第 ( N ? 1) /( 2 f s ) 秒时刻( f s为系统的工作频率) 。

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24、采用双线性变换法设计IIR DF时,s域j?轴上的 模拟抽样频率 2?f s 变换到z域单位圆上的数字频率 2arctg (? ) 处。 25、线性相位FIR DF传递函数的零点呈现 互为倒数 的共轭对 的特征。

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二、分析计算题
1、已知系统的单位脉冲响应,试分析系统的因果性和 稳定性。 (1)h(n) ? 5n u (?n); 2)h(n) ? e an RN (n); ( 1 (3)h(n) ? u (n ? 1) 。 n

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解:) h(n) ? 5n u (?n)是左序列 ? 系统非因果。 (1 ?h(0) ? 50 u (0) ? 1 ? 第一项有界 ? ? 系统稳定。 ? 5n ?1 1 ?nlim n ? ? 1 ? 收敛 5 ? ??? 5

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(2) n ? 0 ? h(n) ? e an RN (n) ? 0 ? 系统因果。 1 ? e aN | e an | ? ? ? ? 系统稳定。 ? a 1? e n ?0
N ?1

(3) u (n ? 1)包含n ? 0项 ? 系统非因果。 1 当n ? 0 ? h(n) ? u (n ? 1) ? ? ? 系统不稳定。 n

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2、已知系统差分方程 y (n) ? x(n) ? x(n ? 4)。 (1)求系统函数H ( z ); (2)求幅频特性,并画幅频曲线; (3)若用该系统阻止直流、 Hz 及2、 4等高次谐波, 50 3、 则系统的抽样频率取多少?

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解:) y (n) ? x(n) ? x(n ? 4) (1 ? Y ( z ) ? X ( z ) ? z ?4 X ( z ) Y ( z) z 4 ?1 ? H ( z) ? ? 1 ? z ?4 ? 4 X ( z) z , , ?零点:z01 ? 1 z02 ? j,z03 ? ?1 z04 ? ? j ?? ?极点:z p ? 0(4阶 )

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(2) H (e jw ) ? H ( z ) z ?e jw ? 1 ? e ?4 jw ? 1 ? cos( 4w) ? j sin( 4w) ?| H (e jw ) |? [1 ? cos( 4w)]2 ? [sin( 4w)]2 ? 2 | sin( 2w) |
| H (e jw ) |

幅频曲线:
0

? 2

?

3? 2

2?

w

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(3) z0 k ? e

j

2? k 4

,k ? 0,2,? 零点在单位圆上 ? w ? 0, 1 3 ,

?

3? , ?, 处频谱为零 ?题意 ? 对应的模拟频率? ? 0, ? ? 2 2

50 Hz , Hz , Hz 。 100 150 2?f 2? ? 50 w ? ?T ? 2?f f s ? f s ? ? ? 200 Hz 。 w ? /2

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3、用脉冲响应不变法设计一个低通滤波器,已知归一 2 化模拟低

通滤波器H a ( s ) ? 2 ,模拟截止频率 s ? 3s ? 2 f c ? 1kHz,采样频率f s ? 4kHz。试求数字滤波器H ( z ), 并画出其并联结构图。若保持H ( z )不变,采样频率 提高4倍,则低通滤波器的截止频率有什么变化?

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s 解:? c ? 2?f c ? 2000? (rad / s) ? 用 代替H a ( s )中 ?c 的s得: ? 2? c 2? c H a ( s) ? ? ? s 2 s ( ) ? 3( ) ? 2 s ? 2? c s ? ? c ?c ?c 2

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1 1 ? 极点s p1 ? ?2?c,s p 2 ? ??c,T ? ? (s) f s 4000 2 TAi ? 2?cT 2?cT ? H ( z) ? ? ? ? s piT ?1 ? 2 ? c T ?1 1? e z 1 ? e ? ? cT z ?1 z i ?1 1 ? e ?? ? ? ?? ?1 1? e z

?
1 ? e 2 z ?1
?

?

?

? (e

?

?
2

? e ?? ) z ?1
?

(1 ? e ?? z ?1 )(1 ? e 2 z ?1 )

?

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David

??

