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九年级下册《圆》知识点总结

发布时间:2014-01-06 16:55:36  

孟庄中心校 九年级数学组 编写人:王爱莲 审核人:陈祥玉

1.圆的认识

(1)以点O为圆心的圆叫作“圆O”,记为“⊙O”。

(2)线段OA、OB、OC都是圆的半径,线段AC为直径。

(3)连结圆上任意两点之间的线段叫做弦。直径是圆中最长的弦。

(4)圆上任意两点间的部分叫做弧。

小于半圆周的圆叫做劣弧。大于半圆周的圆弧叫做优弧。

(5)圆心角:顶点在圆心,两边与圆相交的角叫做圆心角。如∠AOB、∠AOC、∠BOC就是圆心角。

2.圆的对称性

(1)圆是轴对称图形,任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。

圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心。

(2)垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。

推论:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;

(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;

(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一

条弧

以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:①AB是直径 ②AB?CD ③CE?DE ④ 弧BC?弧BD ⑤ 弧AC?弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即:在⊙O中,∵AB∥CD ∴弧AC?弧BD

3.圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所

B

D对

的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。即:①?AOB??DOE;②

AB?DE;③OC?OF;④ 弧BA?弧BD

上述四个结论中,只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论,

4.圆周角

(1)圆周角:顶点在圆上,两边与圆相交的角叫做圆周角。

(2)半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°(直角)。90°的圆周角所

对的弦是圆的直径。

(3)同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。

(4)同弧(或等弧)所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的弧相等。

BA

孟庄中心校 九年级数学组 编写人:王爱莲 审核人:陈祥玉

(5)若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。

即:在△ABC中,∵OC?OA?OB

∴△ABC是直角三角形或?C?90?

注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中

线等于斜边的一半的逆定理。

5.点与圆的位置关系

设⊙O的半径为r,点圆心O的距离为d,则

A

(1)点在圆外 ? d?r (2)点在圆上 ? d?r (3)点在圆内 ? d?r 6.(1)过一点可以画无数个圆;

过两点可以画无数个圆,圆心在两点连线的垂直平分线上;

过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆。

(2)三角形的外接圆:经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。这个三角形叫做这个圆的内接三角形。三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点,它到三角形三个顶点的距离相等。

(3)一个三角形的外接圆是唯一的。

7.直线与圆的位置关系

(1)如果一条直线与一个圆没有公共点,那么就说这条直线与这个圆相离。

(2)如果一条直线与一个圆只有一个公共点,那么就说这条直线与这个圆相切。此时这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点.

(3)如果一条直线与一个圆有两个公共点,那么就说这条直线与这个圆相交,此时这条直线叫做圆的割线.

BO

A

如上图,设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,从图中可以看出:

若d?r ? 直线l与⊙O相离;

若d?r ? 直线l与⊙O相切;

若d?r ? 直线l与⊙O相交;

8.切线

(1)判定定理:经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

即:∵MN?OA且MN过半径OA外端∴MN是⊙O的切线

孟庄中心校 九年级数学组 编写人:王爱莲 审核人:陈祥玉

证明切线常用的方法:1.连半径,证垂直; 2.作垂直,证半径。

(2)性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。

即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件

就能推出最后一个。

(3)切线长:切线上某一点与切点之间的线段的长.

性质:从圆外一点可以引圆的两条切线,切线长相等,这一点与圆心的

连线平分两条切线的夹角。

即:∵PA、PB是的两条切线 ∴PA?PB,PO平分?BPA.

(4)三角形的内切圆:与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆。三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心。这个三角形叫做这个圆的外切三角形,三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点,它到三角形三边的距离相等。

9.圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补.

即:在⊙O中,∵四边形ABCD是内接四边形

∴?C??BAD?180? ?B??D?180?

10.圆和圆的位置关系

1)两个圆没有公共点,那么就说两个圆相离,其中(1)又叫做外离,(2)、(3)又叫做内含。(3)中两圆的圆心相同,这两个圆还可以叫做同心圆。

2)如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,如其中(4)又叫做外切,(5)又叫做内切。

3

孟庄中心校 九年级数学组 编写人:王爱莲 审核人:陈祥玉

11.圆内正多边形的计算

(1)正三角形 在⊙O中△ABC是正三角形,有关计算在Rt?BOD中进行

:OD:BD:OB?2;

(2)正四边形

OE:AE:OA?

(3)正六边形

AB:OB:OA?2.

12.圆中的计算问题

(1)弧长的计算公式为:l?

n?r 180

(2)扇形:由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。 n?r21?lr扇形面积的计算公式:S?3602

n:圆心角 R:扇形多对应的圆的半径 l:扇形弧长 S:扇形面积

(3)圆锥的母线:把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线。

圆锥的高:连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高.

(4)圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长,圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。

圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积,

即S=?ra

圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和.

2S?S?S即表侧底=?ra??r

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