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雅礼中学离心角

发布时间:2013-12-15 14:36:18  

一、椭圆的参数 方程

一、知识构建
如下图,以原点为圆心,分别以a,b(a>b>0)为半径 作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A作 AN⊥OX,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M,求当半径 OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 分析:点M的横坐标与点A的横坐标相同, 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. 而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
B O N

y A
M

设∠XOA=φ

x

如下图,以原点为圆心,分别以a,b(a>b>0)为半径 作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A作 AN⊥OX,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M,求当半径 OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.
解: 设∠XOA=φ, M(x, y), 则 A: (acosφ, a sinφ), B: (bcosφ, bsinφ),
y A
B M

即为点M的轨迹参数方程. x2 y2 消去参数得: ? 2 ? 1, 即为点M的轨迹普通方程. 2 a b

? x ? a cos ? 由已知: (?为参数) ? ? y ? b sin ?

O

N

x

数方程. 2 .在椭圆的参数方程中,常数a、b分 别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b

x ? a cos ? 1 .参数方程 y ? b sin ? 是椭圆的参

说 明:

? 的取值范围是

另外, ? 称为离心角,规定参数

? ? [0, 2? )

? x ? a cos ? , 焦点在X 轴 ? ? y ? b sin ? .

? x ? b cos ? , 焦点在Y 轴 ? ? y ? a sin ? .

知识归纳
x y 椭圆的标准方程: 2 ? 2 ? 1 a b ? x ? a cos ? (?为参数) 椭圆的参数方程:? ?y ? b sin?
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:
2 2

y
B O

φ
A
M N

x

是半径OA的旋转角;是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
y

圆的标准方程: x2+y2=r2 ? x ? r cos ? 圆的参数方程: ?y ? r sin? (?为参数) ? θ的几何意义是: ∠XOP=θ

P θ

O

x

巩固练习

【练习1】把下列普通方程化为参数方程. 2 2 2 x y y 2 ? ? 1 (2) x ? ?1 (1) 4 9 16 (1) x ? 2 cos ? (2) x ? cos ? y ? 3sin ? y ? 4sin ?

?

?

(?为参数)

把下列参数方程化为普通方程 ? x ? 3 cos ? ? x ? 8 cos ? (3) ? (4) ? y ? 10 sin ?(?为参数) ? ? y ? 5 sin ?

(3)

x 9

2

?

y2 25

?1

(4)

x 64

2

?

y2 100

?1

二、知识应用
x y ? ? 1 上求一点M,使M到直线 例1.在椭圆 9 4 x+2y-10=0的距离最小,并求出最小距离
2 2

(见课本P28)

x y ? ? 1有一内接矩形ABCD, 例2、已知椭圆 100 64
求矩形ABCD的最大面积。
Y y D

2

2

B2

解 : 设A ?10cos ? ,8sin ? ?
AD ? 20 cos ? , AB ? 16sin ? A1 S ? 20 ?16sin ? cos ? ? 160sin 2?
所以, 矩形ABCD最大面积为 160

A

F1
C

O B1
B

F2

X A2 X

x2 y2 1、动点P(x,y)在曲线 ? ? 1上变化 ,求2x+3y的最 9 4 大值和最小值

练习2

最大值6 2 , 最小值 ? 6 2 .
2、θ取一切实数时,连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,
6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 B .

A. 圆

B. 椭



设中点M (x, y)

C. 直线 D. 线段 x=2sinθ-2cosθ
y=3cosθ+3sinθ M

x y ? ??? 2 4 9

2

2

( x ? 1) 2 ( y ? 2) 2 思考:实数x、y满足 ? ? 1 ,试求x-y 16 9

的最大值与最小值,并指出何时取最大值与最小值

M

解:由已知可设

? x ? 1 ? 4 cos? (? ? ? y ? ?2 ? 3 sin ?