并联型结构 :

x(n)

?

e

??

z ?1

y (n)
e
? ? 2

z ?1

H ( z )不变 ? wc ? 2?f c f s 不变 ? f s 提高4倍 ? f c 提高4倍 ? f c ? 4kHz。
David

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4、序列x(n) ? {1 1 0,},其4点DFT , 0 , 的 | X (k ) | 如图所示,现将x(n)
0

x(n)

1
| X (k ) |

2

3

n

按要求扩展成8点,求8点DFT 的形状。
0

1

2

3

k

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? x ( n) ? (1) y1 (n) ? ? ? x(n ? 4) ? ? x ( n) ? (2) y2 (n) ? ? ?0 ? ? x(n / 2) ? (3) y3 (n) ? ? ?0 ?

n ? 0?3 n ? 4?7 n ? 0?3 n ? 4?7 n ? 偶数 n ? 奇数
David

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解:)Y1 (k1 ) ? ? y1 (n)W8nk1 ? ? y1 (n)W8nk1 ? ? y1 (n)W8nk1 (1
n ?0 n ?0 n?4

7

3

7

? ? x(n)W
n ?0 3

3

nk1 8

? ? x(n ? 4)W
n?4 3

7

nk1 8

? ? x(n)W8nk1 ? ? x(n)W8( n ? 4 ) k1
n ?0 n ?0

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David

? ? x(n)W
n ?0 3

3

nk1 8

? (?1)

k1

x(n)W8nk1 ?
n ?0

3

? ? [ x(n) ? (?1) k1 x(n)]W8nk1, 0 ? k1 ? 7
n ?0 3 ? Y1 (2k ) ? ? [ x(n) ? x(n)]W82 nk ? 2 X (k ) 0 ? k ? 3 ? ? n ?0 ?? 3 ?Y (2k ? 1) ? [ x(n) ? x(n)]W n ( 2 k ?1) ? 0 0 ? k ? 3 ? 8 ?1 n ?0 ?

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David

y1 (n)

| Y1 (k1 ) |

0 1 2 3 4 5 6 7

n 0 1 2 3 4 5 6 7

k1

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(2)Y2 (k2 ) ? ? y2 (n)W8nk2 ? ? x(n)W8nk2 ? ? x(n)W4nk2 / 2
n?0 n?0 n ?0

7

3

3

k2 ? X ( ) ?k 2 ??? X (k ) 0 ? k2 ? 7, ? k ? 3 ?2 k 0 2

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David

y2 (n)

| Y2 (k2 ) |

0 1 2 3 4 5 6 7

n

0 1 2 3 4 5 6 7

k2

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(3)Y3 (k3 ) ? ? y3 (n)W8nk3 ?n ? 2 r ? ? x(r )W82 rk3 ? ? x(n)W4nk3 ? ?
n ?0 r ?0 r ?0

7

3

3

? X (( k3 )) 4 ? X (k )

0 ? k4 ? 7, 0 ? k ? 3

电子科学与信息技

术学院

David

y3 (n)

| Y3 (k3 ) |

0 1 2 3 4 5 6 7

n

0 1 2 3 4 5 6 7

k3

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David

5、已知系统的单位脉冲响应,分析其因果性和稳定性。 (1)h(n) ? 2 n u (?n); (2)h(n) ? ? (n ? m) m为整数。

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David

解:) h(n) ? 2 n u (?n)是左序列 ? 系统非因果。 (1 ?h(0) ? 20 u (0) ? 1 ? 第一项有界 ? ? 系统稳定。 ? 2 n ?1 1 ?nlim n ? ? 1 ? 收敛 2 ? ??? 2 (2) ? | ? (n ? m) | ? 1 ? ? ? 系统稳定。
n ? ?? ?

?m ? 0 ? 系统因果。 ? ?m ? 0 ? 系统非因果。
电子科学与信息技术学院 David

6、R100 (n)和R5 (n)分别代表长度为100和5的矩形序列。 求: (1)序列4 ? R100 (n)和序列? (n)的线性卷积; (2)序列R5 (n)和序列{4, 2,的线性卷积和7点圆周 3,1} 卷积。

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David

解: )[ 4 ? R100 (n)] ? ? (n) ? 4 ? R100 (n)。 (1 (2)设x1 (n) ? {1 1 1 1 1},N1 ? 5;x2 (n) ? {4, 2,},N 2 ? 4, ,, ,, 3,1 , 则y (n) ? x1 (n) ? x2 (n) ?

m ? ??

