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第二节 频率与概率

发布时间:2014-01-09 13:52:06  

第一章

第二节

频率与概率
一 、概率的求法 二、概率的定义

三、概率的计算

对随机现象发生规律的研究 上节指出,概率论研究随机现象的发生规律

随机现象发生规律是指各种可能结果及发生的可能性,
这种可能性用数字进行定量描述就是概率 按照习惯,可能性用大于0小于1的数量指标描述 强调一点, 概率是指将来发生的可能性,

概率求法的简要说明 1、频率方法(经验方法) 生活经验 抽检100只产品中,5只不合格,合格率95%, 随机选取一件产品,合格品的可能性为95% 一般, 在n 次试验中事件A发生的次数是k,事件A发生的频率 k 为 这个数量指标可以描述事件发生的可能性,就是通 n 常所说的概率

2、古典方法
掷一颗质量均匀的正六面体骰子问题,每一面出现 的可能性都应该是一样的。 一面出现的可能性都是
1 . 6

可以认为每

这类问题有两个特征:

样本空间的元素只有有限个;
每个基本事件发生的可能性相同。

P ? A? ?

A所占基本事件的个数 所有基本事件的个数

例1

在一口袋中装有编号依次为 1,2,?,10

的 10 个形状相同的球。 从这袋中任取一球。

1、 A : “取到 1 号球”



P? A?.

2、 B : “取到 的是偶数号球” 求 解

P?B ?.

所有可能出现的基本事件共有 10 个,即

S ? {1,2,?,10}
1、

n ? 10
A ? ? ?, 1

A 事件只占有一个机会,

2. B ? {2, 4, 6, 8,10}

nB ? 5

5 P ?B ? ? 10

1 P ? A? ? . 10

3、主观方法
一个事件发生的概率是人们根据经验对该事件发生的 可能性所给出的个人判断。 比如:高考填报志愿时,很费头脑,考生对录取的可 能性有一个判断,也是主观概率。 这些是对客观现象发生可能性的一个经验判断

频率方法剖析 设随机试验
进行

E 的样本空间为

S

在相同条件下, 次试验中事件A 发生的频率,记

n

次重复独立试验,在这

n

nA 发生了 次,则比值 称为事件A n n 作 f n (A) 即 f n (A) ? A n

nA

经验和一些试验数据指出: 1、 频率有随机波动性, 即对于同样的 n , 所得的

f n ( A)

不尽相同。

2、 试验的次数 n 较小时, 频率

f n ( A) 随机波动的幅度

较大,但随着 n 增大,

f n ( A) 呈现出稳定性。

概率的统计定义(频率)、古典定义、主观定义都不能 称为数学概念,概率的定义一直困扰着概率论学科的发展 ,直到1933年苏联数学家柯莫哥洛夫才给出概率的公理化 定义。概率的公理化定义参照、体现了频率的性质:

频率的如下一些性质:

1) 0 ? f n ( A) ? 1 2) f n ( S ) ? 1 3) 若 A1 , A2 ? Ak 两两不相容 , 则 f n ( A1 ? A2 ??? Ak ) ? f n ( A1 ) ? f n ( A2 ) ? ? ? f n ( Ak )

概率的公理化定义 定义: 设随机

试验

E

的样本空间为

S 按照某种
p ,

法则对于E 中的每一个事件A 赋予一个实数

记为 P(A). 称为事件A 的概率.
1.非负性

其基本性质:

P( A) ? 0 2、规范性(归一性)P( S ) ? 1
3、可列可加性

若 A1 , A2 ? 是两两互不相容的事件 , 则
P ( A1 ? A2 ?? ) ? P ( A1 ) ? P ( A2 )

??

概率是以“事件”为自变量的函数 其几何表示为文氏图面积

概率的性质 性质1、 不可能事件的概率为 0。P(? ) ? 0 性质2、 A1 , A 2 是不相容事件,即A1 A 2=?

则 P(A ? B)= P(A)+ P(B)
推广 : 1 ,A 2 ,.....An 两两互不相容 A

则:P( A1 ? A2 ? ...... An )
? p( A1 ) ? P( A2 )...... ? P( An )

p? A? ? 1 ? p?A ? ? A? A ? S AA ? ? 1 ? p?S ? ? p A ? A ? P? A? ? p A
性质3、

A

B

?

?

? ?

