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八年级知识点总结

发布时间:2013-12-22 16:49:25  

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八年级期末冲刺知识点总结

第十一章、三角形

⒈ 三角形的定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形. 注意:(1)三条线段要不在同一直线上,且首尾顺次相接;(2)三角形是一个封闭的图形;(3)△ABC是三角形ABC的符号标记,单独的△没有意义.

⒉ 三角形的分类:

(1)按边分类: A

(2)按角分类:

⒊ 三角形的主要线段的定义:

(1)三角形的中线

BCD三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段.

注意:①三角形的中线是线段;②三角形三条中线全在三角形的内部;

③三角形三条中线交于三角形内部一点;④中线把三角形分成两个面积相等的三角形.

(2)三角形的角平分线

三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段

注意:①三角形的角平分线是线段; A

②三角形三条角平分线全在三角形的内部; ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点;

④用量角器画三角形的角平分线. BCD(3)三角形的高

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段.°. 注意:①三角形的高是线段;

②锐角三角形三条高全在三角形的内部,直角三角形有两条高是边,钝角三角形有两条高在形外;

③三角形三条高所在直线交于一点.

⒍三角形的三边关系

三角形的任意两边之和大于第三边;

任意两边之差小于第三边.

注意:(1)三边关系的依据是:两点之间线段是短;

(2)围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边.

⒎ 三角形的角与角之间的关系:

(1)三角形三个内角的和等于180?;

(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;

(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

(4)直角三角形的两个锐角互余.

三角形的内角和定理

定理:三角形的内角和等于180°.

推论:直角三角形的两个锐角互余。

三角形的外角的定义

三角形一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.

注意:每个顶点处都有两个外角,但这两个外角是对顶角.

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三角形外角的性质

(1)三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和.

(2)三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角.

8.三角形的稳定性:

三角形的三边长确定,则三角形的形状就唯一确定,这叫做三角形的稳定性. 注意:(1)三角形具有稳定性;

(2)四边形没有稳定性.

第十二章、全等三角形

一.定义

1.全等形:形状大小相同,能完全重合的两个图形.

2.全等三角形:能够完全重合的两个三角形.

二.重点

1.平移,翻折,旋转前后的图形全等.

2.全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等.

3.全等三角形的判定:

SSS三边对应相等的两个三角形全等[边边边]

SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等[边角边]

ASA两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等[角边角]

AAS两个角和其中一个角的对边开业相等的两个三角形全等[边角边]

HL斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等[斜边,直角边]

4.角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

5.角平分线的判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.

三.注意

1.记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.

第十三章、轴对称

一.定义

1.如果一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.我们也说这个图形关于这条直线[成轴]对称.

2.把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对应点.

3.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.

如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

4.有两边相等的三角形叫做等腰三角形.

5.三条边都相等的三角形叫做等边三角形.

二.重点

1.把成轴对称的两个图形看成一个整体,它就是一个轴对称图形.

2.把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形关于这条轴对称.

3.垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

4.垂直平分线的判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.

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5.如何做对称轴:如果两个图形成轴对称,其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因此,我们只要找到一对再对应点,作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这个图形的对称轴.

同样,对于轴对称图形,只要找到任意一组对应点所连线段的垂直平分线,就得到此图形的对称轴.

6.轴对称图形的性质:对称轴方向和位置发生变化时,得到的图形的方向和位置也会发生变化.

由个平面图形可以得到它关于一条直线成轴对称的图形,这个图形与原图形的形状,大小完全相等.

新图形上的每一点,都是原图形上的某一点关于直线的对称点.

连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.

7.等腰三角形的性质:等腰三角形的两个底角相等[等边对等角]

等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的高相互重合[三线合一]

[等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(,底边上的高,顶角平分线)所在直线就是它的对称轴.

等腰三角形两腰上的高或中线相等.

等腰三角形两底角平分线相等.

等腰三角形底边上高的点到两腰的距离之和等于底角到一腰的距离.

等腰三角形顶角平分线,底边上的高,底边上的中线到两腰的距离相等.]

8.等腰三角形的判定方法:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等[等角对等边].

[如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形.]

9.等边三角形的性质: 等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°.

10.等边三角形的判定:等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°. 三个角都相等的三角形是等边三角形.

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

11.直角三角形的性质之一:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

12.在一个三角形中,如果两条边不等,那么它们所对的角也不等,大边所对的角较大.

三.注意

1.(x,y)关于原点对称(-x.-y)

关于x轴对称(x,-y)

关于y轴对称(-x,y)

2.用坐标表示轴对称.

第十四章 整式的乘除与因式分解

一、整式乘除法

同底数幂相乘,底数不变,指数相加. am2an=am+n[m,n都是正整数]

同底数幂相除,底数不变,指数相减. am÷an=am-n[a≠0,m,n都是正整数,且

任何不等于0的数或式子的0次幂都等于1. a0=1[a≠0], 00无意义

幂的乘方,底数不变,指数相乘. (am)n=amn[m,n都是正整数]

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积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得幂相乘.(ab)n=anbn[n为正整数]注:不要漏积中任何一个因式

单项式与单项式相乘,把它们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.ac52bc2=(a2b)2(c52c2)=abc5+2=abc7 注:运算顺序先乘方,后乘除,最后加减

单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式

单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,m(a+b+c)=ma+mb+mc 注:不重不漏,按照顺序,注意常数项、负号 .本质是乘法分配律。

多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.