? x ( m) x ( n ? m)
1 2

?

? {{4, 9, , , 3,, ? N1 ? N 2 ? 1 ? 8 7,10 10 6,1} N 运算过程如下:

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David

m

… -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 …

y(n)

X1(m)
X2(m) X2(-m) X2(1-m) X2(2-m)

1 1 1 1 1
4 3 2 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 y(0)=4×1=4 y(1)=3×1+4×1=7 y(2)=…………=9

X2(3-m)
X2(4-m) X2(5-m) X2(6-m) X2(7-m)

1 2 3 4
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
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y(3)=…………=10
y(4)=…………=10 y(5)=…………=6 y(6)=…………=3 y(7)=…………=1
David

L ? 7点圆周卷积: w(n) ? x1 (n) ? x2 (n) ? [ ? ~1 (m) ~2 (n ? m)] ? RN (n) x x
m ?0 N ?1

? {5, 9, , , 3, 7,10 10 6,} L ? 7 ? N1 ? N 2 ? 1 ? 8 ? w(n) ? y (n) 7点圆周卷积运算过程如下:

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David

m

0

1

2

3

4

5

6

w(n)

X1(m)
X2(m)

1
4

1
3 0 4 3

1
2 0 0 4

1
1 0 0 0

1
0 1 0 0

0
0 2 1 0

0
0 3 w(0)=4×1+1×1=5 2 w(1)=3×1+4×1=7 1 w(2)=…………=9

X2(-m) 4 X2(1-m) 3 X2(2-m) 2

X2(3-m) 1
X2(4-m) 0 X2(5-m) 0 X2(6-m) 0

2
1 0 0

3
2 1 0

4
3 2 1

0
4 3 2

0
0 4 3

0 w(3)=…………=10
0 w(4)=…………=10 0 w(5)=…………=6 4 w(6)=…………=3

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7、已知某系统的差分方程为: 2 y (n) ? 3 y (n ? 1) ? 3 y (n ? 2) ? y (n ? 3) ? 6 x(n) ? 7 x(n ? 1) ? 5 x(n ? 2) ? 0 试分别画出级联型和并联型结构流图。

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Y ( z) 6 ? 7 z ?1 ? 5 z ? 2 解:H ( z ) ? ? X ( z ) 2 ? 3z ?1 ? 3z ? 2 ? z ?3

7 ?1 5 ? 2 3? z ? z 2 2 ? 3 ?1 3 ? 2 1 ?3 1? z ? z ? z 2 2 2

7 ?1 5 ? 2 3? z ? z 2 1 ? z ?1 2 2 ? ? ? 1 ?1 1 ?1 1 ? z ?1 ? z ? 2

?1 ?2 (1 ? z )(1 ? z ? z ) 1 ? z 2 2

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David

级联型结构流图 :
x(n)
3
z ?1
?1
12 ?7 2

y (n)
z ?1

z ?1 5 2

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并联型结构流图 :
2
1 2 z ?1

x(n)
z ?1
?1 ?1

y (n)

z ?1

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1 8、某二阶模拟低通原型H a ( s ) ? , 2 (s / ?c ) ? 3 (s / ?c ) ? 3 试用双线性变换法设计一个数字低通,其3dB截止频 率f c ? 1000 Hz ,抽样频率f s ? 6000 Hz ,要求预畸,写 出系统函数并画出直接II型结构流图。

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2?f cT 2?f c 2 2 2 解:)预畸 ? ? ? tg ( (1 ) ? tg ( )? ? 3 T 2 T 2 fs T
/ c

? 代入H a ( s ) ? H a ( s ) ?
/ c

1 T 2 2 T 3( ) s ? 3( ) s ? 3 2 2

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H ( z ) ? H a (s)