为参数),则

x ? y ? (1 ? 4 cos? ) ? (?2 ? 3 sin ? ) ? 3 ? (4 cos? ? 3 sin ? ) 4 3 ? 3 ? 5( cos? ? sin ? ) ? 3 ? 5 cos( ? ? ) ? 5 3

4 3 cos? ? , sin ? ? , 其中 5 5



4 sin ? ? sin(2k? ? ? ) ? ? sin ? ? 5

4 cos( ? ? ) ? 1,? ? ? ? 2k? , k ? Z时, cos? ? cos(2k? ? ? ) ? cos? ? ? 5

4 21 3 19 ?当x ? 1 ? 4 ? ? , y ? ?2 ? 3 ? (? ) ? ? 5 5 5 5

时,x-y的最大值为8

同理,当x=-11/5,y=-1/5时,x-y的最小值为-2

三、课堂总结
1.椭圆的参数方程 2.椭圆的参数方程应用

四、布置作业:1.P34 1,2
2.家庭作业:名师

二、双曲线的参数方程

双曲线的参数方程
设M ( x, y )
a

y
A o B

?
B'

?M
A' x

在?OAA '中,x ?
| OA | b | OA ' |? ? ? cos ? cos ?

b ? sec ? ,

b

在?OBB '中,y ? | BB ' |?| OB | ? tan ? ? b ? tan ?.
? x ? a sec ? 所以M 的轨迹方程是 ? (?为参数 ) ? y ? b tan ?
x2 y2 消去参数后,得 2 - 2 =1, a b 这是中心在原点,焦点在x轴上的双曲线。

双曲线的参数方程
x y - 2 =1(a>0,b>0)的参数方程为: 2 a b
2 2

y a

?
A B' o B

?M
A' x

说明:

? 3? 通常规定? ?[o,2? )且? ? ,? ? 。 2 2

? x ? a sec ? (?为参数) ? ? y ? b tan ?

b

⑴ 这里参数

? 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.

x2 y2 ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 ? 2 ? 1与三角恒等式 2 a b 2 2
的实质是三角代换.

sec ? ? 1 ? tan ? 相比较而得到,所以双曲线的参数方程

x2 y 2 如图,设M 为双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0)任意一点,O为原点, 例2、 a b 过点M 作双曲线两渐近线的平行线,分别与两渐近线交于A,B两点。 探求平行四边形MAOB的面积,由此可以发现什么结论?

a y 不妨设M为双曲线右支上一点,其坐标为(asec? ,btan?),
b A 则直线MA的方程为:y ? b tan ? ? ? ( x ? a sec ? ). ① M x a b 将y= x代入①,解得点A的横坐标为 O a a B xA = (sec? ? tan?). 2 a 同理可得,点B的横坐标为xB = (sec? ? tan?). 2 b 设?AOx=? ,则tan? ? . a xA x ? B sin2? ? 所以MAOB的面积为 S?MAOB =|OA||OB|sin2? = cos? cos? 2 2 a2(sec2? -tan 2? ) = ? sin2? = a ? tan ? ? a ? b ? ab . 4cos2? 2 2 a 2
由此可见,平行四边形MAOB的面积恒为定值,与点M在双曲线上的位置无关。

解:双曲线的渐近线方程为:y ? ? b x.

4.4.3


参数方程的应用(3) -----抛物线的参数方程

引入: 如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以 100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确 落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定 投放时机呢?
物资投出机舱后,它的运动由下列两种运动合成:

y 500

(1)沿ox作初速为100m/x的匀速直线运动; 对于一般的抛物线,怎样 (2)沿oy反方向作自由落体运动。
垂直高度为y,所以

思考:

建立相应的参数方程呢? 解:物资出舱后,设在时刻t,水平位移为x,
? x ? 100t , ? (g=9.8m/s2 ) ? 1 2 ? y ? 500 ? 2 gt . ?

o

x

y

M(x,y)

?
o x

设抛物线的普通方程为y ? 2 px.......... .(5)
2

因为点M在?的终边上,根据三角函数的 y 定义可得 ? tan ? .......... .......... .......... ....( 6) x 2p x? tan2 ? (?为参数) 由(5), (6)解出x, y,得到{ 2p y? tan ? 这就是抛物线(5)(不包括顶点)的参数方程

1 如果令t ? , t ? (??,0) ? (0,??), 则有 tan ? 思考:参数t的几何意义是什么? x ? 2 pt 2 { (t为参数) y ? 2 pt 当t ? 0时,由参数方程表示的点正好就是抛物线 的顶点(0,0)因此当t ? (??,??)时,参数方程就表 示抛物线。参数t表示抛物线上除顶点外的任意 一点与原点连线的斜率的倒数。

抛物线的参数方程
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
?x=2pt2 , (t为参数,t ? R ) ? ? y ? 2pt.

y

M(x,y)

?
o H x

1 其中参数t= (? ? 0),当? =0时,t=0. tan? 几何意义为: 抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。

x 即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t= . y

思考:
怎样根据抛物线的定义选取参数,建立抛物线x2=2py(p>0)的 参数方程?