多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相乘(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

乘法公式:平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. (a+b)(a-b)=a2-b2

完全平方公式:两数和[或差]的平方,等于它们的平方和,加[或减]它们积的2倍. (a±b)=a±2ab+b

因式分解:把一个多项式化成几个整式积的形式,也叫做把这个多项式分解因式. 因式分解方法:

1、提公因式法. 关键:找出公因式

公因式三部分:①系数(数字)一各项系数最大公约数;②字母--各项含有的相同字母;③指数--相同字母的最低次数;步骤:第一步是找出公因式;第二步是提取公因式并确定另一因式.需注意,提取完公因式后,另一个因式的项数与原多项式的项数一致,这一点可用来检验是否漏项.

注意:①提取公因式后各因式应该是最简形式,即分解到“底”;②如果多项式的第一项的系数是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数是正的.

2、公式法.①a2-b2=(a+b)(a-b)两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积a、b可以是数也可是式子②a2±2ab+b2=(a±b)2 完全平方两个数平方和加上或减去这两个数的积的2倍,等于这两个数的和[或差]的平方.

③x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2) 立方差公式

3、十字相乘(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq

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因式分解三要素:(1)分解对象是多项式,分解结果必须是积的形式,且积的因式必须是整式

(2)因式分解必须是恒等变形;

(3)因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.

弄清因式分解与整式乘法的内在的关系:互逆变形,因式分解是把和差化为积的形式,而整式乘法是把积化为和差

添括号法则:如括号前面是正号,括到括号里的各项都不变号,如括号前是负号各项都得改符号。用去括号法则验证

4.因式分解的注意事项:

(1)选择因式分解方法的一般次序是:一 提取、二 公式、三 分组、四 十字;

(2)使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性;

(3)因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止;

(4)因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正;

(5)因式分解的最后结果要求加以整理;

(6)因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.

5.因式分解的解题技巧:(1)换位整理,加括号或去括号整理;(2)提负号;(3)全变号;(4)换元;(5)配方;(6)把相同的式子看作整体;(7)灵活分组;(8)提取分数系数;(9)展开部分括号或全部括号;(10)拆项或补项.

第十五章、分式

A

1.分式:一般地,用A、B表示两个整式,A÷B就可以表示为B的形式,如果B中含A

有字母,式子B 叫做分式.

?整式有理式??分式. 2.有理式:整式与分式统称有理式;即

3.对于分式的两个重要判断:(1)若分式的分母为零,则分式无意义,反之有意义;(2)若分式的分子为零,而分母不为零,则分式的值为零;注意:若分式的分子为零,而分母也为零,则分式无意义.

4.分式的基本性质与应用:

(1)若分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式,分式的值不变;

(2)注意:在分式中,分子、分母、分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变;

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?分子?分子分子分子????分母 即 ?分母分母?分母?

(3)繁分式化简时,采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法,比较简单.

5.分式的约分:把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分;注意:分式约分前经常需要先因式分解.

6.最简分式:一个分式的分子与分母没有公因式,这个分式叫做最简分式;注意:分式计算的最后结果要求化为最简分式.

acac??,bdbd7.分式的乘除法法则:

nacadad????bdbcbc. an?a????n.(n为正整数)b8.分式的乘方:?b?.

9.负整指数计算法则:

1

n(1)公式: a0=1(a≠0), a-n=a (a≠0);

(2)正整指数的运算法则都可用于负整指数计算;

?a???(3)公式:?b??n?nm?b?ab?????a?,b?man; n

(4)公式: (-1)-2=1, (-1)-3=-1.

10.分式的通分:根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分;注意:分式的通分前要先确定最简公分母.

11.最简公分母的确定:系数的最小公倍数2相同因式的最高次幂.

aba?b??;c12.同分母与异分母的分式加减法法则: ccacadbcad?bc????bdbdbdbd.

13.含有字母系数的一元一次方程:在方程ax+b=0(a≠0)中,x是未知数,a和b是用字母表示的已知数,对x来说,字母a是x的系数,叫做字母系数,字母b是常数项,我们称它为含有字母系数的一元一次方程.注意:在字母方程中,一般用a、b、c等表示已知数,用x、y、z等表示未知数.

14.公式变形:把一个公式从一种形式变换成另一种形式,叫做公式变形;注意:公式变形的本质就是解含有字母系数的方程.特别要注意:字母方程两边同时乘以含字母的代数式时,一般需要先确认这个代数式的值不为0.

15.分式方程:分母里含有未知数的方程叫做分式方程;注意:以前学过的,分母里不含未知数的方程是整式方程.

16.分式方程的增根:在解分式方程时,为了去分母,方程的两边同乘以了含有未知数的代数式,所以可能产生增根,故分式方程必须验增根;注意:在解方程时,方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式,因为可能丢根.

17.分式方程验增根的方法:把分式方程求出的根代入最简公分母(或分式方程的每个分母),若值为零,求出的根是增根,这时原方程无解;若值不为零,求出的根是原方程的解;注意:由此可判断,使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根.

18.分式方程的应用:列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样,但需要增加“验增根”的程序.

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