2 1? z ?1 s? ? T 1? z ?1

1 ? 2 z ?1 ? z ? 2 1 1 ? 2 z ?1 ? z ? 2 ? ? ? ?2 9 ? 3z 9 1 ? 1 z ?2 3 (2)直接II型结构流图 :

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x(n)

19

z ?1
?1 3

y (n)

z ?1

2

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9、设y (n) ? cx(n) ? d (c、d为非零常数)代表系统输 入 / 输出间的运算关系,试分析系统的因果性、 稳定性、线性。

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解:)若 | x(n) |? M ?| y (n) |?| cx(n) ? d |?| c | M ? | d | (1 ? 稳定系统。 (2) y (n)不取决于x(n)的将来值 ? 因果系统。

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(3)设x(n) ? ax1 (n) ? bx2 (n) ? y (n) ? c[ax1 (n) ? bx2 (n)] ? d ? y1 (n) ? cx1 (n) ? d,y2 (n) ? cx2 (n) ? d ? y (n) ? ay1 (n) ? by2 (n) ? 非线性系统。

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10、设某数字调谐滤波器的差分方程为(0 ? b1 ? 2 ): y (n) ? b1 y (n ? 1) ? 0.5 y (n ? 2) ? a1 x(n ? 1) (1)若a1、b1中允许一个变动而让系统谐振于数字 频率? / 3处,问变动极点 / 零点?极相关参数 如何? (2)画出直接型结构流图。
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解:)当数字频率w在某个极点位置幅角附近时, (1 有可能出现频谱的峰值 ? 变动极点。 a1 z 差分方程 ? H ( z ) ? 2 z ? b1 z ? 0.5 b1 ? j 2 ? b1 ? zp ? 2

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2 ? b1 ? 1 根据题意 ? ? tg ? 3 ? b1 ? ? b1 3 2 1 0 ? b1 ? 2 ? b1 ? 2 (2)直接型结构流图:

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0

x(n)
b1
? 0.5

z ?1 z ?1

y (n)

a1

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11、设计一个长N ? 4的FIR数字滤波器,用于测量 信号的直流分量(样值的平均)。 (1)写出系统的差分方程、系统函数并分析零、 极点; (2)画出线性相位(对称结构)的结构流图; (3)画出大致的幅频特性曲线。 ,
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1

解:) y (n) ? (1 N

1 ? x(n ? i) ? 4 [ x(n) ? x(n ? 1) ? x(n ? 2) ? x(n ? 3)] i ?0

N ?1

1 1 1 ? z ?4 z 4 ?1 ? H ( z ) ? (1 ? z ?1 ? z ? 2 ? z ?3 ) ? ? ? 3 ?1 4 4 1? z 4 z ( z ? 1) ? z p ? 0(3阶 ),z p ? 1处零极点对消。 ? ?? ? 3? j j ? z01 ? e 2 ? j,z02 ? e j? ? ?1 z03 ? e 2 ? ? j , ? ,
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(2)线性相位(对称结构)的结构流图 :
x(n)
z ?1 z ?1
14

z ?1
14

y (n)

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(3)画出大致的幅频特性曲线:
| H (e jw ) |

1

0

?
2

?

3? 2

2?

w

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12、有一长M ? 12的时域序列,如用12点FFT,可精确 计算位于数字频率 2? / 12处测量点A的频谱幅值。 若采用基2 FFT来计算点A的频谱幅值,假定允许 测量点数字频率的误差在 ? 0.015范围,问至少应 选用多少点FFT?

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解:假定选用N点FFT ? N ? 2 m ? 12(m是整数)。 2? 2? N 依题意 ?| k? |? 0.015 ? 11.666 ? ? 12.354 N 12 k 0 ? k ? N ? 1 ? N ? 256,k ? 21 ? 选用256点FFT。

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13、某系统的单位抽样响应h(n) ? ? (n) ? ? (n ? 1),系统 频响是H (e jw ) ?| H (e jw ) | e j? ( w)。如果把该系统用做 一个FIR滤波器,按惯例写成H (e jw ) ? H ( w)e j? ( w)。 (1)写出 | H (e jw ) | ,H ( w),? ( w),? ( w)的表达式, 画出它们随w变化的曲线( w ? 0 ~ 2? ); (2)说明它们的区别。
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解:) H ( z ) ? 1 ? z ?1 ? H (e jw ) ? H ( z ) z ?e jw (1 ? 1 ? cos w ? j sin w w ? jw 2 2 ?| H (e ) |? (1 ? cos w) ? sin w ? 2 | cos 2 | ? ?? ?? ( w) ? arctg ? sin w ? arctg[?tg w ] ? 1 ? cos w 2 ?