1、若曲线{

x ? 2 pt y ? 2 pt

2

(t为参数)上异于原点的不同

两点M 1,M 2所对应的参数分别是t1 , t 2 , 则弦 M 1M 2所在直线的斜率是 ( A、t1 ? t 2 , B、t1 ? t 2 1 1 C、 , D、 t1 ? t 2 t1 ? t 2
c
)

解:由于M 1 , M 2两点对应的参数方程分 别是t1和t 2,则可得点M 1和M 2的坐标分别为 M 1 (2 pt ,2 pt1 ), M 2 (2 pt ,2 pt2 ) ? k M 1M 2 2 pt1 ? 2 pt2 1 ? ? 2 2 2 pt1 ? 2 pt2 t1 ? t 2
2 1 2 2

例3、如图O是直角坐标原点,A, B是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0)上异于顶点的两动点,且 OA ? OB , OM ? AB并于AB相交于点M,求点 M的轨迹方程。

y A M x B

o

解:根据条件,设点M , A, B的坐标分别为( x, y ) (2 pt ,2 pt1 ), (2 pt ,2 pt2 )(t1 ? t 2 , 且t1 ? t 2 ? 0)则
2 1 2 2 ? ? ?

OM ? ( x, y ), OA ? (2 pt ,2 pt1 ), OB ? (2 pt ,2 pt2 )
2 1 2 2

AB ? (2 p (t ? t ), 2 p(t 2 ? t1 ))
2 2 2 1

?

因为OA ? OB, 所以 OA? OB ? 0,即 (2 pt1t 2 ) ? (2 p ) t1t 2 ? 0, 所以t1t 2 ? ?1.......... .(8)
2 2

?

?

?

?


为OM ? AB, 所以 OM ? OB ? 0, 即 2 px(t ? t ) ? 2 py(t 2 ? t1 ) ? 0
2 2 2 1

?

?

?

?

所以x(t1 ? t 2 ) ? y ? 0, y 即t1 ? t 2 ? ? ( x ? 0)......... .......... .......... ...( 9) x 因为 AM ? ( x ? 2 pt12 , y ? 2 pt1 ), MB ? (2 pt ? x,2 pt2 ? y )且A, M , B三点共线,
2 2 ? ?

所以( x ? 2 pt )( 2 pt2 ? y ) ? (2 pt ? x)( y ? 2 pt1 )
2 1 2 2

化简,得y (t1 ? t 2 ) ? 2 pt1t 2 ? x ? 0.......... .....(10) 将(8), (9)代入(10), 得到 y y (? ) ? 2 p ? x ? 0 x 2 2 即x ? y ? 2 px ? 0( x ? 0) 这就是点M的轨迹方程

探究: 在例3中,点A, B在什么位置时,?AOB的面积 最小?最小值是多少?

由例3可得 OA = (2 pt ) ? (2 pt1 ) ? 2 p t1 t ? 1
2 2 1 2 2 1

OB ? (2 pt ) ? (2 pt2 ) ? 2 p t 2 t ? 1
2 2 2 2 2 2

所以,?AOB的面积为
2 S ?AOB ? 2 p 2 t1t 2 (t12 ? 1) ? (t 2 ? 1)

? 2p

2

t ?t ? 2 ? 2p
2 1 2 2

2

(t1 ? t 2 ) ? 4 ? 4 p
2 2

2

当且仅当t1 ? ?t 2,即当点A, B关于x轴对称时, ?AOB的面积最小,最小值为4 p .

课堂小结:
1、抛物线的参数方程的形式 2、抛物线参数的意义

布置作业:1.P34-35
2.名师

3, 4,5


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