性质4、 证:

若 A ? B,

P( B) ? P( A)

? A ? B ? B ? A ? ( B ? A) ? P(B) ? P( A) ? P( B ? A) 则有 P( B ? A) ? P( B) ? P( A) ? 0

思考题

若 A与 B相容

A

B

P ? B ? A? ??
B ? AB ? ( B ? A) A B 与 B-A 互不相容,
? p ? B ? ? P ? AB ? ? p ? B ? A?

? P ? B ? A? ? P ? B ? ? p ? AB ?

A,,B 都有 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( AB) 证: ? A ? B ? A ? ( B ? AB) A( B ? AB) ? ? AB ? B ? P( A ? B) ? P( A) ? P( B ? AB) ? P(A) ? P( B) ? P( AB)
性质5 对于任意的事件
可推广到多个事件的情形: 如三个事件

A

B

P( A1 ? A2 ? A3 ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 A3 ) ? P( A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 )

例1

如图:

K1 K2
求灯亮的概率。

K1 合上的概率为 0.6 K 2 合上的概率为 0.7

B

K1 K 2 同时合上的概率为 0.5
合上 B: 灯亮。

解 设

A1 : K 1 合上

A2 : K 2

p ? A 1 ? ? 0.6

p ? A 2 ? ? 0.7 p ? A 1 A 2 ? ? 0.5

? p ? A 1 ? ? p ? A 2 ? ? P ? A1 A2 ? ? 0.8

p ? B? ? p ? A1 ? A 2 ?

例2


已知

P? A ? B?

P? A? ? 0.3 P?B ? ? 0.6 在下列两种情形下


P?B ? A?

1、 A、B互不相容 解

? AB ? ? A ? B ? A B ? A ? B ? ? P ? A ? B ? ? P ? A? ? 0.3 P ? B ? A? ? P ? B ? ? 0.6
2、

A、B 有包含关系



? P ? A? ? P ? B ?

? A? B

P ( A ? B ) ? P (? ) ? 0
? P ? B ? A? ? P ? B ? ? P ? A? ? 0.3

例3
求 解

已知

p ? A? ? 0.5 p ? B ? ? 0.3

p ? A ? B ? ? 0.6

p? A ? B ? P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) ? P ( AB )

P ( AB) ? P ( A) ? P ( B) ? P ( A ? B ) ? 0.2
? P ? A ? B ? ? P ? A? ? p ? AB ? ? 0.5 ? 0.2 ? 0.3

例4. 已知

P( A) ? P( B) ? P(C ) ? 0.25 , P( AB) ? P( BC ) ? 0 ,

P( AC ) ? 0.125

求 ABC 中至少有一个发生的概率。 解:

P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C )
? P( AB)

? P( AC ) ? P( BC ) ? P(ABC ) ? ABC ? AB ? P( ABC ) ? P( AB) ? 0 ? P( ABC ) ? 0

? P( A ? B ? C ) ? 0.75 ? 0.125 ? 0.625

例5. 某地发行

A, B, C

三种报纸,

已知订阅 同时订

报的 A

45%, 订阅 B 报的 35% , 订阅 C 报的30% , 阅 AB 报的10%, AC 报的 8%, 报的3%,

BC 报的 5% , ABC

现任取一市民,试求下列事件的概率.

(1) 只订 A 报 (2) 只订 AB 报 (3) 至少订一种报 (4) 不订任何报 解:设

P( AB C ) P( ABC )

P( A ? B ? C )
P( A B C )


P( A ? B ? C )

分别用A、B、C表示市民订A报, B报,

C报的事件。

已知:

P( A) ? 0.45, P( B) ? 0.35, P(C ) ? 0.30 P( AC ) ? 0.08 P( BC ) ? 0.05 P( AB) ? 0.10 P( ABC ) ? 0.03

1) P( AB C ) ? P( AB ? C ) ? P( A ? A( B ? C )) ? P( A) ? P( AB ? AC ) ? P( A) ? P( AB) ? P( AC ) ? P( ABC ) ? 0.30 2) P( ABC ) ? P( AB ? ABC ) ? P( AB) ? P( ABC ) ? 0.07 3) P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? P( AB) ? P( AC ) ? P( BC ) ? P( ABC ) ? 0.9 4) P( ABC ) ? 1 ? P( ABC ) ? 1 ? P( A ? B ? C ) ? 0.10 或 P ( A ? B ? C ) ? 1 ? P( A ? B ? C )

本节主要知识点
1、概率的公理化定义 2、求概率的常用计算公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( AB)
P( AB ) ? P( A ? B) ? P( A) ? P( AB)

P( A) ? 1 ? P( A)
P( AB ) ? P( A ? B ) ? 1 ? P( A ? B)
EX P9 2 4 5


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