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H (e jw ) ? 1 ? e ? jw ? e

?j

w 2

(e

j

w 2

?e

?j

w 2

w ?jw ) ? 2 cos e 2 2

w ? ? H ( w) ? 2 cos 2 ? ?? ?? ( w) ? ? w ? 2 ?

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| H ( w) |

2
0 ?2
?
2

2

?

2? w

0 ?2
?
2

?

H (w)

2? w

? (w)
?
2? w
?

? (w)
?
2? w

?

?

0

?

0

2

2

??
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(2) | H (e jw ) | 为正数,H ( w)可正可负,H ( w) ? ? | H (e jw ) |

? ( w)曲线连贯,? ( w)曲线不连贯。

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14、已知一个线性时不变系统的冲激响应h(n)除去在区间 N 0 ? n ? N1内均为零,输入x(n)除去在区间N 2 ? n ? N 3内均为零,输出y (n)除去在区间N 4 ? n ? N 5内均零, 试用N 0,N1,N 2,N 3确定N 4,N 5。

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解:y (n) ? x(n) ? h(n) ?

m ? ??

? x ( m) h ( n ? m)

?

? x ( m) ? 0 ? N

2 ? m ? N 3 y ( n) ? 0 ? ? ?h(n ? m) ? 0 ? N 0 ? n ? m ? N1 ? N 0 ? N 2 ? n ? N1 ? N 3 ? N 4 ? N 0 ? N 2;N 5 ? N1 ? N 3

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15、观察下图,回答问题: (1)这是什么类型的DF,具有什么特性; (2)写出差分方程和系统函数; (3)求w ? 0,? / 2,?处的系统幅度频响; (4)画出相频特性曲线。

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David

x(n)
?1
1

z ?1
?1
?3

z ?1 z ?1 ?1
?6

z

?1

z ?1

y (n)

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解:)h(n)奇对称,N ? 6为偶数 ? 第四类线性相位 (1 FIR DF。 (2)系统函数:H ( z ) ? 1 ? 3z ?1 ? 6 z ? 2 ? 6 z ?3 ? 3z ? 4 ? z ?5 差分方程:y (n) ? x(n) ? 3x(n ? 1) ? 6 x(n ? 2) ? 6 x(n ? 3) ? 3x(n ? 4) ? x(n ? 5)

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(3) H (e jw ) ? H ( z ) z ?e jw ? 1 ? 3e ? jw ? 6e ?2 jw ? 6e ?3 jw ? 3e ?4 jw ? e ?5 jw 5 3 1 ?e [2 sin( w) ? 6 sin( w) ? 12 sin( w)] 2 2 2 5 3 1 ? H ( w) ? 2 sin( w) ? 6 sin( w) ? 12 sin( w) 2 2 2 ? ? H (0) ? 0,H ( ) ? ?10 2,H (? ) ? ?4。 2
? 5 j ( ? w) 2 2

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5 (4)相位函数? ( w) ? ? w,曲线如下: 2 2

?

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?
2

? (w)
?
5

?
w

0

2?

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16、观察下图回答问题: (1)这是什么类型的DF; (2)写系统函数。
x(n)
? 0.6728 ? 0.6728

0.182 0.182

y (n)

z ?1

z ?1

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解: )信号传递从左到右,中间无反馈 ? FIR DF。 (1 (2)设k0 ? ?0.6728,k1 ? 0.182,则有: 差分方程:y (n) ? [ x(n) ? k0 x(n ? 1)] ? k1[k0 x(n ? 1) ? x(n ? 2)] ? x(n) ? k0 (1 ? k1 ) x(n ? 1) ? k1 x(n ? 2) 系统函数 : H ( z ) ? 1 ? 0.6728 ? (1 ? 0.182) z ?1 ? 0.182 z ? 2 ? 1 ? 0.7925 z ?1 ? 0.182 z ? 2
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17、知序列s (nT ),T ? 62.5?s,观察得到n ? 0,..., 时 1 999 , 的数值,现需测量它在625 Hz 频率处的频率特性, 请说明: (1)用DFT来计算,如何才能得到625处的频响? (2)若一次只能进行512点DFT运算,如何完成上述 计算。
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解:)模拟频率f ? 625Hz ? 数字频率w ? 2?fT (1 序列s (nT )观察值为1000点 ? DFT点数N ? 1024 2? w? k ? 2?fT ? k ? 40 ? 625Hz 处频响为S (k ) k ? 40。 N (2)将M ? 1024的DFT分成N ? 512的两段DFT,即:

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S ( k ) ? ? s ( n )e
n ?0 N ?1 n ?0

M ?1

?j

2? nk M

,k ? 0,...,M ? 1 1 , ?
2 N ?1 n? N

? S ( k ) ? ? s ( n )e ? ? s ( n )e
n ?0 N ?1 n ?0 N ?1

?j

2? nk N

? s ( n )e

?j

2? nk M

,k ? 0,.

..,N ? 1 1 ,
2? ( n? N ) k M

?j

2? nk N

? ? s ( n ? N )e
n ?0 ?j 2? nk N

N ?1

?j

? ? [ s (n) ? s (n ? N )]e

? ? s1 (n)e
n ?0

N ?1

?j

2? nk N

? 方法:s (n) ? s1 (n) ? 对s1 (n)做512点DFT。
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说明: 也可以将1024点实数转换成512点复数后做 一次DFT。

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18、知序列a(n) ? {1 2, ,b(n) ? {3,1}。 , 3} 2, (1)求线性卷积a(n) ? b(n); (2)若用基2 FFT的循环卷积法来计算a(n) ? b(n), FFT至少应取多少点?

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解:) w(n) ? a(n) ? b(n) ? (1 过程如下:
m

m ? ??

? a(m)b(n ? m)
w(n)

?

… -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …

a(m)
b(m) b(-m) b(1-m) b(2-m) b(3-m) b(4-m)

1 2 3
3 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
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w(0)=3×1=3 w(1)=…....=8 w(2)=……=14 w(3)=……=8 y(4)=….…=3

? w(n) ? a(n) ? b(n) ? {3,14, 3} 0 ? N ? 4 8, 8, , (2)a(n)长N1 ? 3,b(n)长N 2 ? 3 ? w(n)长N ? 3 ? 3 ? 1 ? 5 ? 基2 FFT至少取2 M ? 5 ? M ? 3 ? 基2 FFT至少取23 ? 8点。
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1 ? ? z ?4 19、知一个稳定系统H ( z ) ? 16 。 1 ?4 1? z 16 (1)求系统的零、极点,并画图表示; (2)画出系统的正准则和二阶级联结构; (3)证明系统是全通系统。

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1 1 4 ?4 ? ?z ? z ?1 解:) H ( z ) ? 16 (1 ? 16 1 ?4 1 4 1? z z ? 16 16 ? 零点z0 k ? 2e
j 2?k 4

,k ? 0,2, 1 3 ,

? z01 ? 2,z02 ? 2 j,z03 ? ?2,z04 ? ?2 j

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1 j 4 极点z pk ? e ,k ? 0,2, 1 3 , 2 1 1 1 1 ? z p1 ? ,z p 2 ? j,z p 3 ? ? ,z04 ? ? j 2 2 2 2 零极点分布图如下:

2?k

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j Im[ z ]

12

0

Re[ z ]

2

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1 1 ?2 1 ?2 ?4 ? ?z (? ? z ) ( ? z ) (2) H ( z ) ? 16 ? 4 ? 4 1 ?4 1 ?2 1 ?2 1? z (1 ? z ) (1 ? z ) 16 4 4 ? 系统的准正则结构和二阶节级联结构如下:

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? 1/16

x(n)
0 0 0 1/ 16

z ?1
0

y (n)
0

?1 4

14

z ?1 z ?1
0

x(n)
0
14

z ?1
0 0
?1 4

z ?1
0

y (n)
1

z ?1
1

z ?1

z

?1

1

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(3) H (e jw ) ? H ( z ) z ?e jw

1 ? ? z ? j 4w ? 16 1 ? j 4w 1? z 16

1 ? ? cos( 4w) ? j sin( 4w) ? 16 1 1 1 ? cos( 4w) ? j sin( 4w) 16 16

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1 [? ? cos( 4w)]2 ? sin 2 (4w) 16 ?| H (e jw ) |? ?1 1 1 2 [1 ? cos( 4w)] ? [ sin( 4w)]2 16 16 ? 全通系统。

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20、已知序列x(n) ? X ( z ),另一个序列y (n)与x(n) 的关系是:y (3n) ? x(n),y (3n ? 1) ?

0.5 x(n), y (3n ? 2) ? 0,求Y ( z )。

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解:Y ( z ) ?

n ? ??

y ( n) z ? n ? ? ?
?

?

r ? ??

y (3r ) z ?3r ? ?

?

r ? ??

y (3r ? 1) z ?(3r ?1) ?

?

r ? ??

y (3r ? 2) z ?(3r ? 2 ) ?
?

?

r ? ??

x(r )( z 3 ) ? r ? z ?1 ? 0.5 x(r )( z 3 ) ? r ?
r ? ??

?

? X ( z 3 ) ? 0.5 z ?1 X ( z 3 ) ? (1 ? 0.5 z ?1 ) X ( z 3 )
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21、某工作频率为 8kHz的系统零点:z1 ? 1?0,z 2 ? 1??;极点:p1 ? 0.6? ? 3,p2 ? 0.6? 2? 3,p3 ? 0.6? ? ? 3,p4 ? 0.6? ? 2? 3, (1)画出z平面零 极点位置图,写出传递函数H ( z ); (2)估画出幅 频特性的大致形状。问转折频率大致是多少? 这是什么类型的滤波器。
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解:) z平面零极点位置图 : (1
j Im[ z ]

0.6

60o

0

1

Re[z ]

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H ( z) ?
j

( z ? 1)( z ? 1)
?

( z ? 0.6e 3 )( z ? 0.6e

?j

?
3

)( z ? 0.6e

j

2? 3

)( z ? 0.6e

?j

2? 3

)

z ? 2 (1 ? z ? 2 ) ? (1 ? 0.6 z ?1 ? 0.36 z ? 2 )(1 ? 0.6 z ?1 ? 0.36 z ? 2 )

? 2? (2)幅频特性的大致形状如图,转折频率大致是 ? , ? 。 3 3
这是一个带通滤波器。

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| H (e jw ) |

??

?

2? 3

?

?
3

0

?
3

2? 3

?

w

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三、证明题
1、证明:若x(n) ? X (e jw ),则x(?n) ? X (e ? jw ) 证:X (e ) ? DTFT [ x(n)] ?
jw n ? ??

x(n)e ? jnw ? x(m)e jmw ?
?

?

DTFT [ x(?n)] ?

n ? ??

? x(?n)e ? jnw ?? n?? ?m ?

?

m ? ??

? X (e ? jw ) ? x(?n) ? X (e ? jw )
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2、证明:若x(n)为实奇对称,即x(n) ? ? x( N ? n),则 其对应的X (k )为纯虚数且奇对称。

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证:X (k ) ? DFT [ x(n)] ? ? x(n)W
n ?0 N ?1 n ?0

N ?1

nk N N ?1

( ( ? ? [? x( N ? n)]WN N ? n )( N ? k ) ?N ? n?? ? ? x(m)WN N ? k ) m ? ?m m ?0

? ? X (N ? k) ?实部奇对称 ? X (k )为奇对称 ? ? ?虚部奇对称
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? x(n)为实数 ? x(n) ? x * (n)
nk nk ? ? X (k ) ? ? x(n)WN ? ? x * (n)WN ? [? x(n)WN nk ] * n ?0 n ?0 n ?0 N ?1 N ?1 N ?1

? X * (?k ) ? X * ( N ? k ) ?实部偶对称 ? X (k )为共轭偶对称 ? ? ?虚部奇对称 ?实部奇对称 ?实部偶对称 ? X (k )为? ?? ? 纯虚奇对称。 ?虚部奇对称 ?虚部奇对称
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3、证明:若x(n)为纯虚偶对称,即x(n) ? x( N ? n),则 其对应的X (k )为纯虚数且偶对称。

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nk 证:X (k ) ? DFT [ x(n)] ? ? x(n)WN n ?0 ( ( ? ? [ x( N ? n)]WN N ? n )( N ? k ) ?? ?? ? x(m)WN N ? k ) m N ?n?m n ?0 m? N ( ? ? x(m)WN N ? k ) m ? X ( N ? k ) m ?0 N ?1 N ?1 1

N ?1

?实部偶对称 ? X (k )为偶对称 ? ? ?虚部偶对称
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? x(n)为纯虚数 ? x(n) ? ? x * (n)
nk nk ? ? X (k ) ? ? x(n)WN ? ? ? x * (n)WN ? ?[? x(n)WN nk ] * n ?0 n ?0 n ?0 N ?1 N ?1 N ?1

? ? X * (?k ) ? X * ( N ? k ) ?实部奇对称 ? X (k )为共轭奇对称 ? ? ?虚部偶对称 ?实部偶对称 ?实部奇对称 ? X (k )为? ?? ? 纯虚偶对称。 ?虚部偶对称 ?虚部偶对称
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4、证明:若x(n)是因果序列且 | x(n) |? M。 设x(n) ? X ( z ),则 lim X ( z ) ? x(0)。
z ??

证:X ( z ) ? ? x(n) z ? n ? x(0) ? x(1) z ?1 ? x(2) z ? 2 ? .......
n ?0

?

? lim X ( z ) ? lim [ x(0) ? x(1) z ?1 ? x(2) z ? 2 ? .......]
z ?? z ??

?| x(n) |? M ? lim x(n) z ? n ? 0
z ??

? lim X ( z ) ? x(0) ? 0 ? 0 ? ........ ? x(0)
z ??
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5、证明:线性相位FIR滤波器的零点必是互为倒数 的共轭对。

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证:线性相位 ? h(n) ? ? h( N ? 1 ? n) ? H ( z ) ? ? z ?( N ?1) H ( z ?1 ) 设z0i 是一个零点 ? H ( z0i ) ? ? z
? ( N ?1) 0i

H (z ) ? 0

?1 0i

? ? FIR滤波器 ? z0i ? 0 ? H ( z0i1 ) ? 0 ? z0i1是零点

? 零极点成共轭对出现 ? ( z0i ) *, 0i1 ) * 是零点 (z?
? ? z0i, 0i ) *,z0i1, 0i1 ) * 是零点。 (z (z?
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6、证明:任何非因果FIR系统都可以通过与某种系 统级联而变成因果系统。

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证:FIR系统 ? h1 (n)为有限长序列。 ?h1 (n),n1 ? n ? n2 且n1 ? 0 ? 非因果系统 ? h1 (n) ? ? 其它 ?0 ? 令h1 (n)与一个全通时延系统h2 (n) ? ? (n ? N )相级 联 ? h(n) ? h1 (n) ? h2 (n) ? h1 (n ? N ) ? 当N ? ?n1 时,级联后的FIR系统变成因果系统。
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7、证明:具有同样截止频率wc的理想低通和理想高 通滤波器,它们的脉冲响应序列之和等于? (n)。

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证:方法一: H ( z ) ? H dL ( z ) ? H dH ( z ) ? 1 ? h(n) ? ? (n) 方法二: , ?1 | w |? wc 理想低通 ? H dL (e ) ? ? ?0, wc ?| w |? ?
jw

| ?0,w |? wc 理想高通 ? H dH (e ) ? ? ?1, wc ?| w |? ?
jw
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sin( wc n) 1 wc jwn hdL (n) ? ??wce dw ? n? 2? wc 1 ? c jwn sin( n? ) sin( wc n) jwn hdH (n) ? ( ?

e dw ? ? e dw) ? ? ?? 2? wc n? n? sin( n? ) h(n) ? hdL (n) ? hdH (n) ? ? ? ( n) n?

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